基于巴氏系数的非高斯随机系统性能评估.pdf

327第40 卷第6 期2023年6 月真机仿算文章编号：10 0 6-9 348(2 0 2 3)0 6-0 32 7-0 6基于巴氏系数的非高斯随机系统性能评估黄国豆，张金芳*，黄俊雄，翟宇卓（华北电力大学控制与计算机工程学院，北京10 2 2 0 6）摘要：针对非高斯随机系统的性能评估问题，克服巴氏距离无界性的缺点，提出了一种基于巴氏系数的性能评估指标。通过计算基准输出分布与实际输出分布之间的巴氏系数来反映给定系统的性能好坏。该指标能有效避免熵指标计算量大、计算时间长、均值漂移等缺点。为了更快速、准确地估计基准输出，提出了一种改进的混合EDA算法，结合WSA算法的思想来获取系统未知参数和扰动噪声PDF。最后利用Matlab/Simulink对单回路反馈控制系统在高斯和噪声干扰下进行仿真，验证了改进算法和新指标的有效性。关键词：非高斯系统；巴氏系数；分布估计算法；摸石头过河算法；性能评估中图分类号：TP29文献标识码：BBhattacharyya Coefficient-Based Performance Assessmentfor Non-Gaussian Stochastic SystemsHUANG Guo-dou,ZHANG Jin-fang*,HUANG Jun-xiong,ZHAI Yu-zhuo(School of Control and Computer Engineering,North China Electric Power University,Beijing 102206,China)ABSTRACT:For the performance assessment of non-Gaussian stochastic systems,a performance assessment indexbased on Bhattacharyya coefficient is proposed to overcome the unbounded Bhattacharya distance.The performanceof the given system is reflected by the Bhattacharya coefficient between the benchmark and the actual output distribu-tions.This index can effectively avoid the disadvantages of large calculation amount,long calculation time and meanshift of entropy index.To estimate the benchmark output more quickly and accurately,an improved hybrid-EDA(HEDA)algorithm is proposed,which combines the idea of WSA algorithm to obtain the unknown parameters anddisturbance noise PDF of the system.Finally,through the simulation of a single loop feedback control system by Mat-lab/Simulink under different noise disturbances,the effectiveness of the improved algorithm and new index is verified.KEYWORDS:Non-gaussian stochastic systems;Bhattacharya coefficient;EDA algorithm;WSA algorithm;Per-formance assessment1引言控制回路在自动化系统中起着最重要的作用。性能评估的意义在于实现、恢复和保持控制回路的最佳性能。因此，在工业运行中快速、准确地评估系统的性能具有重要的应用价值实际工业过程中的噪声扰动大都不符合高斯分布，低阶统计量（均方误差）所包含的信息显然无法完全反映变量的高阶统计特性。