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精编习题
平面向量的方法技巧及易错题剖析
1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定；
（2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而×是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹0，且×=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；
（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c。但是×= ×；
如右图：×= |||cosb = |||OA|，×c = ||c|cosa = |||OA|Þ× =×，但 ¹；
(5)在实数中，有(×) = (×)，但是(×)¹ (×)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。
2．平面向量数量积的运算律
特别注意：
（1）结合律不成立：；
（2）消去律不成立不能得到；
（3）=0不能得到=或=。
3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；
4．注重数学思想方法的教学
①．数形结合的思想方法。
由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。
②．化归转化的思想方法。
向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。
③．分类讨论的思想方法。
如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。
（一）平面向量常见方法技巧
方法一：强化运用交换律和结合律的意识，活用闭合向量为零向量解题
特别对于化简题，应灵活运用加法交换律变为各向量首尾相连，然后再运用向量加法结合律作和。
例：化简下列各式：①；
②；
③；
④。结果为零向量的序号为___________。
方法二：强化运用向量加法法则
例：已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
方法三：数形结合思想
例：已知向量、、满足条件，且=1，试判断的形状。
方法四：取特例
例：△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数=_____________。
答案：1
方法五：应用解题
是向量数量积的重要性质之一，它沟通了向量与实数间的转化关系，充分利用这一性质，可以将与向量有关的问题转化为向量的运算问题。
例：已知a、b均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（ ）
A. B. C. D.
方法六：利用数形结合思想解决向量的模、向量的夹角问题
例1：已知向量、b满足，，且a与b的夹角为，求和。
方法七：三角形形状的判断方法
由于三角形的形状可按角分类也可按边分类，所以这类题常将条件统一用边或角表示后再化简、判断
已知平面上有互异的四点A、B、C、D，若，则△ABC的形状是
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
（二）易错题剖析
【易错题1】若向量a、b满足关系式，则下列结论中正确的是（ ）
A. 以、为邻边的四边形是矩形
B. 、中至少有一个零向量或
C. 、中至少有一个是零向量
D. 、均为零向量
答案：B
解题思路：（1）当、均为非零向量时，由向量加法和向量减法的平行四边形法则可知，与分别是以、为邻边的平行四边形的两条对角线。表明这个平行四边形的两条对角线的长相等，所以，以、为邻边的四边形为矩形时，；
（2）当、中有零向量时，条件显然满足。
综上所述，故选B。
错因分析：误区：错选A。
思考不严密，只注意到了向量、均不为零向量的情形，事实上，当、中有零向量时显然也满足条件。
由于零向量是特殊向量，具有特殊性，处理向量问题要首先考虑所给向量能否为零向量。
【易错题2】“两个向量共线”是这两个向量方向相反的（ ）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案：B。
解题思路：两个向量与共线，它们可以在同一条直线上，也可以不在同一条直线上，只要它们方向相同或相反即可。因此，两个向量方向相反这两个向量共线；两个向量共线不能得到这两个向量反向。故选B。
错因分析：误区：两个向量共线包含两个向量同向和反向两种情况，因此，两个向量共线不能得到这两个向量反向；两个向量反向，这两个向量并不一定在同一条直线上。因此错选D。
造成以上误区的原因是对两个向量共线的概念模糊。
【易错题3】设点A（，2），B（，3），C（，），D（，）。若向量与共线且同向，则的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
答案：A
解题思路：由已知条件得，，由与共线得，。当时，=（2，1），=（4，2），则有，满足与同向，当时，，，有，此时与反向，不符合题意。因此，符合条件的只有。故选A。
错因分析：误区：由已知可得，，因为与同向且共线，所以=0，，因此错选C。
出现错误的原因是对同向与共线的概念模糊。事实上，上述解答中只注意了共线条件，而忽视了另一个条件：方向相同。
向量共线的充要条件中的正负决定两个向量是同向还是反向，，同向；，反向。
【易错题4】已知，，则的取值范围是（ ）
A. B. （3，8） C. D. （3，13）
答案：C
解题思路：因为向量减法满足三角形法则，作出，，。
（1）当△ABC存在，即A、B、C三点不共线时，；
（2）当与同向共线时，；
当与反向共线时，。
∴，故选C。
错因分析：误区：错选D。
错误原因是对题意的理解有误，题设条件并没有给出A、B、C三点不能共线，因此它们可以共线。当A、B、C共线时，△ABC不存在。
题目中两向量a、b是任意向量，在解答构思中理应考虑到它们的特殊情形。
【易错题5】已知，，设与的夹角为，要使为锐角，求的取值范围。
解题思路：由为锐角，得>0，且，
∵恒大于0，
∴，即。
解得
若平行于，则。即，但若平行于，则或，与为锐角相矛盾，所以。
综上，。
失分警示：误区：∵为锐角，∴。
由知，只需，即，故。
本题误以为两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是，事实上，两向量的夹角，当时，有，对于非零向量a与b仍有，因此是两非零向量a与b的夹角为锐角的必要不充分条件。即有如下结论：两非零向量a与b的夹角为锐角的充要条件是且不平行于b。
【易错题6】已知点A（3，）与点B（，2），点P在直线AB上，且，求点P的坐标。
解题思路：设点P的坐标为（x，y），
由于，
所以，当点P为有向线段的内分点时，，
此时有∴点P的坐标为（，0）。
当点P为有向线段的外分点时，，
此时有∴点P的坐标为（，8）。
综上所述，点P的坐标为（，0）或（，8）。
失分警示：思考不严密，出现漏解现象，点P可能是的内分点，也可能是的外分点，因此本题必须分类讨论。
【易错题7】△ABC中，已知，，，判断△ABC的形状。
解题思路：。
，。
∵。
∴，，，∴、B、C均为锐角。∴△ABC为锐角三角形。
失分警示：误区：∵，∴。∴∠B为钝角，∴△ABC为钝角三角形。
上述错误在于将与的夹角看成是△ABC的内角B，向量与的夹角应为。
【易错题8】设二次函数，其中，、、是△ABC的三边，且，，若二次函数与轴有交点，试确定∠B的范围。
解题思路：由题设，即
。 ①
又，∴。 ②
由①②知，。
失分警示：误区：由题意得
。
此解法忽视了题设中所给条件，，事实上，是三角形的最大边。∠B为三角形的最大角，不小于。
解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，要做到细致入微，不可大意。
【易错题9】已知在四边形ABCD中，，，，，且，试确定四边形ABCD的形状。
解题思路：由已知易得，则（）=，
∴，即。
又因为，∴， ①
同理可得。 ②
由①②可得，即，即，∴，，∴四边形ABCD为平行四边形，且，，又，∴，∴。
综上所述，四边形ABCD为矩形。
失分警示：误区：由已知可得，又∵，
∴∴，∴，即。同理∴，∴，即。四边形ABCD为平行四边形，∴，，
又∵，∴，∴，即，∴。综上，四边形为矩形。
上述解法错在学生不自觉地应用了实数乘法的结合律，而向量的数量积恰恰不满足结合律，因此学习向量时一定要认真仔细研读教材，抛开思维定式的影响，避免误入思维误区。
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 下列各量中不是向量的是（ ）
A. 浮力 B. 风速 C. 位移 D. 密度
2. 下列说法中错误的是（ ）
A. 零向量是没有方向的 B. 零向量的长度是0 C. 零向量与任一向量平行 D. 零向量的方向是任意
3. 设O是正的中心，则向量是（ ）
A. 有相同起点的向量 B. 平行向量 C. 模相等的向量 D. 相等向量
4. 命题“若”（ ）
A. 总成立 B. 当时成立 C. 当时成立 D. 当时成立
5. 已知正方形ABCD的边长为1，等于（ ）
A. 0 B. 2 C. D.
6. 在平行四边形ABCD中，等于（ ）
A. B. C. D.
7. 下列等式中一定能成立的是（ ）
A. B. C. D.
8. 在平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD必是（ ）
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 无法确定
二. 填空题：
9. 已知向量满足，且，则_________
10. 下列各命题的条件是结论的什么条件（填：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不充要必条件）
（1）是的_____________________（2）____________________
（3）___________________
11. 如图，四边形ABCD为正方形，为等腰直角三角形。

