高斯公式的内容及其证明(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,106 高斯公式 通量与散度,一、高斯公式,二、通量与散度,高斯公式的物理意义、,散度,散度的计算、通量、高斯公式的另一形式,1,一、高斯公式,定理1,设空间闭区域,W,是由分片光滑的闭曲面,S,所围成，函数,P,(,x,y,z,)、,Q,(,x,y,z,)、,R,(,x,y,z,)在,W,上具有一阶连续偏导数，则有,这里,S,是,W,的整个边界的外侧，cos,a,、cos,b,、cos,g,是,S,上点(,x,y,z,),处的法向量的方向余弦 这两个公式称为高斯公式,证明,2,如图所示，把,S看成由S,1,，,S,2,和S,3,三部分组成，其中S,1,和,S,2,的,方程分别为,z,z,1,(,x,y,)和,z,z,2,(,x,y,)，,S,1,取下侧，,S,2,取上侧，,S,3,取外,侧设闭区域,W,在,xOy,面上的投影区域为,D,xy,简要证明：,x,y,z,O,W,S,2,：,z,z,2,(,x,y,),S,3,S,1,：,z,z,1,(,x,y,),D,xy,3,根据三重积分的计算法，有,另一方面，有,以上三式相加，得,4,类似地有,把以上三式两端分别相加，即得高斯公式,5,解 这里,P,(,y,z,),x,，,Q,0，,R,x,y,，,由高斯公式，有,x,y,z,O,1,1,3,6,解 设,S,1,为,z,h,(,x,2,y,2,h,2,)的上侧，则,S,与,S,1,一起构成一个闭曲,面，记它们围成的空间闭区域为,W,x,y,z,O,x,2,y,2,h,2,h,S,1,S,7,而,因此,由高斯公式得,8,二、通量与散度,高斯公式,的右端可解释为单位时间内离开闭区域,W,的流体的总质量，左,端可解释为分布在,W,内的源头在单位时间内所产生的流体的总,质量,高斯公式的物理意义：,9,在流速场,F,P,(,x,y,z,),Q,(,x,y,z,),R,(,x,y,z,),内一定点,M,(,x,y,z,)附近任取一包围,M,点的闭曲面,S,，设,S,所围成的,区域为,W,，,W,的体积为,V,，则,散度：,表示单位时间从,W,的单位体积内所产生的流量，而,表示在点,M,处单位时间内所产生的流量，我们称其为向量场,F,在,点,M,的散度，记为div,F,，即,10,设,P,、,Q,、,R,具有一阶连续偏导数，则,散度的计算：,设,S,是向量场,F,内的一片有向曲面，,n,是,S,上点(,x,y,z,)处的单位,法向量，则,通量：,叫做向量场,F,通过曲面,S,向着指定侧的通量（或流量）,高斯公式的另一形式：,11,