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个人总结初中、初高中衔接 第一讲 数与式1.1数与式的运算1.1.绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离. 1.填空：（1）若，则x=_；若，则 ba 练 习 （2）如果，且，则b_；若，则c_. .选择题：下列叙述正确的是 （a）若，则（b）若，则则 （d）若，则 （c）若， 3.化简：|x5|2x13|（x5）.1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式；方公式.乘法公式 ： ； （2）完全平 我们还可以通过证明得到下列一些 （ 1）立方和公式）三数和平方公式（4）两数和立方公式；）两数差立方公 （2）立方差公式 ； ；（ 3（式 . 5对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.22例1计算：.例2已知，求的值. 练 习1.填空：111122（1）；（2） ；（3）. 完全平方式，则等于 942322 ）2222 .选择题：12（1）若是一个 21112222（c） （d）（a） （b）mmmm 416322（2）不论，为何实数，的值ba （a）总是正数（b）总是负数 （c）可以是零 （d）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开 ，等是有理式. 22 2得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而22 21.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不 含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，a3a22式.与，与，与，等等. 一般地， 与，与互为有理化因 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算 中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的 形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式. 22.二次根式的意义a2 例1将下列式子化为最简二次根式： 62（1）； （2）； （3）.算：. 例2计例3试比较下列各组数的大小：2（1）和；（2）和. 例 4化简：. 12例5化简：（1）；（2）.求的值._ _； 例6已知， （1） 练习1.填空： 2（2）若，则的取值范围是_ _ _； x （3）_ _； （4）若，则_ .选择题：xx等式成立的条件（a）（b）（c）（d）.若，求的值. _. 是 4.比较大小：23 54（填“”，或“”）. 1.1.分式1.分式的意义aaa形如的式子，若b中含有字母，且，则称为分式.当m0时，分式 bbb 具有下列性质：3； . 上述性质被称为分式 像，这样，分子或分母中又含有 例1若，求常数的例2（1）试证：的基本性质.2.繁分式a分式的分式叫做繁分式. 值. 解得. （其中n是正整数）； 11 1（2）计算：； 1111（3）证明：对任意大于1的正整数 an，有. 2a0，求e的值.； c22例3设，且e1，2c5ac 练 习1.填空题：111对任意的正整数n， nn2.选择题：若，则 546（a）（b）（c）（d） .正数满足，求的值. 455算. （1） 11114.计 习题1.11.解不等式：4 ； （2）； .已知，求的值. （3）.填空： 1819（1）_；_；a 22（2）若，则的取值范围是 （3）_. .2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法例1分解因式：22（1）x3x2；（2）x4x12；（3）；（4）. 解：（1）如图1.21，将二次项x分解成图中的两个x的积，再将常数项2分2解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x3x2中的一次项，所以，有2x3x2（x1）（x2）.12xx1ay11x12x16by2图1.21图1.23图1.24图1.22说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.21中的两个x用1来表示（如图1.22所示）.（2）由图1.23，得2x4x12（x2）（x6）.（3）由图1.24，得 x122 y 1（4）xy（xy）1图1.25（x1）（y+1）（如图1.25所示）.5 2.提取公因式法与分组分解法例2分解因式：（1）； （2）.（2）=. 2）（ 或 = = 23.关于 =. x的二次三项式ax+bx+c（a0）的因式分解.若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式 2就式分 解 因 式 可： 分 解（ 1为. 例3把下列关于x的二次多项 ）； （2）. 个因式为 练习1.选择题：22多项式的一 （a）（b）（c）（d） .分解因式：233（1）x6x8；（2）8ab；2（3）x2x1；（4）. 习题1.21.分解因式：342（1）； （2）； 13（4）.式分解： 2（4）.222 3（1）；（2）； （3）； .在实数范围内因 （3）； .三边b ，满足，试判定的形状.4.分解因式：xx（aa）.第二讲函数与方程2.1一元二次方程2.1.1根的判别式 2我们知道，对于一元二次方程axbxc0（a0），用配方法可以将其变形为 . 22a4a2 因为a0，所以，4a0.于是2（1）当b4ac0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 ；12，2a2（2）当b4ac0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根bxx；122ab22（3）当b4ac0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边一 2a 定大于或等于零，因此，原方程没有实数根.22由此可知，一元二次方程axbxc0（a0）的根的情况可以由b4ac来判22定，我们把b4ac叫做一元二次方程axbxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示.2综上所述，对于一元二次方程axbxc0（a0），有（1）当0时，方程有两个不相等的实数根 acx；12，2a（2）当0时，方程有两个相等的实数根bxx；122a（3）当0时，方程没有实数根.