内蒙古学年鄂尔多斯市第一中学高一上学期期中考试数学试题.docx

内蒙古鄂尔多斯市第一中学 2018-2019 学年高一上学期
期中考试数学试题
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1
已知集合 M={-1，1}，N={ | ＜2 + 1＜4， ∈ }，则 M∩N=（　　）
1.
2
A. {−1,1}
B. {−1}
C. {0}
D. {−1,0}
1
已知函数 f（x）=lg
，若 f（a）=b，则 f（-a）等于（　　）
2.
1 +
A.
B.
C. 1
D. −1
b
函数 y=-e 的图象（　　）
3.
4.
x
A.
B.
C.
D.
=
=
=
=
与
与
与
与
的图象关于 y 轴对称
的图象关于坐标原点对称
的图象关于 y 轴对称
的图象关于坐标原点对称
1
1
为了得到函数 = 3 × ( ) 的图象，可以把函数 = ( ) 的图象（　　）
3
向左平移 3 个单位长度
向左平移 1 个单位长度
3
A.
C.
B.
D.
向右平移 3 个单位长度
向右平移 1 个单位长度
下列四个数中最大的是（　　）
A. (ln2)2
5.
6.
B.
C.
D.
ln2
ln(ln2)
ln 2
若函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且 f（2）=0，则
使得 f（x）＜0 的 x 的取值范围是（　　）
A. (−∞,2)
B. (2, + ∞)
D. (−2,2)
C. (−∞,−2) ∪ (2, + ∞)
已知函数 y=e 的图象与函数 y=f（x）的图象关于直线 y=x 对称，则（　　）
7.
8.
x
A. (2 ) =
B.
D.
( ∈ )
( ∈ )
(2 ) = ln2 ⋅ ln ( > 0)
(2 ) = ln + ln2( > 0)
2
C. (2 ) = 2
设 f（x）=1 + 2，
(2018)
等于（　　）
1
2
(2018−1)
A.
B. −1
C. 3
D.
−3
5
1
5
1
设函数 y=x 与 y=（ ） 的图象的交点为（x ，y ），则 x 所在的区间是（　　）
9.
3
x-2
0
0
0
2
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
设 0＜a＜1，函数 f（x）=log （a -2a -2），则使 f（x）＜0 的 x 的取值范围是
10.
2x
x
a
（　　）
A. (−∞,0)
B. (0, + ∞)
C. (−∞,log
D. log
( 3, + ∞)
3)
函数 f（x）=1+log x 与 g（x）=2 在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）
11.
-x+1
2
A.
B.
C.
D.
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设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x≥0 时，f（x）=x ，若对任意的 x∈[t，
12.
2
t+2]，不等式 f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数 t 的取值范围是（　　）
A. [ 2, + ∞)
C. (0,2]
B. [2, + ∞)
D. [− 2,−1] ∪ [ 2, 3]
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
1
已知函数 f（x）=a-
，若 f（x）为奇函数，则 a=______．
13.
14.
15.
16.
2 + 1
当 x∈（1，2）时，不等式 x +mx+4＜0 恒成立，则 m 的取值范围是______．
2
1
设 = 13， = ( )0.2， =
1
2
3
，则 a，b，c 的大小关系是______．
3
2
函数 ( ) = 2−2 + 2−5 + 4的最小值为______．
2
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
化简下列各式：
17.
2 1
−
5
3 2
（1）
（2）
；
1
1
3
1
1
5
−
(− −1 2)(−
6)
4
6
+
−1 + 2
．
1
1
−
2 +
2
（1）计算（lg2） +（lg20+2）lg5+lg4；
18.
19.
20.
2
（2）已知 log 3=a，log 4=b，用表示 log 144
5
5
25
（1）在直角三角形 ABC 中，A＜B＜C，b =ac，求 sinA 的值；
2
（2）已知 a≠b，求证：a +ab+b ＞0．
2
2
已知 f（x）的定义域为 R，f（0）=1，对任意的 x，y∈R 均有 f（x+y）=f（x）•f
（y），当 x＞0 时，都有 f（x）＞1．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x）在 R 上为增函数．
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（1）已知 f（x）=x +|x-2|-1，x∈R，判断 f（x）的奇偶性；
21.
2
（2）设 a 为实数，f（x）=x +|x-a|+1，x∈R，求 f（x）的最小值．
2
2 −1
已知 f（x）=
22.
