高数幂级数详解和习题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 幂级数,一、函数项级数的一般概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,四、小结 练习题,1,21-11月-24,一、函数项级数的一般概念,1.,定义,:,2,21-11月-24,2.,收敛点与收敛域,:,3,21-11月-24,函数项级数的部分和,余项,(,x,在收敛域上,),注意,函数项级数在某点,x,的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题,.,3.,和函数,:,(,定义域是,?),4,21-11月-24,二、幂级数及其收敛性,1.,定义,:,2.,收敛性,:,5,21-11月-24,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,6,21-11月-24,推论,7,21-11月-24,定义,:,正数,R,称为幂级数的,收敛半径,.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径,?,幂级数的收敛域为以下几个区间之一：,8,21-11月-24,证明,9,21-11月-24,由比值审敛法,10,21-11月-24,定理证毕,.,11,21-11月-24,例,2,求下列幂级数的收敛域,:,解,该级数收敛,该级数发散,12,21-11月-24,13,21-11月-24,发散,收敛,故收敛域为,(0,1.,14,21-11月-24,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,15,21-11月-24,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为,16,21-11月-24,三、幂级数的运算,1.,代数运算性质,:,(1),加减法,(其中,17,21-11月-24,(2),乘法,(其中,18,21-11月-24,(3),除法,(,相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多,),2.,和函数的分析运算性质,:,19,21-11月-24,(,收敛半径不变,),20,21-11月-24,(,收敛半径不变,),21,21-11月-24,解,两边积分得,22,21-11月-24,23,21-11月-24,解,24,21-11月-24,25,21-11月-24,解,收敛区间,(-1,1),26,21-11月-24,常用已知和函数的幂级数,27,21-11月-24,四、小结,2.,幂级数的收敛性,:,收敛半径,R,3.,幂级数的运算,:,分析运算性质,1.,函数项级数的概念,:,28,21-11月-24,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,29,21-11月-24,思考题解答,不一定,.,例,它们的收敛半径都是,1,但它们的收敛域各是,30,21-11月-24,练 习 题,31,21-11月-24,32,21-11月-24,练习题答案,33,21-11月-24,