高数下第十二章级数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十二章 级 数,1,一、级数的概念与性质,1.,级数的定义,:,(,常数项,),无穷级数,一般项,级数的部分和,2,无穷级数,2.,级数的收敛与发散,:,3,无穷级数,解,4,无穷级数,收敛,发散,发散,发散,综上,5,无穷级数,解,6,无穷级数,7,无穷级数,3,、基本性质,结论,:,级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变,.,结论,:,收敛级数可以逐项相加与逐项相减,.,8,无穷级数,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性,.,9,无穷级数,证明,10,无穷级数,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,.,收敛,发散,11,无穷级数,证明,级数收敛的必要条件,:,性质,5,12,无穷级数,注意,1.,如果级数的一般项不趋于零,则级数发散,;,发散,2.,必要条件不充分,.,但发散,.,13,无穷级数,14,无穷级数,二、正项级数及其审敛法,2.,正项级数收敛的充要条件,:,定理,正项级数,15,无穷级数,3.,比较审敛法,16,无穷级数,解,由图可知,17,无穷级数,重要参考级数,:,几何级数,P-,级数,调和级数,.,18,无穷级数,证明,19,无穷级数,4.,比较审敛法的极限形式,:,设,=,1,n,n,u,与,=,1,n,n,v,都是正项级数,如果,则,(1),当,时,二级数有相同的敛散性,;,(2),当,时，若,收敛,则,收敛,;,(3),当,时,若,=,1,n,n,v,发散,则,=,1,n,n,u,发散,;,20,无穷级数,解,原级数发散.,故原级数收敛.,21,无穷级数,22,无穷级数,比值审敛法的优点,:,不必找参考级数,.,注意,:,23,无穷级数,解,24,无穷级数,比值审敛法失效,改用比较审敛法,25,无穷级数,级数收敛.,26,无穷级数,三、交错级数及其审敛法,定义,:,正、负项相间的级数称为交错级数,.,27,无穷级数,28,无穷级数,四、绝对收敛与条件收敛,定义,:,正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,.,证明,29,无穷级数,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,30,无穷级数,解,故由定理知原级数绝对收敛.,31,无穷级数,四、小结,正 项 级 数,任意项级数,审,敛,法,1.,2.,4.,充要条件,5.,比较法,6.,比值法,7.,根值法,4.,绝对收敛,5.,交错级数,(,莱布尼茨定理,),3.,按基本性质,;,32,无穷级数,思考题,33,无穷级数,思考题解答,由比较审敛法知 收敛,.,反之不成立,.,例如：,收敛,发散,.,34,无穷级数,35,无穷级数,36,无穷级数,五、函数项级数的一般概念,1.,定义,:,37,无穷级数,2.,收敛点与收敛域,:,38,无穷级数,函数项级数的部分和,3.,和函数,:,39,无穷级数,解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛,.,40,无穷级数,原级数发散,.,收敛,;,发散,;,41,无穷级数,六、幂级数及其收敛性,1.,定义,:,2.,收敛性,:,42,无穷级数,43,无穷级数,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,44,无穷级数,推论,45,无穷级数,定义,:,正数,R,称为幂级数的,收敛半径,.,幂级数的收敛域称为幂级数的,收敛区间,.,规定,46,无穷级数,47,无穷级数,例,2,求下列幂级数的收敛区间,:,解,该级数收敛,该级数发散,48,无穷级数,49,无穷级数,发散,收敛,故收敛区间为,(0,1.,50,无穷级数,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,51,无穷级数,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为,52,无穷级数,3,、幂级数的分析运算,53,无穷级数,(,收敛半径不变,),54,无穷级数,(,收敛半径不变,),55,无穷级数,解,两边积分得,56,无穷级数,57,无穷级数,练 习 题,58,无穷级数,59,无穷级数,练习题答案,60,无穷级数,七、泰勒级数,上节例题,存在幂级数在其收敛域内以,f(x),为和函数,问题,:,1.,如果能展开,是什么,?,2.,展开式是否唯一,?,3.,在什么条件下才能展开成幂级数,?,61,无穷级数,62,无穷级数,问题,定义,泰勒级数在收敛区间是否收敛于,f(x),?,不一定,.,63,无穷级数,64,无穷级数,二、函数展开成幂级数,1.,直接法,(,泰勒级数法,),步骤,:,（,2,）验证：,65,无穷级数,例,1,解,由于,M,的任意性,即得,66,无穷级数,例,2,解,67,无穷级数,2.,间接法,根据唯一性,利用常见展开式,通过,变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分,等方法,求展开式,.,例如,68,无穷级数,69,无穷级数,例,4,解,70,无穷级数,71,无穷级数,练 习 题,72,无穷级数,练习题答案,73,无穷级数,