例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根.7 22（1）x3x30；（2）xax10；22（3）xax（a1）0；（4）x2xa0.说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2若一元二次方程axbxc0（a0）有两个实数根则有 122a2a2aa212222a2a4a4aa ， ； . 122a2a 所以，一元二次方程的根与系数之间存 一在下列关系：bc2如果axbxc0（a0）的两根分别是x，x，那么xx，xx.这 aa关系也被称为韦达定理.2 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程xpxq0，若x，x是其两根，12由韦达定理可知 xxp，xxq，1212即p（xx），qxx，121222所以，方程xpxq0可化为x（xx）xxx0，由于x，x是一元二12121222次方程xpxq0的两根，所以，x，x也是一元二次方程x（xx）xxx0.因121212此有 以两个数x，x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是根及k的值. 122x（xx）xxx0.12122例2已知方程的一个根是2，求它的另一个 例3已知关于x的方程x2（m2）xm0有两个实数根，并且这两个4实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值.例4已知两个数的和为4，积为12，求这两个数.2例5若x和x分别是一元二次方程2x5x30的两根.12（1）求|xx|的值；128 11（2）求的值； 22xx1233 （3）xx.122例6若关于x的一元二次方程xxa40的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围.练习1.选择题：22（1）方程的根的情况是 （a）有一个实数根（b）有两个不相等的实数根（c）有两个相等的实数根（d）没有实数根2（2）若关于x的方程mx（2m1）xm0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是11（a）m（b）m4411（c）m，且m0（d）m，且m0442.填空：112（1）若方程x3x10的两根分别是x和x，则. xx122（2）方程 mxx2m0（m0）的根的情况是 . （3）以3和1为根的一元二次方程是. 223.已知，当k取何值时，方程kxaxb0有两个不相等的实数根。 .已知方程x3x10的两根为x和x，求（x3）（x3）的值.1212习题2.11.选择题：2（1）已知关于x的方程xkx20的一个根是1，则它的另一个根是（a）3（b）3（c）2（d）2（2）下列四个说法：2方程x2x70的两根之和为2，两根之积为7；2方程x2x70的两根之和为2，两根之积为7；72方程3x70的两根之和为0，两根之积为； 32方程 3x2x0的两根之和为2，两根之积为0.其中正确说法的个数是（a）1个（b）2个（c）3个（d）4个9 22（3）关于x的一元二次方程ax5xaa0的一个根是0，则a的值是（a）0（b）1（c）1（d）0，或12.填空：2（1）方程kx4x10的两根之和为2，则k. 222（2）方程2xx40的两根为，则. 2（3）已知关于x的方程xax3a0的一个根是2，则它的另一个根是. 2（4）方程2x2x10的两根为x和x，则|xx|.1212223.试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程mx（2m1）x10有两个不相等的实数根。有两个相等的实数根。没有实数根。 24.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x7x10各根的相反数.2.2二次函数22.2.1二次函数yaxbxc的图像和性质22二次函数yax（a0）的图象可以由yx的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得2到.在二次函数yax（a0）中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.2二次函数ya（xh）k（a0）中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”.2由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yaxbxc（a0）的图象的方法：22bbbb222由于yaxbxca（x）ca（x）cxx 2a4a2 2， 所以，yaxbxc（a0）的图象可以看作是将函数yax的图象作左右平移、2上下平移得到的，于是，二次函数yaxbxc（a0）具有下列性质： （1）当a0时，函数yax 2a4abbbbxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大. 而增大；当x时，函数取最小值y （2）当a0时，函数yaxbxc 2a4abbb图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x； 当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的2a2a2a10 2增大而减小；当x时，函数取最大值y.2a4a2例1求二次函数y3x6x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）。并画出该函数的图象.2例2把二次函数yxbxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数2yx的图像，求b，c的值.2例3已知函数yx，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.练习1.