（1）图中与共线的向量有_________（2）图中与相等的向量有_________
（3）图中与模相等的向量有_________（4）图中与相等吗？_________
（5）图中与相等吗？_________
12. 中，则等于__________
三. 解答题：
13. 如图，已知四边形ABCD是矩形，设点集，求集合。（用列举法表示）

14. 化简。
15. 有一两岸平行的河流，水流速度为1，小船的速度为，为使小船从一岸到达另一岸时所走的路程最短，小船应朝什么方向行驶？

【试题答案】
1. D
提示：密度只有大小没有方向。
2. A 3. C
4. C
提示：由于零向量与任何向量都平行，所以当两非零向量不平行而时，有，但这时命题不成立。
5. C
提示：
6. A
提示：

或者根据平行四边形ABCD中，

7. D
8. B
提示：

即平行四边形ABCD的对角线相等，故平行四边形ABCD为矩形。
9. 1
提示：
10. （1）充分不必要条件
提示：
若
（2）既不充分也不必要条件
提示：若

（3）必要不充分条件
提示：若
11. （1） （2）
（3）
（4）相等
（5）不相等
12.
提示：根据三角形法则知

13. 解：以矩形ABCD的四个顶点中的任一点为起点，其余三点中的一点为终点的向量共个，但这12个向量中不是各不相等，将相等的向量看作一个向量把它们一一列举出来：

14. 解：原式
（方法较多，同学们可以多找几种）
15. 解：如图，在平行四边形ABCD中，表示水流速度，表示小船行驶速度，表示小船实际航行速度，则，，若使小船所走路程最短，需与垂直。
在中，
即
故
所以，当小船行驶方向与水流方向成的角时，小船从一岸到另一岸所走路程最短。

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