对于非高斯随机系统，应该在均值和方差之外选择一个更合适的指标来反映变量的高阶统计特性2 基金项目：国家青年科学基金（6 16 0 3136）收稿日期：2 0 2 1-0 9-100修回日期：2 0 2 1-0 9-2 5信息摘作为一种不确定性度量，相较于均值或方差，对于任何随机变量都有更为一般的含义。所有高阶矩（不仅仅是二阶)的最小化都可以通过最小化熵来实现3.4。因此,近年来一种基于熵的控制系统性能评估方法发展迅速。钟振芳5 等通过计算最小熵控制下的概率密度函数（Pr o b a b i l i t y D e n s i t y Fu n c t i o n，PD F），以此为基准构建了系统的性能评估指标。Zhangl使用最小Renyi熵作为评估指标，将闭环控制下的输出分解为只与扰动相关的反馈不变量和反馈变量。Zhou4提出了基于有理嫡的系统性能评价指标，并给出了该指标理论基准值和估计基准值的计算方法。在文献7,8 中，摘指标被用于评估典型串级控制系统的性能。然而，熵指标具有均值漂移的缺点，且熵基准计算过程十分复杂，所耗时间较长，因此缺乏实际工程意义。328针对以上问题，本文提出了一种基于巴氏系数的非高斯随机系统控制回路性能评估指标。在统计学中，巴氏距离（Bh a t t a c h a r y y a d i s t a n c e）多被用来测量两个离散或连续概率分布之间的相似性，常用于性能监测9 ,图像处理10 ,神经网络 等领域。由于该指标具有无界性，因此并不适合直接用作系统性能评价指标，但与其密切相关的巴氏系数却是对称且有界的，在反映两个分布之间的相似性方面并无太大差异，且计算更为简便。通过计算系统基准输出与实际输出之间的巴氏系数就可以得到系统的性能指标。为了更快速准确地估计性能基准，结合摸石头过河算法（W a d i n g A c r o s s St r e a m A l g o r i t h m，W SA）的优点，提出了一种改进的混合分布估计算法（HybridEstimationofDistributionAlgorithm,HEDA）进行系统参数寻优和噪声PDF估计。通过对高斯和非高斯噪声扰动下的单回路反馈控制系统的仿真，验证了改进算法和新指标的有效性。2性能评估指标2.1巴氏系数巴氏系数是衡量两个统计样本之间重叠程度的度量，与巴氏距离密切相关。同时，它还可以用来确定两个样本是否相近及可分离性1对于定义在同一域X上的概率分布P和Q,巴氏距离的定义为D:(P,Q)=-In(BC(P,Q)(1)其中,BC(P,Q)即为概率分布P和Q的巴氏系数。对于离散的概率分布，P和Q的巴氏系数定义如下BC(P,Q)=ZVP(x)Q(x)(2)EX且满足条件0 BC1,0D。对于连续概率分布，P和Q的巴氏系数定义为BC(P,Q)=/P(x)Q(x)dx(3)两个概率分布之间的巴氏系数值会随着两个样本相同部分的增多而变大。对于任意两个概率分布，巴氏系数越接近1，意味着两个概率分布越相似；反之，表示两个概率分布越不相似。2.2巴氏系数性能指标为便于研究，考虑下图1所示的单输人单输出反馈控制回路。其中y(h),u(k)和(k)分别代表过程的输出、输人和未知随机噪声扰动。假定通过寻优算法获取的基准数据y为系统性能理想时的数据，实际输出的y，是待评估数据，那么基于巴氏系数的性能指标IBCIBc=Vp(x)g(x)(4)XEX式中,p(x)和q(x)分别为y与y,的概率分布。基于巴氏系数的性能指标具有如下性质：1）有界性：0 IBc1。当基准与实际输出概率分布越C(z)G,(zA(z-1(2)=2B(2)GA(z)输入输出图1SISO反馈控制回路结构框图相近时，性能指标越接近于1，系统越接近于理想性能；反之，性能指标越接近于0，系统性能越差，需要改进。2)对称性:IBc(p,g)=IBc(g,p)。2.3IBc性能指标计算如果p,q同时满足高斯分布，N(p,）,q N(g。），那么其巴氏距离可以通过提取它们的均值和方差进行简便计算22D(p,q)(5)4根据式（1）可推出巴氏距离与巴氏系数的关系如下BC(p,q)=e-DB(p.a)(6)此时的性能指标IBc即可由式(5)和(6)求得IBc=e-Dp.g)(7)对于实际系统中更为常见的非高斯输出分布，仅依靠均值和方差显然不能完全描述该随机变量的统计特性。此时，将基准输出y.和实际输出y，进行离散化处理首先对随机变量进行固定频率采样，记录收集到的有效数据并确定其落入的区间，将区间均匀且不重叠地划分为多个子区间,统计落人每个子区间的数据个数，将频率记为每个子区间中心值的概率，即用不同子区间的中心值概率来近似逼近连续随机变量的概率分布。