高数下第十一章曲线积分与曲面积分PPT参考课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,曲,*,第十一章 曲线积分,1,曲,一、对弧长的曲线积分的概念,1.,定义函数,f(x,y,),在曲线弧上对弧长的曲线积分,2,曲线积分与曲面积分,2.,存在条件：,3.,推广,3,曲线积分与曲面积分,4.,性质,4,曲线积分与曲面积分,5,、对弧长曲线积分的计算,定理,5,曲线积分与曲面积分,注意,:,6,曲线积分与曲面积分,例,1,解,7,曲线积分与曲面积分,例,2,解,例,3,解,8,曲线积分与曲面积分,例,3,解,由对称性,知,9,曲线积分与曲面积分,练习题,10,曲线积分与曲面积分,练习题答案,11,曲线积分与曲面积分,二、对坐标的曲线积分的概念,定义,:,函数,P(x,y,),在有向曲线弧,L,上对坐标,x,的曲线积分,类似地定义,12,曲线积分与曲面积分,2.,存在条件：,3.,组合形式,13,曲线积分与曲面积分,4.,推广,14,曲线积分与曲面积分,5.,性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,.,15,曲线积分与曲面积分,6,、对坐标的曲线积分的计算,定理,16,曲线积分与曲面积分,17,曲线积分与曲面积分,18,曲线积分与曲面积分,例,1,解,19,曲线积分与曲面积分,20,曲线积分与曲面积分,例,2,解,21,曲线积分与曲面积分,问题,：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同,.,22,曲线积分与曲面积分,例,3,解,23,曲线积分与曲面积分,24,曲线积分与曲面积分,问题,：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同,.,25,曲线积分与曲面积分,(4),两类曲线积分之间的联系：,其中,（可以推广到空间曲线上 ）,26,曲线积分与曲面积分,思考题,27,曲线积分与曲面积分,思考题解答,曲线方向由参数的变化方向而定,.,28,曲线积分与曲面积分,29,曲线积分与曲面积分,练习题答案,30,曲线积分与曲面积分,1,、区域连通性的分类,设,D,为平面区域,如果,D,内任一闭曲线所围成的部分都属于,D,则称,D,为平面单连通区域,否则称为复连通区域,.,复连通区域,单连通区域,D,D,三,、格林公式,31,曲线积分与曲面积分,2.,格林公式,定理,1,32,曲线积分与曲面积分,边界曲线,L,的正向,:,当观察者沿边界行走时,区域,D,总在他的左边,.,33,曲线积分与曲面积分,34,曲线积分与曲面积分,x,y,o,L,A,B,35,曲线积分与曲面积分,36,曲线积分与曲面积分,解,37,曲线积分与曲面积分,x,y,o,L,y,x,o,38,曲线积分与曲面积分,x,y,o,(,注意格林公式的条件,),39,曲线积分与曲面积分,若区域,如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中,L,的方向。,思考题,40,曲线积分与曲面积分,思考题解答,由两部分组成,外,边界：,内,边界：,41,曲线积分与曲面积分,G,y,x,o,四、第二类曲线积分与路径无关的条件,B,A,1.,定义：如果在区域,G,内有,42,曲线积分与曲面积分,2.,曲线积分与路径无关的条件,定理,2,43,曲线积分与曲面积分,两条件缺一不可,有关定理的说明：,44,曲线积分与曲面积分,定理,3,45,曲线积分与曲面积分,46,曲线积分与曲面积分,解,47,曲线积分与曲面积分,解,48,曲线积分与曲面积分,49,曲线积分与曲面积分,四、小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等,价,命,题,50,曲线积分与曲面积分,51,曲线积分与曲面积分,52,曲线积分与曲面积分,练习题答案,53,曲线积分与曲面积分,五、对面积的曲面积分,1.,定义,54,曲线积分与曲面积分,2.,对面积的曲面积分的性质,55,曲线积分与曲面积分,3,、计算法,则,56,曲线积分与曲面积分,则,57,曲线积分与曲面积分,例,1,解,58,曲线积分与曲面积分,59,曲线积分与曲面积分,解,依对称性知：,60,曲线积分与曲面积分,61,曲线积分与曲面积分,62,曲线积分与曲面积分,练 习 题,63,曲线积分与曲面积分,64,曲线积分与曲面积分,练习题答案,65,曲线积分与曲面积分,六、对坐标的曲面积分,1.,曲面的侧,(,假设曲面是光滑的,),曲面分,上,侧和,下,侧,曲面分,内,侧和,外,侧,66,曲线积分与曲面积分,曲面法,向量的指向,决定曲面的,侧,.,决定了侧的曲面称为,有向曲面,.,曲面的投影问题,:,67,曲线积分与曲面积分,2,、概念及性质,68,曲线积分与曲面积分,类似可定义,69,曲线积分与曲面积分,存在条件,:,组合形式,:,70,曲线积分与曲面积分,性质,:,71,曲线积分与曲面积分,3,、计算法,72,曲线积分与曲面积分,73,曲线积分与曲面积分,注意,:,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,.,74,曲线积分与曲面积分,解,75,曲线积分与曲面积分,76,曲线积分与曲面积分,练 习 题,77,曲线积分与曲面积分,练习题答案,78,曲线积分与曲面积分,七、高 斯 公 式,79,曲线积分与曲面积分,Gauss,公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,.,由两类曲面积分之间的关系知,80,曲线积分与曲面积分,解,81,曲线积分与曲面积分,(,利用柱面坐标得,),82,曲线积分与曲面积分,使用,Guass,公式时应注意,:,83,曲线积分与曲面积分,84,曲线积分与曲面积分,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面,不是封闭曲面,为利用高斯公式,85,曲线积分与曲面积分,86,曲线积分与曲面积分,故所求积分为,87,曲线积分与曲面积分,练习题,88,曲线积分与曲面积分,练习题答案,89,曲线积分与曲面积分,