选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是22（a）y2x（b）y2x4x222（c）y2x1（d）y2x4x22（2）函数y2（x1）2是将函数y2x（a）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（b）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（c）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （d）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2.填空题2（1）二次函数y2xmxn图象的顶点坐标为（1，2），则m，n. 2（2）已知二次函数yx+（m2）x2m，当m时，函数图象的顶点在y轴上；当m时，函数图象的顶点在x轴上；当m时，函数图象经过原点. 2（3）函数y3（x2）5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x时，函数取最值y；当x时，y随着x的增大而减小.3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象.22（1）yx2x3；（2）y16xx.24.已知函数yx2x3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最11 小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x2；（2）x2；（3）2x1；（4）0x3.2.2.2二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 21.一般式：yaxbxc（a0）； 22.顶点式：ya（xh）k（a0），其中顶点坐标是（h，k）.3.交点式：ya（xx）（xx）（a0），其中x，x是二次函数图象与x轴交点的1212横坐标.例 1已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式.例2已知二次函数的图象过点（3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式.例3已知二次函数的图象过点（1，22），（0，8），（2，8），求此二次函数的表达式.练习1.选择题：2（1）函数yxx1图象与x轴的交点个数是（a）0个（b）1个（c）2个（d）无法确定1 2（2）函数y（x1）2的顶点坐标是 2（a）（1，2）（b）（1，2）（c）（1，2）（d）（1，2）2.填空：（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点（1，0）和（2，0），则该二次函数的解析式可设为ya（a0）. 2（2）二次函数yx+23x1的函数图象与x轴两交点之间的距离为. 3.根据下列条件，求二次函数的解析式.（1）图象经过点（1，2），（0，3），（1，6）；（2）当x3时，函数有最小值5，且经过点（1，11）； （3）函数图象与x轴交于两点（12，0）和（12，0），并与y轴交于（0，2）.习题2.21.选择题：2（1）把函数y（x1）4的图象的顶点坐标是（a）（1，4）（b）（1，4）（c）（1，4）（d）（1，4）12 2（2）函数yx4x6的最值情况是 （a）有最大值6（b）有最小值6（c）有最大值10（d）有最大值22（3）函数y2x4x5中，当3x2时，则y值的取值范围是 （ ） （a）3y1 （b）7y1 （c）7y11（d）7y11 2.填空：（1）已知某二次函数的图象与x轴交于a（2，0），b（1，0），且过点c（2，4），则该二次函数的表达式为.（2）已知某二次函数的图象过点（1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为.23.把已知二次函数y2x4x7的图象向下平移3个单位，在向右平移4个单位，求所得图象对应的函数表达式.4.已知某二次函数图象的顶点为a（2，18），它与x轴两个交点之间的距离为6，求该二次函数的解析式.2.3方程与不等式 2.3.1二元二次方程组解法 方程 是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是做一次项，6叫做常方程 组 2的整式方程，这样的方程叫做二元二次方程.其中，叫做这个方程的二次项，叫 22xyx2xyy 数项.我们看下面的两个 ： 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组.下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法.一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解.例1解方程组 例2解方程组 的解。 （3）（4）列方程组：（4） 练习 2.解下（1） （2）1.下列各组中的值是不是方程组 （1） （2） （3） 2.3.2一元二次不等式解法2（1）当0时，抛物线yaxbxc（a0）与x轴有两个公共点（x，0）和（x，0），方程122axbxc0有两个不相等的实数根x和x（xx），由图2.32可知12122不等式axbxc0的解为 xx，或xx；122不等式axbxc0的解为xxx.1222（2）当0时，抛物线yaxbxc（a0）与x轴有且仅有一个公共点，方程axbxbc0有两个相等的实数根xx，由图2.32可知 122a2不等式axbxc0的解为 bx；2a2不等式axbxc0无解.22（3）如果0，抛物线yaxbxc（a0）与x轴没有公共点，方程ax，bxc0没有实数根由图2.32可知 2不等式axbxc0的解为一切实数；2不等式axbxc0无解.例3解不等式：22（1）x2x30；（2）xx60；14 22（3）4x4x10；（4）x6x90；2（5）4xx0.2例4已知函数yx2ax1（a为常数）在2x1上的最小值为n，试将n用a表示出来. 练 习1.解下列不等式：22（1）3xx40；（2）xx120；220.（3）x3x40；（4）168xx 220（a为常数）.2.解关于x的不等式x2x1a 习题2.31.解下列方程组：2（2） 222. 42 0; 222（2 3）0; 9，22 1，4， （1） （3） 2.解下列不等式：22 （1）3x2x10； （2）3x40；221；（4）4x0.（3）2xx第三讲三角形与圆3.1相似形3.1.1.