上海市宝山区2020年八年级上学期期末数学试题.docx

2020 学年第一学期期末考试八年级数学试卷
一、选择题（本大题共 小题，每题 分，满分 分）
6 3 18
1.在下列二次根式中，和 2 是同类二次根式的是（）
x
8x
x
+ 2
A. 2
；
B. 2 x；
C.
D.
x
【答案】C
【解析】
【分析】
化为最简二次根式后，被开方数相同 几个二次根式称为二次根式，由此即可确定.
2x
【详解】解： 2x 的被开方数为 .
的
A 选项 2 的被开方数为 ，不是 2 同类二次根式，A 不符合题意；
x
x
x
B 选项 2 x 的被开方数为 2，不是 2 同类二次根式，B 不符合题意；
x
2x
C 选项 8 = 4´ 2 = 2 2 ，被开方数为 ，是 2 同类二次根式，C 符合题意；
x
x
x
x
D 选项
+ 2 的被开方数为
，不是
2x 同类二次根式，D 不符合题意.
x
+ 2
x
故选：C.
【点睛】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键.
2.下列各方程中，一定是一元二次方程的是（）
1 1
+ = 2
A.
B.
=
2
a
；
C. (y 1)(y 2) 0；
+ =
D. y 2x 3；
-
= -
ax2
2
x x
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义判断即可.
【详解】解：A 选项不是整式方程，故不是一元二次方程，A 不符合题意；
B 选项当
时，
= 2
a
不是一元二次方程，B 不符合题意；
a
= 0
2
ax
C 选项(y 1)(y 2) 0 可化为 2
+ =
+ y - 2 = 0
，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为 2，是整式方
-
y
程，故是一元二次方程，C 符合题意；
D 选项 y 2x 3 含有两个未知数，且未知数的项的次数为 1，不是一元二次方程，D 不符合题意.
= -
故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元指含有一个未知数，二次指含未知数项的最高次数为2，且
必须是整式方程，正确理解一元二次方程的定义是解题的关键.
3.下列命题中，为真命题的是（）
A. 同位角相等；
B. 三角形两边之和大于第三边；
C. 直角三角形“三线合一”；
【答案】B
D. 三角形面积为其某一边 a 和该边上的高 h 之积；
【解析】
【分析】
由判断正确的命题为真命题即可确定.
【详解】解：A 选项只有当两条平行直线被第三条直线所截时形成的同位角才相等，A 错误，为假命题；
B 选项根据三角形三边之间的关系可知三角形两边之和大于第三边，B 正确，为真命题；
C 选项等腰三角形“三线合一”，一般的直角三角形不具有“三线合一”的性质，C 错误，为假命题；
D 选项三角形面积为其某一边 a 和该边上的高 h 之积的二分之一，D 错误，为假命题.
故选：B
【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握判断真命题与假命题的方法是解题的关键.
1
4.在直角 ABC 中， C 90 ，如果 BC
Ð = °
AB，那么（）
D
=
2
A. A 30 ；
B. A 45 ；
Ð = °
C. A 60 ；
Ð = °
D. A 36 ；
Ð = °
Ð = °
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30° 即可确定.
【详解】解：如图
1
ÐC = 90°, BC = AB
2
\ÐA = 30°
故选：A.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握含30 度角的直角三角形的相关性质是解题的关键.
5.某工厂第二季的产值比第一季增长 x%，第三季的产值又比第二季增长 x%，那么第三季的产值比第一季
增长了（）
(1+ x%)
A. 2x%；
B. 1 2x%；
C.
；
D. x%(2 x%)；
+
+
2
【答案】D
【解析】
【分析】
可设第一季的产值为 ，根据增长率表示出第三季的产值，由增长率的计算公式可得结果.
a
(1+ x%)
，第三季的产值为a(1+ x%)2
【详解】解：设第一季的产值为 ，则第二季的产值为a
a
，
a(1+ x%)2
- a
= (1+ x%) -1= (1+ x% -1)(1+ x% +1) = x%(2 + x%).
第三季的产值比第一季增长了
2
a
故选：D.
【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，正确理解题意是解题的关键.
4
1
6.如图，反比例函数 y＝－ 的图象与直线 y＝－ x 的交点为 A、B，过点 A 作 y 轴的平行线与过点 B 作
x
3
的 x 轴的平行线相交于点 C，则△ABC 的面积为(
)
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
【答案】A
【解析】
试题解析：由于点 A、B 在反比例函数图象上关于原点对称，
则△ ABC 的面积=2|k|=2×4=8．
故选 A．
考点：反比例函数系数 k 的几何意义．
二．填空题：（本大题共 12 题，每题 3 分，满分 36 分）
7.化简： 12 3 =_______________
a
2a 3a .
【答案】

