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(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一知识总结例题（精选试题附答案）高中数学选修一知识总结例题 单选题 1、已知点P是抛物线y22x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点(72，4)，则|PA|+|PM|的最小值是（）A5B92C4D32 答案：B 分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点推断出|PA|PH|，进而表示出|PM|，问题转化为求|PF|+|PA|的最小值，由三角形两边长大于第三边得到|PF|+|PA|的最小值，则|PA|+|PM|的最小值可得 依题意可知焦点(12,0)，准线 x=12，延长PM交准线于H点 则|PF|PH|，|PM|PH|12=|PF|12|PM|+|PA|PF|+|PA|12，要使|PM|+|PA|当且仅当|PF|+|PA|最小 由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|FA|，当与线段与抛物线的交点0重合时取到最小值，由(72,4),可得|=(7212)2+42=5 则所求为(|+|)min=5 12=92 故选：B 2、如图所示，在空间四边形中，,=,=，点在上，且=2，为中点，则（）A12 23+12 B23 +12+12 C12 +12 12 D23 +23 12 答案：B 分析：由向量的加法和减法运算法则计算即可 =12(+)23=23 +12+12 故选：B 3、在矩形ABCD中，O为BD中点且=2，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角 为 90，则直线AO与CD所成角余弦值为（）A55B54 C3525D4225 答案：C 分析：建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO与CD所成角余弦值.在平面中过作 ，垂足为；在平面中过作 ，垂足为.由于平面 平面，且交线为，所以 平面，平面，设=1,=2，12 =12 =25,=2 2=325，同理可得=25,=325，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则(325,0,25),(25,325,0),(52,0,0)，=(510,325,0)，设与所成角为，则cos=|=3205212=3525.故选：C 4、已知边长为 2 的等边三角形，是平面内一点，且满足:=2:1，则三角形面积的最小值是（）A43(3 1)B43(3+1)C433D33 答案：A 分析：建立直角坐标系，设(,)，写出,的坐标，利用:=2:1列式得关于,的等式，可得点的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线的方程，计算|和点距离直线的最小距离 ，代入三角形面积公式计算.以的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，则(0,3)，(1,0)，(1,0)，设(,)，因为:=2:1，所以(+1)2+2=4(1)2+42，得(53)2+2=169，所以点的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点距离直线距离最大时，面积最大，已知直线的方程为：3 +3=0，|=2，点距离直线的最小距离为：=|533+3|243=43343，所以 面积的最小值为=12 2 (43343)=43(3 1).故选：A 5、若点在曲线1:21629=1上，点在曲线2:(5)2+2=1上，点在曲线3:(+5)2+2=1上，则|的最大值是（）A9B10C11D12 答案：B 分析：分析可知两圆圆心为双曲线1的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得|的最大值.在双曲线1中，=4，=3，=5，易知两圆圆心分别为双曲线1的两个焦点，记点1(5,0)、2(5,0)，当|取最大值时，在双曲线1的左支上，所以，|2|+1 (|1|1)=|2|1|+2=2+2=10.故选：B.6、如图，在直三棱柱 11中，=3,=4,1=3,=90，则1与1所成的角的余弦值为（）A 3210B 33C 24D 55 答案：A 分析：建立空间直角坐标系，写出1，1 的坐标，由夹角公式可得结果.如图，以为坐标原点，1分别为，轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)，1(3,0,3)，(0,4,0)，1(0,0,3)，所以1=(3,0,3)，1=(0,4,3)，所以cos1,1 =1 1|1|1|=9325=3210，所以直线1与1所成角的余弦值为3210 故选：A.7、如图，ABCDEFGH是棱长为 1 的正方体，若P在正方体内部且满足=34+12+23，则P到AB的距离为（）A34B45 C56D35 答案：C 分析：以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，计算出 和 的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式=|2(|)2即可求解.