大学物理平面简谐波波动方程.doc

大学物理
§4-2平面简谐波的波动方程
振动与波动
区别
联系
振动研究一个质点的运动。
波动研究大量有联系的质点振动的集体表现。
振动是波动的根源。
波动是振动的传播。

最简单而又最基本的波动是简谐波！
简谐波：波源以及介质中各质点的振动都是简谐振动。任何复杂的波都可看成是若干个简谐波的叠加。

对平面简谐波，各质点都在各自的平衡位置附近作简谐振动，但同一时刻各质点的振动状态不同。需要定量地描述出每个质点的振动状态。

波线是一组垂直于波面的平行射线，可选用其中一根波线为代表来研究平面简谐波的传播规律。
一、平面简谐波的波动方程
设平面简谐波在介质中沿 轴正向传播，在此波线上任取一参考点为坐标原点

O
P

u

参考点原点的振动方程为

任取一点 ，其坐标为 ， 点如何振动？
和 与原点的振动相同，相位呢？

沿着波的传播方向，各质点的相位依次落后，波每向前传播 的距离，相位落后

现在，点的振动要传到 点，需要向前传播的距离为 ，因而 点的相位比 点落后
点的振动方程为

由于 点的任意性，上式给出了任意时刻任意位置的质点的振动情况，将下标去掉

就是沿 轴正向传播的平面简谐波的波动方程。

O
P

u

如果波沿 轴的负向传播， 点的相位将比 点的振动相位超前
沿 轴负向传播的波动方程为

利用 ，

沿 轴正向传播的平面简谐波的波动方程又可写为

即
原点的振动状态传到 点所需要的时间
点在 时刻重复原点在 时刻的振动状态
波动方程也常写为

其中 波数，物理意义为 长度内所具有完整波的数目。
☆ 波动方程的三个要素：参考点，参考点振动方程，传播方向
二、波动方程的物理意义
1、固定，如令
振动方程
处质点的振动方程

处的振动曲线
该质点在 和 两时刻的相位差

2、固定，如令
波形方程
时刻各质点离开各自平衡位置的位移分布情况，即 时刻的波形方程。

波形曲线
3、 和 都在变化

时刻
时刻

各个不同质点在不同时刻的位移，各个质点的振动情况，不同时刻的波形，反映了波形不断向前推进的波动传播的全过程 行波

时刻， 处的某个振动状态经过 的时间，传播了 的距离，传到了 处，显然
行波必须满足此方程
其中

波是振动状态的传播！

l 习题类型
（1） 由某质元的振动方程（或振动曲线） 求波动方程
（2） 由某时刻的波形曲线 求波动方程

例4.2：一平面波在介质中以速度 m/s沿直线传播，已知在传播路径上某点A的振动方程为 ，如图4.8所示。
（1）若以A点为坐标原点，写出波动方程，并求出C，D两点的振动方程；
（2）若以B点为坐标原点，写出波动方程，并求出C，D两点的振动方程。
A
B
8m

u
C
D

5m
9m

解：（1）振幅 m，圆频率rad/s，频率 Hz，
波长 m
波动方程为
m
C点坐标为 m，振动方程为
m
D点坐标为 m，振动方程为
m
（2）A点坐标为 m，波动方程为
m
C点坐标为 m，振动方程为
m
D点坐标为 m，振动方程为
m
例4.3：一平面简谐横波以 m/s的波速在均匀介质中沿方向传播。位于坐标原点的质点的振动周期为0.01秒，振幅为0.1m，取原点处质点经过平衡位置且向正方向运动时作为计时起点。
（1）写出波动方程；
（2）写出距原点2m处的质点P的振动方程；
（3）画出秒和0.007秒时的波形图；
（4）若以距原点2m处为坐标原点，写出波动方程。
解：（1）由题意 m，秒，m/s
可得圆频率 rad/s， 波长 m
由旋转矢量图知，原点处质点的初相位

故原点处质点的运动方程为
m
波动方程为
m
（2） m处质点的振动方程为
m
（3）秒时，波形方程为

因为 ，故由时刻的波形向+x方向平移即可得时刻的波形。如图所示

u

（4）
Ex. 4：已知 秒的波形曲线如图所示，波速，沿方向传播
(m)
(m)
2

1

u
0.5
0

求：（1）点的振动方程；（2）波动方程
解：（1）由时的波形图可知
， ，，
利用旋转矢量图法得出 秒时 点振动相位

O

，
点的初相位
点的振动方程为

（2）波动方程
Ex：一列机械波沿轴正向传播，=0 时的波形如图所示，已知波速为10 m·s -1，波长为2m，求：
(1) 波动方程；
(2) 点的振动方程及振动曲线；
(3) 点的坐标；
(4) 点回到平衡位置所需的最短时间．

解: (1)由题5-13图可知，时，
原点处质点振动的初始条件为，∴
由题知， ，则 ，
圆频率
原点 的振动方程为

波动方程为

(2)由图知，时，，
∴ (点的相位应落后于点，故取负值)
∴点振动方程为
(3)由
解得

(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a)，
则由点回到平衡位置应经历的相位角

∴所需最短时间为

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