对于概率p的计算，直接利用样本的直方图对其进行离散化处理，具体的实现步骤如下：1）以固定频率采样x,收集N个有效数据点，将所有数据都放在区间S=Ei,EM内；2）将区间S平均分为M个子空间（S,US,U.USM），每个子空间互不交叉，并将每个子空间的中心点记e（i=1，2,3,M);3）统计每个子区间内采样数据的个数1作为频数，记为(li,l2,lm);4）将频数与数据总量N(NM)相比得到频率,记为P：121MP=(P1,P2,PM)(8)NNN当样本数量足够大时，频率p，就可以近似看作是概率，进而获得概率分布的离散近似值1inc=2/()(a)M(9)i=1329LMEeeeM-eMEMS2SM-ISM图2点分布离散近似3基准输出数据的获取3.1基准输出的定义假定图1系统中的设定值为0,则系统输出为G.C(10)1+G,TG,GG1+zT其中，G，表示无延迟的传递函数，扰动传递函数G，可由丢番图方程进一步分解如下：G,(z1)=F(z)+zR(z1)=(1+n/z*+n22+.+n-12-(-1)+2R(zl)(11)式中,F(z-1)是扰动传递函数G,的脉冲响应系数,R(z-)是满足恒等式（11）的剩余函数。y(t)=Fu(t)+Lu(t-T)=(1+n/2*+n,z*+n,(-1)(t)+反馈不变量(ndz+nd+12-(T+1)+.)(t)(12)反馈变量对于线性非高斯随机系统，最小炳控制器的目标就是最小化输出变量的熵12,13H(y,)=H(Fv,+Lwt-)H(Fu,)(13)由式（13)可知，当且仅当L=0时，系统输出数据的摘达到最小值，此时控制系统的性能达到最优，相应的反馈不变量部分即为基准输出数据，记：y(t)=F(t)=(1+n/z-I+n2z2+.+n,z-(r-1)(t)(14)实际输出数据y，可由Simulink仿真平台采集得到。3.2系统参数辨识和噪声PDF估计实际工业过程中的控制系统相当于一个“黑箱”，内部的结构参数均是未知的，而根据式（14），计算基准输出数据必须知道模型参数n1，n 2，,n,，因此就需要对给定系统进行参数辩识。图1所示的随机线性系统离散时间模型可描述为A(z)y(h)=zB(z-)u(h)+C(z)(h)(15)其中A,B,C可表示为A(z-)=1+ai2+a+annaZ+之20B(z)=brz-1+bz-2+-nb(16)7+6n6之(C(z-l)=1+c+cncznc其中ama,bnb，Cn e 和是模型的结构参数；na,nb,nc分别是A(z）,B(z )和C(z)的阶次,T为系统延迟。非高斯随机系统参数辨识问题本质上是高维参数空间优化的问题，因此系统参数可以通过优化算法获得。为了获得系统参数，首先要知道给定系统的阶次和时延。对于迟延T大小的估计，最简单常用方法是通过分析输人u，和输出y，信号之间的相关性，即f,=maxEy(r)u(T-T,)(17)应用Akaike信息准则14 得到系统的阶次。对于给定的CARMA模型,AIC准则为AIC(n)=Llgo?+a(na+nb+nc)(18)式中，L为数据长度，为噪声的方差。3.2.1改进的混合EDA算法EDA算法是一种随机搜索启发式算法，用于创建解空间的概率模型，该模型基于模型采样的解的质量进行代更新15 。在之前的研究中,EDA算法已经暴露出在优化过程中存在计算量大、局部搜索能力较差等缺点。本文针对以上缺点进行了改进。1）获取参数辨识空间在参数未知的情况下，参数空间过大会影响算法收敛速度，特别是对于高维空间无法保证均匀采样的情况。因此，在初始化参数空间之前，需要对模型参数进行初步估计，以确保参数空间尽可能覆盖真实参数。对于非高斯系统，没有很好的参数初始化方法，因此采用高斯系统参数初始化方法进行粗略估计。首先将CARMA模型写成最小二乘形式y(k)=pt(k)o+(k)(19)采用递推增广最小二乘算法（RELS）对系统参数进行初步估计。目标是求目标函数J()达到极小值时的参数,J()定义如下LJ(0)(k)y(k)-p(h)?(20)=1k=1基于对高斯系统参数的估计，可以得到方差的估计和参数的估计值，那么参数辨识空间2 可以取32）W SA 算法思想为了提高算法的局部搜索能力，在传统EDA算法的中引人了WSA算法。