大学物理及实验 10-12章习题及答案.doc

第十章
习题10
10-1．一观察者测得运动着的米尺长0.5m，问此尺以多大的速度接近观察者？
解：由动尺缩短公式 ，可得

10-2．在参考系中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了处，经历时间为，试计算该过程对应的固有时。
解：以粒子为系，利用有：
。

10-3．长度的米尺静止于系中，与′轴的夹角=30°，系相对系沿轴运动，在系中观测者测得米尺与轴夹角为45°。试求：（1）系和系的相对运动速度。（2）系中测得的米尺长度。
解：（1）米尺相对静止，它在轴上的投影分别为：
，。
米尺相对沿方向运动，设速度为，对系中的观察者测得米尺在方向收缩，而方向的长度不变，即：，
故 ：。
把及代入，则得：，故 ：
(2)在系中测得米尺长度为 。

10-4．一门宽为，今有一固有长度(＞)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率至少为多少？
解：门外观测者测得杆长为运动长度，，当时，可认为能被拉进门，则：
解得杆的运动速率至少为：

10-5．两个惯性系中的观察者和以0.6c（c表示真空中光速）的相对速度相互接近，如果测得两者的初始距离是20m，则测得两者经过多少时间相遇？
解： 测得相遇时间为：
测得的是固有时：∴ ，

或者，测得长度收缩：

10-6．一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少？
解：
∴

10-7．从系观察到有一粒子在时由处以速度沿方向运动，后到达点，如在系(相对系以速度沿方向运动)观察，粒子出发和到达的时空坐标各为多少？(时，与的原点重合)，并算出粒子相对系的速度。
解：利用洛仑兹变换：，，
考虑到，有：
；
；
；
；
。

10-8．1000m的高空大气层中产生了一个π介子，以速度飞向地球,假定该π介子在其自身的静止参照系中的寿命等于其平均寿命，试分别从下面两个角度，即地面上观测者相对π介子静止系中的观测者来判断该π介子能否到达地球表面。
解：（1）地面上的观察者认为时间膨胀：
有，∴
由，∴到达不了地球；
（2）介子静止系中的观测者认为长度收缩：
有，∴
而，∴到达不了地球。

10-9．某人测得一静止棒长为l，质量为m，于是求得此棒线密度为。假定此棒以速度v在棒长方向上运动，此人再测棒的线密度为多少？若棒在垂直度方向上运动，它的线密度又为多少？
解：棒以速度v运动时，质量变为
在棒长方向上运动，长度缩短为 ，
则棒的线密度为
棒在垂直度方向上运动时，长度不变，因此它的线密度为

10-10．一个电子从静止开始加速到，需对它做多少功？，若速度从增加到又要做多少功？
解：由相对论动能：：
（1）；
（2）
。

10-11．一静止电子(静止能量为)被的电势差加速，然后以恒定速度运动。求：（1）电子在达到最终速度后飞越的距离需要多少时间？（2）在电子的静止系中测量，此段距离是多少？
解：（1）∵，
∴，考虑到：，
得：，可求得： ，
那么，；
（2）由，有。

10-12．一电子在电场中从静止开始加速，电子的静止质量为.
（1）问电子应通过多大的电势差才能使其质量增加？
（2）此时电子的速率是多少？
解：（1）由，且，，
有：，∴；
（2）∵，∴，可求得：。
10-13．已知一粒子的动能等于其静止能量的倍，求：（1）粒子的速率，（2）粒子的动量。
解：（1）依题意知：，又∵，
∴，有：
整理得：；
（2）由，而：，
得： 。

10-14．太阳的辐射能来源于内部一系列核反应，其中之一是氢核()和氘核()聚变为氦核()，同时放出光子，反应方程为：

已知氢、氘和的原子质量依次为、和. 原子质量单位. 试估算光子的能量。
解：

根据质能方程：。

思考题10
10-1．关于狭义相对论，下列几种说法中错误的是下列哪种表述：
（A）一切运动物体的速度都不能大于真空中的光速；
（B）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同；
（C）在真空中，光的速度与光源的运动状态无关；
（D）在真空中，光的速度与光的频率有关。
答：（D）

10-2．下面两种论断是否正确？
（1）在某个惯性系中同时、同地发生的事件，在所有其他惯性系中也一定是同时、同地发生的。
（2）在某个惯性系中有两个事件，同时发生在不同地点、而在与该系有相对运动的其他惯性系中，这两个事件却一定不同时。
解：（1）正确；
（2）正确。
10-3．在惯性系和，分别观测同一个空间曲面。如果在系观测该曲面是球面，在系观测必定是椭球面。反过来，如果在系观测是球面，则在系观测定是椭球面，这一结论是否正确？
答：根据运动的相对性这个结论是正确的。