2 + 1
（1）讨论 f（x）的单调性；
1
（2）若 g（x）= [1-f（x）]，h（x）=2 •g（x）•g（x+1），x∈N ，求证：h（1）
x
+
2
1
+h（2）+h（3）+……+h（x）＜ ．
3
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：
⇔2-1＜2x+1＜22⇔-1＜x+1＜2⇔-2＜x＜1，即 N={-1，0}
又 M={-1，1}
∴M∩N={-1}，
故选：B．
N 为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与 M 求交集．求
本题考查指数型不等式的解集和集合的交集，属基本题．
2.【答案】B
【解析】
解：由
＞0，得-1＜x＜1，
=lg =lg
f（-x）=lg
lg
，
∴f（x）是奇函数，
∴f（-a）=-f（a）=-b．
故选：B．
判断函数的奇偶性，利用奇偶性求解函数值即可．
本题考查函数的奇偶性的判断与应用，基本知识的考查．
3.【答案】D
【解析】
解：因为点（x，y）和点（x，-y）关于 x 轴对称，所以 y=-ex 的图象与 y=ex 的图象
关于 x 轴对称，故 A 和 B 错误；
因为点（x，y）和点（-x，-y）关于原点对称，所以 y=-ex 的图象与 y=e-x 的图象关
于坐标原点对称
故选：D．
函数图象的对称问题，往往转化为点的对称问题．函数 y=-ex 与 y=exx 相同
时，y 互为相反数，故可考虑点（x，y）和点（x，-y）的对称问题；同理 y=-ex 的图
象与 y=e-x 的图象的对称问题考虑点（x，y）和点（-x，-y）的对称．
本题考查函数图象的对称问题，函数图象的对称问题，往往转化为点的对称
问题处理．
4.【答案】D
【解析】
解：由于函数
=
，故把函数
的图象，
的图象向右平移 1 个单
位长度，可得函数
故选：D．
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根据函数
=
，以及函数图象的变化规律，得出结论．
本题主要函数图象的变化规律，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】
解：0＜ln2＜1，∴0＜ ln2＜ln2，ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，
因此最大的是 ln2．
故选：D．
由 0＜ln2＜1，∴0＜ ln2＜ln2，ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，即可得出．
本题考查了对数的运算性质、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能
力，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】
解：当 x∈（-∞，0]时 f（x）＜0 则 x∈（-2，0]．
又∵偶函数关于 y 轴对称．
∴f（x）＜0 的解集为（-2，2），
故选：D．
偶函数图象关于 y 轴对称，所以只需求出（-∞，0]内的范围，再根据对称性写
出解集．
本题考查了偶函数的图象特征．在解决函数性质问题时要善于使用数形结合
的思想．
7.【答案】D
【解析】
解：函数 y=ex 的图象与函数 y=f（x）的图象关于直线 y=x 对称，
所以 f（x）是 y=ex 的反函数，即 f（x）=lnx，
∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），
选 D．
本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等
相关知识和方法．
根据函数 y=ex 的图象与函数 y=f（x）的图象关于直线 y=x 对称可知 f（x）是
y=ex 的反函数，由此可得 f（x）的解析式，进而获得 f（2x）．
本题属于基础性题，解题思路清晰，方向明确，注意抓住函数 y=ex 的图象与
函数 y=f（x）的图象关于直线 y=x 对称这一特点，确认 f（x）是原函数的反函数
非常重要，是本题解决的突破口．
8.【答案】B
【解析】
解：根据题意，f（x）=
，则 f（ ）=
=-1；
=
=-f（x），
则有
=-1，即
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故选：B．
根据题意，由函数的解析式分析可得 f（ ）=
=
=-f（x），即可得
=-1，即
=-1；即可得答案．
本题考查函数值的计算，关键是分析 f（x）与 f（ ）的关系，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】
解：∵y=（ ）x-2=22-x
令 g（x）=x3-22-x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，
易知函数 g（x）的零点所在区间为（1，2）．
故选：B．
根据 y=x3 与 y=（ ）x-2 的图象的交点的横坐标即为 g（x）=x3-22-x 的零点，将
问题转化为确定函数 g（x）=x3-22-x 的零点的所在区间的问题，再由函数零点
的存在性定理可得到答案．
