高等数学-隐函数(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,隐函数和参数方程求导,相关变化率,第二章,1,一、隐函数的导数,若由方程,可确定,y,是,x,的函数,由,表示的函数,称为,显函数,.,例如,可确定显函数,可确定,y,是,x,的函数,但此隐函数不能显化,.,函数为,隐函数,.,则称此,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(,含导数 的方程,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1,求方程,所确定的隐函数的导,数,解：,方程两边分别对,x,求导数，,所以,3,例,2.,求由方程,在,x,=0,处的导数,解,:,方程两边对,x,求导,得,因,x,=0,时,y,=0,故,确定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3,求由方程,所确定的隐函数,的导数,并求出,写出通过曲线,上,点,的切线方程,.,解：,方程两边对,x,求导,解出,得,将,代入,得,解得,所以,点,的切线方程为,即,5,例,4.,求椭圆,在点,处的切线方程,.,解,:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,例,5.,求由方程,二阶导数。,确定的隐函数的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,方程两边分别对,x,求导数，,所以,7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练：求由方程,所确定的,隐函数的导数,8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对数求导法,：,对幂指函数和某些复杂的根式或分式用此法,求导简便些,.,1),对幂指函数,都可导,.,两边取对数,(,化成了隐函数,),然后按隐函数求导法,求出 的导数,.,即,9,例,6.,求,的导数,.,解,:,两边取对数,化为隐式,两边对,x,求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,2),有些显函数用,对数求导法,求导很方便,.,例如,两边取对数,两边对,x,求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,例,7.,设,对,x,求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求导数。,12,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,设,求,解：,两边取对数得,方程两边分别对,x,求导数，,13,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个,y,与,x,之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(,此时看成,x,是,y,的函数,),关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数,.,利用新的参数方程,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,8,已知椭圆的直角坐标方程为,求,及,写出椭圆的参数方程；,解：,椭圆的参数方程为：,为求,列出参数方程：,16,例,9.,已知椭圆的参数方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求椭圆在,相应的点处的切线方程。,解,:,当,时，,椭圆上的对应点为,此点切线斜率为：,切线方程为：,17,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,10,设曲线 方程为,当,时所对应的点,与法线方程；,解：,求曲线,处的切线方程,看成为,是,如果把曲线,的函数，,求,点的坐标为：,点切线斜率为：,18,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处的,即,切线方程为,:,即,法线方程为,:,看成为,是,如果把曲线,的函数，,则,19,例,11.,抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻,t,的运动速度的大小和方向,.,解,:,先求速度大小,:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体,速度大小,再求,速度方向,(,即轨迹的切线方向,):,设,为切线倾角,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出,(,即,t,=0),时,倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射,最远距离,速度的方向,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,12,求由摆线,所确定的函数,的二阶导数。,解,:,22,例,13.,设,且,求,解,:,练习,:,P112,题,8(1),解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,例,14,设由方程,确定函数,求,解,:,方程组两边对,t,求导,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为,相关变化率,相关变化率问题,解法,:,找出相关变量的关系式,对,t,求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25,例,15.,一气球从离开观察员,500 m,处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为,500 m,时,观察员,视线的仰角增加率是多少,?,解,:,设气球上升,t,分后其高度为,h,仰角为,则,两边对,t,求导,已知,h,=500m,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26,思考题,:,当气球升至,500 m,时停住,有一观测者以,100 m,min,的速率向气球出发点走来,当距离为,500 m,时,仰角的增加率是多少,?,提示,:,对,t,求导,已知,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作 业：,P111112 1(3);2,；,3(4),；,4,（,2,）,;7(1);8(2),28,求其反函数的导数,.,解,:,方法,1,方法,2,等式两边同时对 求导,备用题,1.,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,求,解：,2.,设,方程组两边同时对,t,求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,30,