10-4．一列以速度行驶的火车，其中点与站台中点对准时，从站台首尾两端同时发出闪光。从看来，这两次闪光是否同时？何处在先？
答：根据，由于，，所以，即对点的观测者来说两次闪光不同时发生，尾部在先。

10-5．一高速列车穿过一山底隧道，列车和隧道静止时有相同的长度，山顶上有人看到当列车完全进入隧道中时，在隧道的进口和出口处同时发生了雷击，但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现现象？这现象是如何发生的？
答：对于地面的观察者雷击是在不同地方同时发生的，但是对于列车上的旅客来说这两个事件不是同时发生的，他应该看到两次雷击现象。

10-6．在相对论中，对动量定义和公式的理解，在与牛顿力学中的的有何不同？在相对论中，一般是否成立？为甚麽？
解：在相对论中，动量定义和公式中的质量是与运动有关的，是随运动速度而变化的；而在与牛顿力学中认为质量是恒定不变的。因此在相对论中，是不成立。

10-7．相对论的能量与动量的关系式是什么？相对论的质量与能量的关系式是什么？
解：相对论的能量与动量的关系式是
相对论的质量与能量的关系式是

第十一章
习题11
11-1．测量星体表面温度的方法之一是将其看作黑体，测量它的峰值波长，利用维恩定律便可求出。已知太阳、北极星和天狼星的分别为，和，试计算它们的表面温度。
解：由维恩定律：，其中：，那么：
太阳：；
北极星：；
天狼星：。

11-2．宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于温度为的黑体辐射，试计算：
（1）此辐射的单色辐出度的峰值波长；
（2）地球表面接收到此辐射的功率。
解：（1）由，有；
（2）由，有：，那么：
。

11-3．在加热黑体过程中，其单色辐出度对应的峰值波长由变化到，求总辐出度改变为原来的多少倍？
解：由 和 可得，

11-4．已知时钨的辐出度与黑体的辐出度之比为。设灯泡的钨丝面积为，其他能量损失不计，求维持灯丝温度所消耗的电功率。
解：∵，消耗的功率等于钨丝的幅出度，所以，
。

11-5．天文学中常用热辐射定律估算恒星的半径。现观测到某恒星热辐射的峰值波长为；辐射到地面上单位面积的功率为。已测得该恒星与地球间的距离为，若将恒星看作黑体，试求该恒星的半径。（维恩常量和斯特藩常量均为己知）
解：由，，
考虑到恒星辐射到地面上单位面积的功率大球面恒星表面辐出的功率，
有：，
∴。

11-6．分别求出红光（），射线（），射线（）的光子的能量、动量和质量。
解：由公式：，及，有：
红光：，
，
；
X射线：，
，
；
射线：，
，
。

11-7．钨丝灯在温度下工作。假定可视其为黑体，试计算每秒钟内，在到波长间隔内发射多少个光子？
解：设钨丝灯的发射面积为，由斯特藩-玻耳兹曼定律可得辐射总功率，
那么，钨丝的发射面积为：，
利用普朗克公式：，
那么，单位时间内从黑体辐射出的在范围内的能量为：

考虑到一个光子的能量为：，设每秒发射出个光子，应有
∴
。

11-8．砷化镓半导体激光器(GaA1As)，发射红外光，功率为，计算光子的产生率。
解：设每秒钟发射个光子，每个光子的能量为，那么：
，∴（个）。

11-9．钾的截止频率为4.62×1014Hz，用波长为435.8nm的光照射，能否产生光电效应？若能产生光电效应，发出光电子的速度是多少？
解：（1）由知逸出功，而光子的能量：
。可见，能产生光电效应；
（2）由光电效应方程：，有，
∴。

11-10．波长为的光在石墨上发生康普顿散射，如在处观察散射光。试求：
（1）散射光的波长；（2）反冲电子的运动方向和动能。
解：（1）由康普顿散射公式：和而康普顿波长：，
知：；
（2）如图，考察散射粒子的动量，
在轴方向上：┄①
在轴方向上：┄②
①/②有：，
∴；
动能：。