本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理．考查考生的
灵活转化能力和对零点存在性定理的理解．
10.【答案】C
【解析】
解：设 0＜a＜1，函数 f（x）=log （a2x-2ax-2），
a
若 f（x）＜0
则 log （a2x-2ax-2）＜0，∴a2x-2ax-2＞1
a
∴（ax-3）（ax+1）＞0∴ax-3＞0，∴x＜log 3，
a
故选：C．
结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当 0＜a＜1，loga
（a2x-2ax-2）＜0 时，有 a2x-2ax-2＞1，解可得答案．
解题中要注意 0＜a＜1 时复合函数的单调性，以避免出现不必要的错误．
11.【答案】D
【解析】
解：g（x）=2•（ ）x，∴g（x）为减函数，且经过点（0，2），排除 B，C；
f（x）=1+log x 为增函数，且经过点（ ，0），排除 A；
2
故选：D．
化简 g（x）的解析式，利用函数的单调性和图象的截距进行判断．
本题考查了函数图象的判断，一般从函数的单调性，特殊点等方面去判断，
属于中档题．
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12.【答案】A
【解析】
解：（排除法）当
则
得
，即
在
时恒成立，而
最大
值，是当
时出现，故
的最大值为 0，则 f（x+t）≥2f（x）恒成
立，排除 B 项，
同理再验证 t=3 时，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除 C 项，t=-1 时，f（x+t）≥2f（x）不
成立，故排除 D 项
故选：A．
2f（x）=f（ x），由题意可知 f（x）为 R 上的增函数，故对任意的 x∈[t，t+2]，不
等式 f（x+t）≥2f（x）恒成立可转化为
对任意的 x∈[t，t+2]恒成立，此
为一次不等式恒成立，解决即可．也可取那个特值排除法．
本题考查函数单调性的应用：利用单调性处理不等式恒成立问题．将不等式
化为 f（a）≥f（b）形式是解题的关键．
13.【答案】
1
2
【解析】
解：函数
．若 f（x）为奇函数，
则 f（0）=0，
即
，a= ．
故答案为
因为 f（x）为奇函数，而在 x=0 时，f（x）有意义，利用 f（0）=0 建立方程，求出
参数 a 的值．
本题考查了函数的奇偶性的应用，当 x=0 时有意义，利用 f（0）=0 进行求解来
得方便．
14.【答案】m≤-5
【解析】
解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当 x∈（1，2）时，
不等式 x2+mx+4＜0 恒成立．
则由开口向上的一元二次函数 f（x）图象可知 f（x）=0 必有△＞0，
①当图象对称轴 x=- ≤ 时，f（2）为函数最大值当 f（2）≤0，得 m 解集为空
集．
②同理当- ＞ 时，f（1）为函数最大值，当 f（1）≤0 可使 x∈（1，2）时 f（x）＜
0．
由 f（1）≤0 解得 m≤-5．综合①②得 m 范围 m≤-5
法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当 x∈（1，2）时，不
等式 x2+mx+4＜0 恒成立
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即
解得
故答案为 m≤-5
①构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．②讨论对称轴 x=- ＞ 或
即 m≤-5
＜
时 f（x）的单调性，得 f（1），f（2）为两部分的最大值若满足 f（1），f（2）都小于等
于 0 即能满足 x∈（1，2）时 f（x）＜0，由此则可求出 m 的取值范围
本题考查二次函数图象讨论以及单调性问题．
15.【答案】a＜b＜c
【解析】
解：由对数的性质可知
＜0，
指数的性质可知
＞1；
所以 a＜b＜c
故选 A＜b＜c
由对数的性质判断
为负；b，c 为正，利用 1 区分 b、c 的大小，综合可
得答案．
本题考查对数、指数函数的性质，比较大小，是基础题．
16.【答案】2 2 +
1
【解析】
解：由已知，
．
又 x∈[4，+∞）时，f（x）单调递增，⇒f（x）≥f（4）=
而 x∈（-∞，0]时，f（x）单调递减，⇒f（x）≥f（0）=0+4=4；
故最小值
+1；
1
求出定义域，函数是两个复合函数的和，可由复合函数的单调性判断出两个
复合函数的单调性，再由单调性的判断规则增函数加增函数是增函数，减函
数加减函数是减函数判断出 f（x）的单调性．求最值即可．
考查复合函数单调性的判断方法，依据单调性求函数的最值，训练学生对利
用单调性求最值的方法．
2 1
−
5
3 2
17.【答案】解：（1）
=(5 × 4 × )
6
=24
；
2
1
3
1
2
1
− +
2
1
1
− + 1−
5
3
6
6
1
1
3
1
−
1
5
(− −1 2)(−
6)
4
6
1
1
+
−1 + 2
−
（2）
=(
2 +
2)2
=
1
2
+
1
．
−
1
1
2
−
1
1
2
2 +
2
−
2 +
【解析】
直接利用有理指数幂的运算性质对（1）（2）化简求值．
本题考查有理指数幂与根式，是基础的计算题．
18.