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.abdeabde如图3.1-2，有.当然，也可以得出.在运用该定理l/l/123bcefacdf解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应 关系，是“对应”线段成比例. 例 1如图3.1-2，l/l/l123且求.ab=2，bc=3，df=4，de，ef15 例2在中，为边上的点，求证：.abacbc 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.abbdacdc例3 在中，为的平分线，求证：. vabcDbac=ad 例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该 角的两边之比）.练习11.如图3.1-6，下列比例式正确的l/l/l123是adceadbca.b.=dfbcbeafceadafbec.d.= dfbcdfce 图3.1-6 2.如图3.1-7，求的平分线，de/bc，ef/ab，ad=5cm，db=3cm，fc=2cm，.bf图3.1-73.如图，在中，ad是角bacab=5cm，ac=4cm，bc=7cm，求bd的vabc长. 图3.1-8 16 3.1.2.相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似。有哪些方法可以判定两个直角三角形相似。例6如图3.1-12，在直角三角形abc中，为直角，.Dbacadbc于d 求证：（1），； 22ab=bdbcac=cdcb（2）2ad=bdcd练习 21.如图3.1-15，d是 vabcde/bc的边ab上的一点，过d点作已知ad：db=2：3，则等于 交ac于e.（ ） s：sveda四边形edcba.b.c.d.2：34：94：54：21图3.1-152.若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是_. 3： 23.已知：的三边长分别是 3，4，5，与其相似的的最大边长是15，vabcvabc求的面积.bcsvabc 4.已知：如图 3.1-16，在四边形abcd中，e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da的中点.（1）请判断四边形efgh是什么四边形，试说明理由；（2）若四边形abcd是平行四边形，对角线ac、bd满足什么条件时，efgh是菱形。是正方形。 图3.1-16习题3.117 中， 1.如图3.1-18，ad=df=fb，ae=eg=gc，vabcfg=4，则（ ） a.de=1，bc=7b.de=2，bc=6c.de=3，bc=5d.de=2，bc=8图3.1-182.如图3.1-19，bd、ce是的中线，p、q分别是vabcbd、ce的中点，则等于pq：bca.1：3b.1：4c.1：5d.1：6图3.1-193.如图3.1-20，中，e是ab延长线上一点，de交bc于点f，已知be：yabcd ab=2：3，求.ss=4vcdfvbef 图3.1-204.如图3.1-21，在矩形abcd中，e是cd的中点，交ac于f，过f作fg/ab交ae于g，beac求证：.2ag=affc图3.1-213.2 三角形3.2.1三角形的“四心”三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三18 角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2： 1.已知d、e、f分别为三边bc、ca、ab的中点，vabc图3.2-3求证 ad、be、cf交于一点，且都被该点分成2： 1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5） 图3.2-5例2已知的三边长分别为，i为的内心，且ivabcvabcbc=a，ac=b，ab=cb+c-a在的边上的射影分别为，求证：.vabcbc、ac、abd、e、fae=af= 2三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）图3.2-8例4求证：三角形的三条高交于一点.已知中，ad与be交于h点.vabcadbc于d，beac于e，求证.chab过不共线的三点 a、b、c有且只有一个圆，该圆是三角形abc的外接圆，圆心o为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.19 练习11.求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2.（1）若三角形abc的面积为s，且三边长分别为，则三角形的内切圆分别为（其中为斜边长），则三角形的内 a、b、c的半径是_;（2）若直角三角形的三边长 a、b、cc 切圆的半径是_.并请说明理由. 练习21.直角三角形的三边长为3，4，则_.xx=2.等腰三角形有两个内角的和是100，则它的顶角的大小是_.3.已知直角三角形的周长为，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.3列结论中，132a. 3习题3.2a组1.已知：在中，ab=ac，为bc边上的高，则下 o 正确的是 b. c. d. 6、 8、10，那么它最短边2222.三角形三边长分别是上的高为a.6b.4.5c.2.4d.83.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于 _.4.已知。是的三条边，那么的取值范围是_。 ，且是整数，则的值是_。 5.若三角形的三边长分别为aa8 1、a、3.3圆3.3.1直线与圆，圆与圆的位置关系 设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系。oollr20 图3.3-1观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，dr直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如od=rl1圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.od第27页 共27页