解：如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则=(1,0,0)，=(0,1,0)，=(0,0,1)，因为=34+12+23，所以=(34,12,23)，|=34，|=(34)2+(12)2+(23)2=181144,所以点P到AB的距离=|2(|)2=181144916=56 故选：C.8、若圆2+2=1上总存在两个点到点(,1)的距离为 2，则实数a的取值范围是（）A(22,0)(0,22)B(22,22)C(1,0)(0,1)D(1,1)答案：A 分析：将问题转化为圆()2+(1)2=4与2+2=1相交，从而可得2 1 2+12 2+1，进而可求出实数a的取值范围.到点(,1)的距离为 2 的点在圆()2+(1)2=4上，所以问题等价于圆()2+(1)2=4上总存在两个点也在圆2+2=1上，即两圆相交，故2 1 2+12 2+1，解得22 0或0 0)的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且 ，若|=6，则的准线方程为_.答案：=32 分析：先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.抛物线：2=2(0)的焦点(2,0),P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为2，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设(2,),因为Q为轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，又|=6，(6+2,0),=(6,)因为 ，所以 =2 6 2=0,0,=3，所以的准线方程为=32 所以答案是：=32.小提示：利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.解答题 16、已知直三棱柱 111中，侧面11为正方形，=2，E，F分别为和1的中点，D为棱11上的点 11 （1）证明：；（2）当1为何值时，面11与面所成的二面角的正弦值最小?答案：（1）证明见解析；（2）1=12 分析：（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；（1）方法一：几何法 因为 11,11/，所以 又因为 1，1=，所以 平面11又因为=2，构造正方体 1111，如图所示，过E作的平行线分别与，交于其中点,，连接1,1，因为E，F分别为和1的中点，所以是BC的中点，易证Rt Rt 1，则=1 又因为1+1=90，所以+1=90，1 又因为 11,1 11=1，所以 平面11 又因为 平面11，所以 方法二【最优解】：向量法 因为三棱柱 111是直三棱柱，1底面，1 11/，11，又1 =，平面11所以,1两两垂直 以为坐标原点，分别以,1所在直线为,轴建立空间直角坐标系，如图 (0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),1(0,0,2),1(2,0,2),1(0,2,2)，(1,1,0),(0,2,1)由题设(,0,2)（0 2）因为=(0,2,1),=(1 ,1,2)，所以 =0 (1 )+2 1+1 (2)=0，所以 方法三：因为 11，11/，所以 ，故 11=0，=0，所以 =(+1+1)=1+(+1)=+1 =(12 12)+1 =12 12 +1 =12 +1 =12|cos+|1|cos1=12 5 2 25+5 2 15=0，所以 （2）方法一【最优解】：向量法 设平面的法向量为 =(,)，因为=(1,1,1),=(1 ,1,2)，所以 =0 =0，即+=0(1 )+2=0 令=2 ，则 =(3,1+,2 )因为平面11的法向量为=(2,0,0)，设平面11与平面的二面角的平面角为，则|cos|=|=62222+14=3222+14 当=12时，22 2+4取最小值为272，此时cos取最大值为3272=63 所以(sin)min=1 (63)2=33，此时1=12 方法二：几何法 如图所示，延长交11的延长线于点S，联结交11于点T，则平面 平面11=作1 ，垂足为H，因为1平面11，联结，则1为平面11与平面所成二面角的平面角 设1=,0,2,1=，过1作1/11交于点G 由11=13=11得1=13(2 )又11=11，即13(2)=2，所以=3+1 又11=1，即11=1+(2)2，所以1=1+(2)2 所以=12+12=21+(2)2+2=92222+5+2 则sin1=1=92222+5+2=192(12)2+92+1，所以，当=12时，(sin1)min=33 方法三：投影法 如图，联结1,，在平面11的投影为 1，记面11与面所成的二面角的平面角为，则cos=1 设1=(0 2)，在Rt 1中，=12+12=2+5 在Rt 中，=2+2=3，过D作1的平行线交于点Q 在Rt 中，=2+2=5+(1 )2 在 中，由余弦定理得cos=2+222=32+15(+1)3(2+5)，sin=222+143(2+5)，=12 sin=1222 2+14，1=32,cos=1=3222+14，sin=1 