11-11．在康普顿散射中，入射X射线的波长为，反冲电子的速度为0.6c，求散射光子的波长和散射方向。
解：反冲电子的动能为
且有 ，
则散射光子的波长为
再由康普顿散射公式 ，可得

11-12．试计算氢原子巴耳末系的长波极限波长和短波极限波长。
解法一：由巴耳末公式，（其中）
当时，有短波极限波长：；
当时，有长波极限波长：。
解法二：利用玻尔理论：，有：，考虑到，
当时，有短波极限波长：；
当时，有长波极限波长：。
【注：解法一可用巴耳末公式的形式，其中】

11-13．在氢原子被外来单色光激发后发出的巴尔末系中，仅观察到三条光谱线，试求这三条谱线的波长以及外来光的频率。
解：由巴耳末公式，由于仅观察到三条谱线，有。
“”：，有：；
“”：，有：；
“”：，有：；
一般氢原子核外电子处于基态（），外来光子的能量至少应将电子激发到的激发态，所以，光子的能量应为：，考虑到，，
有：。

11-14．一个氢原子从的基态激发到的能态。
（1）计算原子所吸收的能量；
（2）若原子回到基态，可能发射哪些不同能量的光子？
（3）若氢原子原来静止，则从直接跃回到基态时，计算原子的反冲速率。
解：（1）氢原子从的基态激发到的能态，吸收的能量为：

（2）回到基态可能的跃迁有：“”、“”、“”、“”、“”、“”，考虑到：、、、，有：
“”：；
“”：；
“”：；
“”：；
“”：；
“”：。
（3）首先算出光子的能量：，
∵，而（光子），
∴由动量守恒有：，（设电子的反冲速度为）
。
可见，电子的反冲速度很小，因此不需要考虑相对论效应。

思考题
11-1．绝对黑体与平常所说的黑色物体有何区别？绝对黑体在任何温度下，是否都是黑色的？在相同温度下，绝对黑体和一般黑色物体的辐出度是否一样？
解：绝对黑体吸收所有的外来辐射而不反射，平常所说的黑色物体实际是有反射的，只是反射较弱。绝对黑体在不同温度下具有不同的辐射谱，因此将会呈现不同的颜色。在相同温度下，绝对黑体的辐出度大于一般黑色物体的辐出度。

11-2．你能否估计人体热辐射的各种波长中，哪个波长的单色辐出度最大？
解：人体正常温度为，假设人体辐射为黑体辐射，则由 可得，单色辐出度最大的波长为 为红外波段。

11-3．在光电效应实验中，用光强相同、频率分别为和的光做伏安特性曲线。已知＞,那么它们的伏安特性曲线应该是图？

答：图（C）

11-4．试比较光电效应与康普顿效应之间的异同。
答：光电效应和康普顿效应都通过光和物质的相互作用过程揭示了光具有粒子性的一面。光电效应揭示了光子能量与频率的关系，康普顿效应则进一步揭示了光子动量与波长的光系。两者区别源于产生这两效应的能量范围大不相同，光电效应中光子的波长在光学范围，能量的数量级是几个eV，金属中电子逸出功的数量级是1eV。在线性光学范围内的光电效应中，入射光子能量大于或等于逸出功时，一个电子吸收一个光子，电子和光子系统的能量守恒，而因电子受束缚，系统的动量不守恒；康普顿效应中的光子在X射线波段，具有104eV数量级的能量，相对来说电子逸出功和电子热运动的能量都可以忽略，原子的外层电子可看作是自由的、静止的。所以康普顿效应反映的是高能光子和低能自由态电子间的弹性碰撞问题，系统的能量和动量都守恒。

11-5．用可见光照射能否使基态氢原子受到激发？为什么？
答：使基态氢原子受到激发所需要的最小能量为：
，
而可见光的最大能量为：，
所以用可见光照射不能使基态氢原子受到激发

11-6．氢原子的赖曼系是原子由激发态跃迁至基态而发射的谱线系，为使处于基态的氢原子发射此线系中最大波长的谱线，则向该原子提供的能量至少应为多少？
答：氢原子的赖曼系是从受激态往激态发射光子，此线系中最大波长是从向基态发射的，故：。

11-7．用玻尔氢原子理论判断，氢原子巴尔末系（向第一激发态跃迁而发射的谱线系）中最小波长与最大波长之比为多少？
答：由，时波长最小用表示，时波长最大用表示，有：
。

第十二章
习题12
12-1．计算下列客体具有动能时的物质波波长，（1）电子；（2）质子。
解：（1）具有动能的电子，可以试算一下它的速度：
，所以要考虑相对论效应。
设电子的静能量为，总能量可写为：，用相对论公式：
，可得：