WSA算法16 是受“摸石头过河”思想的启发，首先在“岸边”慎重考察一下选择初始起点，向该起点附近邻域随机搜索若干解，找出其中最优解作为迭代结果；然后在以这个点为起点再向附近邻域随机搜索若干个解，选出最优解作为第三次送代结果，以此类推直到满足终止条件12 a）起点在参数辨辩识空间已知的情况下，初始选择的解将会对整个算法产生较大的影响。找初始解的思路就是先在参数空间内均匀随机取值产生R个解，找出其中的最优解作为起点330Else解。对于(2 0)中的待辨识参数向量要在区间-3,+30,内均匀随机取值,产生R个解A=；6 2；;R,并计算这R个解的目标函数值（误差熵值），根据目标函数值高低找出最优解*记为初始起点解，为方便描述，将起点解记*=x,x2*J,n=na+nb+nc+1。6)邻域搜索策略根据“摸石头过河”的思想，当摸到一个“石头”后必然要以该“石头”为起点向周围摸索其它“石头”，以此类推进行搜索。因此当得到起点解后就在起点解的邻域半径L内随机搜索m个领域解组成B。式中：xg=x,+LTg,r,为区间-1,1 的均匀分布的随机数；邻域半径的初始值L。一般取整个参数空间的1/10，即Lo=0.16,0.30,随着迭代的进行可以将邻域半径逐渐减小以加快后期收敛速度，比较简单的方法是令L=Lk-1,为收缩系数，一般取0.9 0,0.9 9 ，值越小,收缩速度越快。B=01;62;ma6106，a，111na1nb11C1nca221a2na6”206”2nb212nc6”6”一一aaCmlmnamomnbmlmnc11121nx21，222n(21)，mlm2mn3）交叉操作传统寻优算法得到的最优解只包含一个解的信息，这在一定程度上忽略了其它优秀解中所包含的信息，改进方法就是交叉操作。根据适应度值对以上m个个体进行排序，选出前N*（N*m)个优秀解（适应度值最优的个体）,D=；2；;*。计算D的中心点式（2 2)所示(=,2,元,1N(22)元=j=1再将中心点与最优解进行交叉操作，修改最优解*的位置*=a*+(1-a)(23)式中：为0,1 的随机数。4）适应度值的选择对于本文的输人输出模型，由式（19）可知,k时刻的误差可以定义为：e(k)=y(k)-y(k)=y(k)-T(k)(24)对于估计的误差序列e=e,e1，,e l ,使用二阶Renyi摘来估计过程参数，表示为：nH(X)=-In2P(25)=1通过最小化的误差序列，能够得到最优模型参数和输出与扰动之间关系。当误差熵达到最小值时对应的参数也达到最优。即：=arg minH(e)(26)式中，w即为参数寻优空间。5)算法总结HEDA优化算法的程序步骤如下：算法1寻优算法的程序步骤：用输人输出模型描述系统,通过分析u(t)和y(t)之间的相关性来估计系统延迟;确定模型阶次na,nb,nc;初步估计。由RELS算法得到初步的模型参数，并以此确定寻优空间Q2w为+3；慎重选择初始起点。在参数空间2 w内随机生成R个个体A=；6；R，计算每个个体的适应度值（误差），根据适应度值（对应的误差熵最小)选择最优解。；在最优解的邻域半径L。内随机搜索m个个体B。=61;62;.;0m;记1=1;While Inmaxa)计算上述m个解的适应度值并按大小进行排序C,=e*,e;*;6)从C,中筛选出最优个体6，和前N*个适应度值最优的个体D,=的()*;*;c)修改最优个体。计算D,的中心点（均值）,=【，2，元，。交叉操作并修改最优个体的位置为=e+(1-a)r,a=rand;d)If满足终止条件两次相邻迭代误差之差小于0.0 0 0 1，结束循环；L,=Li-1;在新的最优解，的邻域半径L,内随机搜索m个个体B,=0;9,;I=I+1;EndEnd得到参数估计值和噪声的PDF3.2.2基于参数灵敏度分析的算法验证考虑如下ARMA系统，通过分析改进算法初始参数的敏感性，进一步比较HEDA和传统EDA。1+1.5z*+0.92z2(k)1-1.7z-1+0.7z-2(h)(27)上述仿真实例的待寻优参数向量可表示为=-1.7，0.7,1.5,0.9。大多数的算法初始参数是基于前人的工作2 4,12-14。一般情况下,EDA中初始种群的个体数为N=1000,每次迭代的最佳个体数m=200,最大迭代次数是nmax=120。在WSA中，交叉操作的优秀个体数为N*=30,R=331800。本文重点讨论收缩系数和初始邻域半径L。的初始值的敏感性。如前文所述，初始的搜索邻域半径L。一般为L=0.1o0.3g，收缩系数在0.9 0 0.9 9 间。