92(2+7)，当=12，即1=12，面11与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为33【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面11与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面11上的投影三角形的面积与 面积之比即为面11与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维 17、求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)经过点(6,0)，(3,2)；(2)焦点为(0,5)，(0,5)，经过点(433,23)；(3)=，经过点(3,1)；(4)经过(3,42)和(94,5)两点 答案：(1)2628=1；(2)29216=1；(3)2828=1；(4)21629=1.分析：(1)根据题意，由双曲线经过点(6，0)，分析可得双曲线的焦点为轴上，且=6，设双曲线的标准方程为：2622=1，将点(3,2)代入计算可得2的值，将2的值代入双曲线的方程，即可得答案；(2)根据题意，分析可得双曲线的焦点在轴上，且=5，由双曲线的定义计算可得的值，结合双曲线的几何性质可得2的值，将2、2的值代入双曲线的方程，即可得答案(3)根据题意，设双曲线的方程为：2 2=，将点(3,1)代入其中计算可得的值，即可得双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案；(4)根据题意，设双曲线的方程为2 2=1，将(3,42)和(94，5)两点坐标代入双曲线方程可得9 32=18116 25=1，解可得：、的值，将、的值代入双曲线方程即可得答案（1）根据题意，双曲线经过点(6，0)，则双曲线的焦点在轴上，且=6，设双曲线的标准方程为：2622=1，双曲线经过(3,2)，则有9642=1，解可得2=8，则双曲线的标准方程为：2628=1；（2）根据题意，焦点为(0,5)，(0,5)，则双曲线的焦点在轴上，且=5，双曲线过点(433,23)，故根据双曲线的定义可知：2=|(433)2+(23+5)2(433)2+(23 5)2|=6，则=3，则2=2 2=16，则双曲线的标准方程为：29216=1；（3）根据题意，双曲线中=，设双曲线的方程为：2 2=，又由双曲线经过点(3,1)，则有=32(1)2=8，则双曲线的方程为2 2=8，则双曲线的标准方程为：2828=1；（4）根据题意，设双曲线的方程为2 2=1(0)，双曲线经过(3,42)和(94，5)两点，则有9 32=18116 25=1，解可得：=19，=116，则双曲线的标准方程为：21629=1 18、如图，在棱长为 1 的正方体 1111中，E，F分别为1，BD的中点，点G在CD上，且=14 （1）求证：1；（2）求EF与 C1G 所成角的余弦值 答案：（1）证明见解析；（2）33 分析：（1）建立空间直角坐标系，直接利用向量法证明 1；（2）直接利用向量法求EF与CG所成角的余弦值（1）建立以D点为坐标原点，,1所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,12)，(12,12,0)，1(1,1,1)，(0,1,0)，则=(12,12,12)，1=(1,0,1)，所以 1=12(1)+0+(12)(1)=0，即 1，所以 1.（2）由（1）知，(0,34,0)，=(0,14,0)，则cos=|=0+12(14)+03214=33，因为EF与CG所成角的范围为0,2，所以其夹角余弦值为33.19、在直角坐标系xOy中，已知点(2,2)，(2,2)，直线AD，BD交于D，且它们的斜率满足：=2(1)求点D的轨迹C的方程；(2)设过点(0,2)的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OP与OQ分别交直线=1 于点M，N，是否存在常数入，使=，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 答案：(1)2=2(2)；(2)存在，的值为 4.分析：(1)设出点D的坐标，根据给定条件列式、化简整理即可作答.(2)设出直线l的方程，与轨迹C的方程联立，借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.(1)设(,)，而点(2,2)，(2,2)，则=2+2，=22，又=2，于是得2+222=2，化简整理得：2=2(2)，所以点D的轨迹C的方程是：2=2(2).(2)存在常数=4，使=，如图，依题意，直线l的斜率存在且不为 0，设直线l：=+2，(1,1)，(2,2)，由=+22=2 消去y得：2 2 4=0，则1+2=2，12=4，|1 2|=(1+2)2 412=42+16=22+4，则=12 2|1 2|=22+4，直线OP：=11，取=1，得点M横坐标=11，同理得点N的横坐标=22，则|=|2211|=|211212|=|2(1+2)1(2+2)|(1+2)(2+2)|=|2(21)|212+2(1+2)+4|=42+44=2+4，因此有=12 1|=2+42，于是得=4，所以存在常数=4，使=.