【答案】解：（1）原式=（lg2） +lg2lg5+3lg5+lg4=lg2（lg2+lg5）+lg5+2
2
（lg2+lg5）=lg2+lg5+2=3．
（2）∵log 3=a，log 4=b，
5
5
∴log 144=log 12=log 3+log 4=a+b．
25
5
5
5
【解析】
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（1）利用对数运算性质及其 lg2+lg5=1 即可得出．
（2）利用对数运算性质即可得出．
本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
19.
【答案】解：（1）∵直角三角形 ABC 中，A＜B＜C，可得：C= ，
2
∴sinC=1，
又 b =ac，
2
∴c =a +b =a +ac，
2
2
2
2
∴利用正弦定理化简得：sin C=sin A+sinAsinC，即 sin A+sinA-1=0，
2
2
2
5−1
2
∴解得：sinA=
，负值舍去．
（2）证明：a +ab+b
2
2
1
3
=a2+ab+ b2+ b2
4
4
3
=（a+ ）2+ b2，
2
4
3
3
由（a+ ） ≥0， b ≥0，可得（a+ ） + b ≥0，
2
2
2
2
2
4
2
4
当 a=b=0 时，取得等号．
由于 a≠b，
可得：a +ab+b ＞0．得证．
2
2
【解析】
（1）利用勾股定理列出关系式，将已知等式代入，利用正弦定理化简即可求出
sinA 的值．
（2）运用配方法可得，a2+ab+b2=（a+ ）2+ b2，再由非负数的思想，即可得
证．
此题考查了正弦定理的应用，考查了不等式的证明，注意运用配方的思想方
法，以及非负数的概念，考查了方程思想，属于中档题．
20.【答案】解：（1）根据题意，对任意的 x，y∈R 均有 f（x+y）=f（x）•f（y），
有 f（x）=f（ + ）=f（ ）f（ ）≥0，
2 2
2
2
又由 f（0）=1，则 f（x+（-x））=f（x）•f（-x）=1，则 f（x）≠0，
故 f（x）＞0；
（2）设 x ＜x ，则 x -x ＞0，
1
2
2
1
( )
f（x -x ）=f[x +（-x ）]=f（x ）f（-x ）=
＞1，
2
2
1
2
1
2
1
( )
1
则有 f（x ）＞f（x ），
2
1
即函数 f（x）为增函数．
【解析】
（1）根据题意，分析可得 f（x）=f（ + ）=f（ ）f（ ）≥0，又由 f（0）=1 变形可
得 f（x+（-x））=f（x）•f（-x）=1，分析可得 f（x）≠0，综合即可得答案；
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（2）设 x ＜x ，则 x -x ＞0，结合题意分析可得 f（x -x ）=f[x +（-x ）]=f（x ）f（-
1
2
2 1
2 1
2
1
2
x ）=
＞1，进而分析可得结论．
1
本题考查抽象函数的应用，关键是用特殊值法分析，属于基础题．
21.