为了尽可能找到一组合适的参数，进行了大量的实验，并选择了一些有代表性的结果附在表1中。此外,分析了对于算法的意义,是一个介于0,1 之间的随机数。如果=1,表示不进行交叉操作。测试结果表明，HEDA在寻优速度和精度上明显优于传统EDA。算法的局部搜索能力主要由邻域半径L,决定，Lk值太小会使算法陷人局部最优，而太大会减慢算法收敛速度；可以加速算法的后期收敛速度，越小收敛速度越快，但太小会导致算法快速收敛从而影响优化精度；的主要功能是减少迭代次数。总之，算法初始参数的设置必须依赖于大量的实验和对前人工作的总结。对于本例，最佳初始参数向量为P=0.150,0.95,rand。综上可得，获取系统基准输出数据主要分为如下两步：第一步：利用改进的HEDA算法获取系统参数和噪声PDF估计;第二步：运用丢番图方程求出模型参数ni，n 2，n,，再根据式（14)获得基准输出数据的估计值%。仿真验证在Matlab/Simulink中搭建图1所示的典型SISO系统，考虑如下CARMA模型：1-0.2z1y(t)=u(t-2)(t)(28)1一Z控制器的传递函数为：1.2G.(29)1-0.22-1-0.8z-2待辨识参数向量Q=-1,1,-1,-0.2。在所有仿真中，HEDA算法的参数设置为=0.95,L=0.15，。设定噪声扰动分别服从高斯分布N（0，0.2 5 5）和非高斯指数分布E（0.5），分别对两种情况进行仿真，结果如图3,4和表2,3所示。图3，4可以看出，无论对于高斯噪声还是非高斯噪声，HEDA算法估计出的扰动分布与真实的系统扰动都更加接近；表2 中的测试结果也进一步验证了改进混合算法在寻优速度和精度上的优越性。当得到系统参数和噪声PDF的估计值后，可以很容易计算出性能指标,如表3所示。ic是通过优化算法求得的基于巴氏系数的性能指标;IBc为其理论值;IM是基于最小有理的性能指标；Iv为最小方差指标。根据表3,无论对于高斯还是非高斯噪声，新指标都能准确地评估系统性能，且与理论值的差异很小。对比最小熵指标，新指标在计算过程中更为简便，实时性更强，更重要的是有效避免了摘值平移不变性的缺点，具有更好的实际意义。表1基基于初始参数敏感性分析的模型参数辨识结果算法参数设置寻优结果送代次数EDAN=1000,m=2001.5032,0.4987,1.6674,0.6348120HEDALo=0.10,=0.93a=rand1.7310,0.7256,1.6656,0.826878a=1-1.7499,0.7630,1.4100,0.8091106=0.95a=rand1.7410,0.7322,1.4873,0.835483a=11.6785,0.6888,1.4113,0.7872110=0.97a=rand-1.7656,0.7414,1.4105,0.809990a=11.6742,0.6754,1.4204,0.8054120Lo=0.150,=0.93a=rand1.7197,0.7218,1.5160,0.885177a=11.7749,0.7735,1.4595,0.829988=0.95a=rand1.6919,0.6975,1.5009,0.910463a=11.7181,0.7184,1.5090,0.854480=0.97a=rand-1.7304,0.7310,1.5164,0.896497a=1-1.6643,0.6654,1.4698,0.8605114Lo=0.20,=0.93a=rand1.7112,0.7176,1.3935,0.829172a=11.7672,0.7689,1.1863,0.571298=0.95a=rand1.6734,0.6737,1.5061,0.9069105a=11.7462,0.7504,1.4771,0.8579119=0.97a=rand-1.6823,0.7446,1.4500,0.8403107a=1-1.7769,0.7789,1.4058,0.8304120332下转第47 