2016全国三卷理科数学高考真题及答案.pdf

12016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的.（1）设集合 S=，则 ST=(x 2)(x 3)0,T0Sxx x PI(A)2，3 (B)（-，2 3,+）U(C)3,+）(D)（0，2 3,+）U（2）若 z=1+2i，则 41izz(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i（3）已知向量,则ABC=12(,)22BA uu v3 1(,),22BC uu u v(A)300 (B)450 (C)600 (D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 150C，B 点表示四月的平均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的是(A)各月的平均最低气温都在 00C 以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于 200C 的月份有 5 个（5）若，则 3tan42cos2sin2(A)(B)(C)1 (D)642548251625（6）已知，则432a 344b 1325c（A）（B）（C）（D）bacabcbcacab（7）执行下图的程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（A）3（B）4（C）5（D）62（8）在中，BC 边上的高等于,则 ABC4B=13BCcos A=（A）（B）3 10101010（C）（D）1010-3 1010-(9)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）1836 5（B）54 18 5（C）90（D）81(10)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有一个体积为 V 的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V 的最大值是（A）4 （B）（C）6 92（D）323（11）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点.P22221(0)xyabab为 C 上一点，且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（A）（B）（C）（D）13122334（12）定义“规范 01 数列”an如下：an共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意，2km中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有12,ka aaL（A）18 个 （B）16 个 （C）14 个 （D）12 个二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若 x，y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为_.+1 0 2 0+2 2 0?（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_个单位长=sin 3cos =sin+3cos度得到。3（15）已知 f(x)为偶函数，当时，则曲线 y=f(x)，在带你（1，-3）处的切线方程是 0()=ln()+3_。（16）已知直线与圆交于 A，B 两点，过 A，B 分别做 l 的垂线与 x 轴交:+3 3=02+2=12于 C，D 两点，若，则_.|=2 3|=三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分 12 分）已知数列的前 n 项和，其中0=1+=1+（I）证明是等比数列，并求其通项公式（II）若 ，求53132S（18）（本小题满分 12 分）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明（II）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量。（19）（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA地面 ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点.（I）证明 MN平面 PAB;（II）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.（20）（本小题满分 12 分）已知抛物线 C：的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直22yx线分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点.12,l l（I）若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明 ARFQ；（II）若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.（21）（本小题满分 12 分）设函数 f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中 a0，记的最大值为 A.|（x）|4（）求 f（x）；（）求 A；（）证明2A.|（x）|请考生在请考生在22、23、24题中任选一题作答。作答时用题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。果多做，则按所做的第一题计分。22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，O 中的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点.AB（I）若PFB=2PCD，求PCD 的大小；（II）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明 OGCD.23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线的参数方程为，以坐标原点为1C3cos()sinxy为参数极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.2Csin()2 24（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；1C2C（II）设点 P 在上，点 Q 在上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标.1C2C24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数()|2|f xxaa（I）当 a=2 时，求不等式的解集；()6f x（II）设函数当时，f（x）+g（x）3，求 a 的取值范围.()|21|,g xxxR5绝密绝密启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型：新课标试题类型：新课标20162016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学正式答案理科数学正式答案第第卷卷一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。