【答案】解：（1）根据题意，f（x）=x +|x-2|-1，则 f（-x）=x +|x+2|-1，
2
2
则有 f（x）≠f（-x）且 f（x）≠f（x），
即函数 f（x）为非奇非偶函数；
{
2 + + 1, ≥
+ + 1, <
（2）根据题意，f（x）=x +|x-a|+1=
，
2
2
1
1
3
分析可得：当 a＜- 时，f（x） =f（- ）= -a，
min
2
2
4
1
1
当- ≤a≤ 时，f（x） =f（a）=a +1，
2
min
2
2
1
1
3
当 a＞ 时，f（x） =f（ ）= +a，
min
2
2
4
1
3
综合可得：当 a＜- 时，f（x） = -a，
min
2
4
1
1
当- ≤a≤ 时，f（x） =a +1，
2
min
2
2
1
3
当 a＞ 时，f（x） = +a．
min
2
4
【解析】
（1）根据题意，由函数的解析式分析可得 f（x）≠f（-x）且 f（x）≠f（x），结合函数
奇偶性的定义分析可得答案；
（2）根据题意，f（x）=x2+|x-a|+1=
，结合二次函数的性质分析
可得答案．
本题考查函数的奇偶性以及函数的最值，关键是掌握函数奇偶性的定义，属
于基础题．
22.【答案】解：（1）f（x）= 2 −1 2 + 1−2
=
=1-
2
，函数的定义域为 R，
2 + 1 2 + 1
2 + 1
2
2
∵y=2 +1 为增函数，则 y=
为减函数，则 1-
为增函数，此时 f（x）为增函数．
x
2 + 1
2 + 1
1
1
2 −1
1
（2）g（x）= [1-f（x）]= [1-
]=
，
2
2
2 + 1
2 + 1
1
1
1
1
h（x）=2x•g（x）•g（x+1）=2x•
•
=
-
，
2 + 1 2 + 1 + 1 2 + 1 2 + 1 + 1
1 1 1 1
1
1
1
1
则 h（1）+h（2）+h（3）+……+h（x）= - + - +…+
-
= -
，
3 5 5 7
2 + 1 2
+ 1 3 2
+ 1 + 1
+ 1
1
1
1
1
＜ ，
3 2 + 1 + 1 3
∵
＞0，∴ -
2 + 1 + 1
1
即 h（1）+h（2）+h（3）+……+h（x）＜ 成立．
3
【解析】
（1）利用分子常数化，结合指数函数的单调性进行判断即可．
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（2）求出函数 g（x），h（x）的解析式，利用裂项法进行求解证明即可．
本题主要考查函数单调性的判断和不等式的证明，利用分子常数法以及裂项
法是解决本题的关键．
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（2）设 x ＜x ，则 x -x ＞0，结合题意分析可得 f（x -x ）=f[x +（-x ）]=f（x ）f（-
1
2
2 1
2 1
2
1
2
x ）=
＞1，进而分析可得结论．
1
本题考查抽象函数的应用，关键是用特殊值法分析，属于基础题．
21.
【答案】解：（1）根据题意，f（x）=x +|x-2|-1，则 f（-x）=x +|x+2|-1，
2
2
则有 f（x）≠f（-x）且 f（x）≠f（x），
即函数 f（x）为非奇非偶函数；
{
2 + + 1, ≥
+ + 1, <
（2）根据题意，f（x）=x +|x-a|+1=
，
2
2
1
1
3
分析可得：当 a＜- 时，f（x） =f（- ）= -a，
min
2
2
4
1
1
当- ≤a≤ 时，f（x） =f（a）=a +1，
2
min
2
2
1
1
3
当 a＞ 时，f（x） =f（ ）= +a，
min
2
2
4
1
3
综合可得：当 a＜- 时，f（x） = -a，
min
2
4
1
1
当- ≤a≤ 时，f（x） =a +1，
2
min
2
2
1
3
当 a＞ 时，f（x） = +a．
min
2
4
【解析】
（1）根据题意，由函数的解析式分析可得 f（x）≠f（-x）且 f（x）≠f（x），结合函数
奇偶性的定义分析可得答案；
（2）根据题意，f（x）=x2+|x-a|+1=
，结合二次函数的性质分析
可得答案．
本题考查函数的奇偶性以及函数的最值，关键是掌握函数奇偶性的定义，属
于基础题．
22.【答案】解：（1）f（x）= 2 −1 2 + 1−2
=
=1-
2
，函数的定义域为 R，
2 + 1 2 + 1
2 + 1
2
2
∵y=2 +1 为增函数，则 y=
为减函数，则 1-
为增函数，此时 f（x）为增函数．
x
2 + 1
2 + 1
1
1
2 −1
1
（2）g（x）= [1-f（x）]= [1-
]=
，
2
2
2 + 1
2 + 1
1
1
1
1
h（x）=2x•g（x）•g（x+1）=2x•
•
=
-
，
2 + 1 2 + 1 + 1 2 + 1 2 + 1 + 1
1 1 1 1
1
1
1
1
则 h（1）+h（2）+h（3）+……+h（x）= - + - +…+
-
= -
，
3 5 5 7
2 + 1 2
+ 1 3 2
+ 1 + 1
+ 1
1
1
1
1
＜ ，
3 2 + 1 + 1 3
∵
＞0，∴ -
2 + 1 + 1
1
即 h（1）+h（2）+h（3）+……+h（x）＜ 成立．
3
【解析】
（1）利用分子常数化，结合指数函数的单调性进行判断即可．
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（2）求出函数 g（x），h（x）的解析式，利用裂项法进行求解证明即可．
本题主要考查函数单调性的判断和不等式的证明，利用分子常数法以及裂项
法是解决本题的关键．
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