3页）0.8实际噪声0.7估计噪声（HEDA)估计噪声（EDA)0.60.50.40.30.20.10-32-10123vt图3实际和估计的高斯噪声PDF1.4实际噪声估计噪声（HEDA)1.2估计噪声(EDA)10.80.60.40.20-2-101234vt图4实际和估计的非高斯噪声PDF表2不同噪声扰动下的参数辨识结果HEDAEDA高斯非高斯高斯非高斯-0.92431.12350.9932-1.00176no0.90861.16780.99891.0021-0.8838-1.11150.9931-1.0024C-0.0109-0.2464-0.2029-0.2055T(s)15.643614.87589.56418.8112表3不同噪声扰动下的性能指标projectsIBCIMEIMvVN(0,0.255)0.95540.94190.96950.8178E(0.5)0.92380.90960.94660.60134总结针对最小性能指标的缺陷，克服巴氏距离无界性的问题,提出了一种基于巴氏系数的随机性能指标IBc。高斯扰动下，该指标可通过输出数据的均值和方差直接求得；非高斯情况下，利用离散化处理获得概率分布后求出指标近似值。为了更加快速准确地获得基准输出,对传统EDA算法进行了改进，通过引人初步估计和WSA算法思想，极大地提高了算法的效率。仿真结果也验证了HEDA算法在寻优速度和精度上的优越性。下一步研究可将新指标和寻优算法用于串级、非线性等系统的性能评估中。参考文献：1Jelali,M.Control.Performance Management in Chemical Automa-tion;Springer:London,UK,2013.2J Zhou.Y Jia.Non-Gaussian system identification based on im-proved estimation of distribution algorithm C.2017 36th ChineseControl Conference(CCC),2017,2052-2057.3Zhang J,Jiang M.Minimum entropy-based performance assessmentof feedback control loops subjected to 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页）共识算法不仅要保证区块链节点间的共识的高效，更要保证在共识发生错误时的容错性。本文针对HotStuff算法忽略了位置因素对于共识算法吞吐量的影响，结合基于位置分组的思想，提出了基于位置分组的HotStuff改进算法，组内通过HotStuff的低复杂度实现快速共识，组间减小了距离较远节点间的通信，每组分别处理当地请求，提高了整体共识算法的吞吐量。实验结果表明，PBHF算法相较于HotStuff算法提高了一定吞吐量。在出错情况下能够保证共识的正常进行。算法较于原本的HotStuff算法虽然有了一定的性能提升，但分组主节点更换将对共识过程造成消极影响，如何根据特征参数评价节点稳定性将是本文下一步的研究方向。参考文献：1Nakamoto S.Bitcoin:A Peer-to-Peer Electronic Cash System J/OL.2008 https:/bitcoin.org/en/bitcoin-paper.2刘明熹，甘国华，程郁琨，等.区块链共识机制的发展现状与展望J.运筹学学报，2 0 2 0,2 4(1).3陆歌皓，谢莉红，李析禹。区块链共识算法对比研究J.计算机科学,2 0 2 0,4 7(S1)：332-339.4Lamport L.The Byzantine generals problem J.ACM Transactionson Programming Languages&Systems,1982,4(3):382-4015戴安博，陈恭亮.POW区块链共识算法分析与展望J.通信技术,2 0 19,52(12)：2 8 39-2 8 4 5.6刘明熹，甘国华，程郁琨，肖琳，刘帅，房勇.区块链共识机制的发展现状与展望J.运筹学学报,2 0 2 0,2 4（1)：2 3-39.7谈森鹏,杨超.区块链DPoS共识机制的研究与改进J.现代计算机（专业版）,2 0 19，（6）：11-148Ke Wang,Hyong S Kim.FastChain:Scaling blockchain systemwith informed neighbor selectionJ.I E E E I n t e r n a t i o n a lConference on 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