目要求的。（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B （8）C （9）B （10）B （11）A （12）C【11】【12】解：由题意可知，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，若 m=4，说明数列有 8 项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1共 14 个6故选：C第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）32（14）3（15）21yx（16）4三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 12 分）解：（）由题意得，故，.1111aSa1111a01a由，得，即.由，得，nnaS1111nnaSnnnaaa11nnaa)1(101a00na所以.11nnaa因此是首项为，公比为的等比数列，于是na1111)1(11nna（）由（）得，由得，即，nnS)1(132315S3231)1(155)1(321解得1（18）（本小题满分 12 分）7解：（）由折线图这数据和附注中参考数据得，4t28)(712iitt55.0)(712iiyy，89.232.9417.40)(717171iiiiiiiiytytyytt.99.0646.2255.089.2r因为与 的相关系数近似为 0.99，说明与 的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与 的关ytytyt系.（）由及（）得，331.1732.9y103.02889.2)()(71271iiiiittyyttb.92.04103.0331.1t bya所以，关于 的回归方程为：.ytty10.092.0将 2016 年对应的代入回归方程得：.9t82.1910.092.0y所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨.（19）（本小题满分 12 分）解：（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，232ADAMBPTTNAT,NPCBCTN/.221BCTN又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.BCAD/TNAMAMNTATMN/因为平面，平面，所以平面.ATPABMNPAB/MNPAB（）取的中点，连结，由得，从而，且BCEAEACAB BCAE ADAE.5)2(2222BCABBEABAE以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，AAExxyzA，)4,0,0(P)0,2,0(M)0,2,5(C)2,1,25(N，.)4,2,0(PM)2,1,25(PN)2,1,25(AN8设为平面的法向量，则，即，可取，),(zyxn PMN00PNnPMn0225042zyxzx)1,2,0(n于是.2558|,cos|ANnANnANn（20）解：由题设.设，则，且)0,21(Fbylayl:,:210ab.)2,21(),21(),21(),2(),0,2(22baRbQaPbbBaA记过两点的直线为，则 的方程为.3 分BA,ll0)(2abybax（）由于在线段上，故.FAB01ab记的斜率为，的斜率为，则AR1kFQ2k.222111kbaabaababaabak所以.5 分FQAR（）设 与轴的交点为，lx)0,(1xD则.2,2121211baSxabFDabSPQFABF由题设可得，所以（舍去），.221211baxab01x11x设满足条件的的中点为.AB),(yxE当与轴不垂直时，由可得.ABxDEABkk)1(12xxyba9而，所以.yba2)1(12xxy当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.12 分ABxED12 xy（21）（本小题满分 12 分）解：（）()2 sin2(1)sinfxaxax（）当时，1a|()|sin2(1)(cos1)|fxaxax2(1)aa32a(0)f因此，4 分32Aa当时，将变形为01a()f x2()2 cos(1)cos1f xaxax令，则是在上的最大值，且当2()2(1)1g tatatA|()|g t 1,1(1)ga(1)32ga时，取得极小值，极小值为14ata()g t221(1)61()1488aaaagaaa 令，解得（舍去），1114aa 13a 15a（）当时，在内无极值点，所以105a()g t(1,1)|(1)|ga|(1)|23ga|(1)|(1)|gg23Aa（）当时，由，知115a(1)(1)2(1)0gga1(1)(1)()4aggga又，所以1(1)(1 7)|()|(1)|048aaaggaa2161|()|48aaaAgaa综上，9 分2123,0561 1,18532,1aaaaAaaaa（）由（）得.|()|2 sin2(1)sin|2|1|fxaxaxaa 当时，.105a|()|1242(23)2fxaaaA 当时，所以.115a131884aAa|()|12fxaA 当时，所以.1a|()|31642fxaaA|()|2fxA请考生在请考生在2222、2323、2424题中任选一题作答。作答时用题中任选一题作答。作答时用 2B2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。如果多做，则按所做的第一题计分。1022.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲解：（）连结，则.BCPB,BCDPCBPCDBPDPBABFD,因为，所以，又，所以.BPAP PCBPBABCDBPDPCDBFD又，所以，因此.PCDPFBBFDPFD2,180oo1803PCDo60PCD（）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在BFDPCDo180EFDPCDEFDC,的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的CEDFGEFDC,GCD垂直平分线上，因此.CDOG 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程解：（）的普通方程为，的直角坐标方程为.5 分1C2213xy2C40 xy（）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，P(3cos,sin)2C|PQ即为到的距离的最小值，P2C()d.8 分|3cossin4|()2|sin()2|32d当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.2()6kkZ()d2P3 1(,)2 210 分24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲解：（）当时，.2a()|22|2f xx解不等式，得.|22|26x 13x 因此，的解集为.5 分()6f x|13xx（）当时，xR()()|2|1 2|f xg xxaax|21 2|xaxa，|1|aa当时等号成立，12x 所以当时，等价于.7 分xR()()3f xg x|1|3aa 11当时，等价于，无解.1a 13aa当时，等价于，解得.1a 13aa 2a 所以的取值范围是.10 分a2,)