研究-让解题教学更精彩.doc

基于学习理论的习题课的认识和教学设计
2014年高考已经落下帷幕，在各省市的高考试卷中涌现了许多构思精巧、立意高远、背景深刻的试题.这些精彩纷呈的考题也为我们的高考复习提供了良好的素材，下面笔者就以2014年广东理科数学第20题为例说明如何挖掘高考题的丰富内涵，让我们的解题教学更精彩.不足之处，敬请同行批评指正.
一、考题展示
[2014年广东理科数学第20题]已知椭圆C:（）的一个焦点为，离心率为.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若动点P（）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.
二、试题评析
笔者在此暂不探讨该考题的解法，而对此题作一下评析。本题第一问主要考查圆锥曲线基本量之间的关系，第二问构思精巧，主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及韦达定理等知识，以此为载体考查代数推理能力、分析问题解决问题的能力。
三、深入挖掘
经过笔者研究，将上述考题一般化可以得到关于椭圆的一个一般性结论，即如下命题1.
命题1：已知椭圆C:（），动点P为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线互相垂直，则点P的轨迹方程为，也即点P的轨迹是一个圆.
证明：假设过点P（）的椭圆C的切线斜率为，由点斜式可得切线方程为.
联立直线方程与椭圆方程，消得：
.
因为直线与椭圆相切，所以.
化简可得， .
两条切线的斜率即为上述方程的两根。又因为两条切线互相垂直，所以由韦达定理得：
，整理得.
所以点P的轨迹方程为，也即点P的轨迹是一个圆.
由于圆锥曲线具有统一性，一个很自然的问题就涌现在笔者脑海中：上述问题对于双曲线、抛物线，结论又是怎样的呢？经过探究，笔者得到命题2和命题3.
命题2：已知双曲线C:，动点P为双曲线C外一点，点P到双曲线C的两条切线互相垂直，则点P的轨迹方程为，也即点P的轨迹是一个圆.
证明：假设过点P（）的双曲线C的切线斜率为，由点斜式可得切线方程为.
联立直线方程与双曲线方程，消得：
.
因为直线与双曲线相切，所以
.
化简可得， .
两条切线的斜率即为上述方程的两根。又因为两条切线互相垂直，所以由韦达定理得：
，整理得.
所以，点P的轨迹方程为，也即点P的轨迹是一个圆.

命题3：已知抛物线C:，动点P为抛物线线C外一点，点P到抛物线线C的两条切线互相垂直，则点P的轨迹方程为，也即点P的轨迹恰为抛物线的准线.
证明：假设过点P（）的抛物线C的切线斜率为，由点斜式可得切线方程为.
联立直线方程与抛物线方程，消得：
.
因为直线与抛物线相切，所以
.
化简可得， .
两条切线的斜率即为上述方程的两根。又因为两条切线互相垂直，所以由韦达定理得
，整理得：.
所以，点P的轨迹方程为，也即点P的轨迹恰为抛物线的准线.
四、教学启示
数学家哈莫斯说过：“问题是数学的心脏.”一个好的问题，能够激发学生探究的欲望，产生一种跃跃欲试的冲动；一个好的问题，能够全面考查学生的双基，较好的考查学生的数学能力；一个好的问题，能够引发学生深入的思考，让学生的思维在分析解决问题中得到锤炼.高考题是一个丰富的宝藏，其中就有许多好问题.只要我们教师用心去发现，用心去思考，就能充分挖掘高考题的内涵，领会命题者的“良苦用心”，使我们更能把握住高考的脉搏，使我们的解题教学更深、更精彩.