；
（2）对于具有动能的质子，可以试算一下它的速度：
，所以不需要考虑相对论效应。
利用德布罗意波的计算公式即可得出：
。

12-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。
解：（1）用非相对论公式：
；
（2）用相对论公式：设电子的静能为，动能为：，
由，有：。

12-3．设电子与光子的德布罗意波长均为0.50nm，试求两者的动量只比以及动能之比。
解：动量为 因此电子与光子的动量之比为 ；
电子与光子的动能之比为

12-4．以速度运动的电子射入场强为的匀强电场中加速，为使电子波长，电子在此场中应该飞行多长的距离？
解：利用能量守恒，有：，考虑到，
有：

，
利用匀强电场公式有：。

12-5．用电子显微镜来分辨大小为1的物体，试估算所需要电子动能的最小值。（以为单位）
解：由于需要分辨大小为1的物体，所以电子束的徳布罗意波长至少为1，
由，有电子的动量为：；
试算一下它的速度：，
所以不考虑相对论效应，则利用，有电子动能的最小值：
。

12-6．设电子的位置不确定度为，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为，计算电子能量的不确定度。
解：由不确定关系：，有，
由，可推出：
。

12-7．氢原子的吸收谱线的谱线宽度为，计算原子处在被激发态上的平均寿命。
解：能量，由于激发能级有一定的宽度，造成谱线也有一定宽度，两者之间的关系为：，由不确定关系，，平均寿命，则：
。

12-8．若红宝石发出中心波长的短脉冲信号，时距为，计算该信号的波长宽度。
解：光波列长度与原子发光寿命的关系为：，
由不确定关系：，有：
∴。

12-9．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为，式中为粒子角动量的不确定度，为粒子角位置的不确定度。
证明：当粒子做圆周运动时，设半径为，角动量为：，
则其不确定度，而做圆周运动时：，
利用：代入，可得到：。

12-10．计算一维无限深势阱中基态粒子处在到区间的几率。设粒子的势能分布函数为：
解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在之间运动时，其定态归一化的波函数为：，
概率密度为：
粒子处在到区间的几率：，
如果是基态，，则。

12-11．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽。
（1）质子的零点能量有多大？
（2）由态跃迁到态时，质子放出多大能量的光子？
解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式：
时为零点能量：
（2）由态跃迁到态时，质子放出光子的能量为：

思考题12
12-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。
证明：设电子轨道的半径为，则电子轨道的周长为，需要证明。
玻尔理论中，氢原子中的电子轨道为：
而电子的德布罗意波长：（∵）
可见电子轨道：，是德布罗意波长的整数倍。

12-2．为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？
答：因为单个的电子是不具有波动的性质的，所以它不是经典意义的波，同时对于经典意义的粒子它的整体行为也不具有波动性，而电子却具有这个性质，所以电子也不是经典意义的粒子。

12-3．图中所示为电子波干涉实验示意图，为电子束发射源，发射出沿不同方向运动的电子，为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子
感光板，、分别为上、下方电子束的
虚电子源，，底板离源S的距离
为，设，电子的动量为，试求：
（1）电子几率密度最大的位置；
（2）相邻暗条纹的距离（近似计算）。
答：（1）电子的德布罗意波长：，类似于波的干涉现象，在两边的第一级明纹之间分布的电子最多，所以其几率最大的位置应该在之间；
（2）相邻暗条纹的距离：。

12-4．在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图所示，对应的总能量为，若它处于另一个波函数（如图所示）的态上时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多少？
答：由一维无限深势阱粒子的能级表达式：
。在a图中，，
知，
所以粒子的零点能；
若它处于另一个波函数（图所示，）的态上时，
它的总能量是：。

12-5．图中所示为一有限深势阱，宽为，高为。
（1）写出各区域的定态薛定谔方程和边界条件；
（2）比较具有相同宽度的有限深势阱和无限深势阱中粒子的最低能量值的大小。
答：（1）第I区域定态薛定谔方程：
，（），
第II区域定态薛定谔方程：
，（和）；
边界条件：，。
（2）无限深势阱中粒子的能量表述式为，最低能量值，显然与的平方成反比，粒子的自由范围越大，最低能量值越低，应该说粒子在相同宽度的有限深势阱比在无限深势阱中的自由范围大一些，所以粒子在有限深势阱中的最低能量值低一些。

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