【解析】
【分析】
根据二次根式的性质化简即得答案.
【详解】解： 12 3 = 2 3 ，故答案为2a 3a .
a
a a
【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，属于常考题型，掌握化简的方法是关键.
8.方程 x（x+1）＝0 的解是_______________．
【答案】x =0,x =-1
1
2
【解析】
【分析】
方程的左边为两个一次因式相乘，右边为 0，所以可化为两个一次方程：x=0，x+1=0，解此两个一次方程
即可求得．
【详解】解：x（x+1）=0
x=0 或 x+1=0
x =0，x =-1．
1
2
故答案为 x =0，x =-1．
1
2
【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一
次因式相乘，右边为 0，再分别使各一次因式等于 0 即可求解．
9.在实数范围内分解因式： 2 - 4 + 2 = ________．
x
x
( )( )
【答案】
x
- 2 + 2 x - 2 - 2
【解析】
【分析】
先利用完全平方公式进行配方，再根据平方差公式进行因式分解即可.
- 4x + 2 = (x - 4x + 4) - 2 = (x - 2) - ( 2) = (x - 2 + 2)( x - 2 - 2) .
【详解】解：
x2
2
2
2
故答案为：(x - 2 + 2)( x - 2 - 2)
.
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握用公式法进行因式分解是解题的关键，实数范围内的因式分解技
³ 0
.
a
= ( )
巧：若
，则
2
a
a
10.函数 =
2x +1
定义域是___________.
y
1
【答案】
x
³ -
2

【解析】
【分析】
根据二次根式成立的条件求解即可.
2x +1³ 0
【详解】解：由题意可得：
1
³ -
解得： x
2
1
2
³ -
故答案 ： x
【点睛】本题考查二次根式成立的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是本题的解题关键.
6
11.已知函数 f(x)=
【答案】3 2
，那么 f(2)=________．
x
【解析】
【分析】
(2)
2
x = 2
代入函数解析式求值即可.
=
由 f
可知 x
，将
6
6 2
6 2
2
(2) =
=
=
= 3 2
.
【详解】解： f
2
2 ´ 2
故答案为：3 2 .
【点睛】本题考查了函数，已知自变量的值求函数值，正确理解函数解析式中自变量与函数值的关系是解
题的关键.
2
12.对于函数 y= ，当函数值 y -1 时，自变量 x 的取值范围是________．
<
x
-2 < x < 0
【答案】
【解析】
【分析】
根据反比例函数图像及性质可知自变量 x 的取值范围.
【详解】解：当 y
= -1时， x = -2

如图所示，当 y
< -1时， -2 < < 0.
x
-2 < x < 0.
故答案 ：
【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，灵活的根据函数值的范围确定自变量的取值范围是解题的
关键.
13.直角三角形两锐角互余的逆命题是_____________．
【答案】如果在一个三角形中两内角互余，那么这个三角形为直角三角形
【解析】
【分析】
将原命题的条件与结论互换即可得到逆命题.
【详解】解：原命题可改写成如果有一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两锐角互余，将条件与
结论互换可得其逆命题为如果在一个三角形中两内角互余，那么这个三角形为直角三角形.
故答案为：如果在一个三角形中两内角互余，那么这个三角形为直角三角形
【点睛】本题考查了逆命题，熟练掌握逆命题与原命题的关系是解题的关键.
@
14.如图 ABC 和 BDE 都是等边三角形，那么 ABE ______________.
D
D
D
DCBD
【答案】
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质利用 SAS 可证DABE @ DCBD.
【详解】解： DABC 和DBDE 都是等边三角形

\ AB = CB,ÐABE = ÐCBD = 60°, BE = BD
\ ABE @ CBD(SAS)
DCBD.
故答案为：
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定，灵活利用等边三角形的性质是解题的关键.
15.已知两点 A、B，到这两点距离相等的点的轨迹是____________．
【答案】线段 AB 的垂直平分线
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质可得结论.
【详解】解：因为线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以到这两点距离相等的点的轨迹是线
段 AB 的垂直平分线.
故答案为：线段 AB 的垂直平分线.
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.
16.如图 ABC 中，AB AC 6，AC 的垂直平分线 DE 交于 E，如果 EBC 的周长为 10，那么 ABC 的周长为
D
= =
D
D
________．
【答案】16
【解析】
【分析】
AB+ BC + +
的长，由 AB BC AC 可求得DABC
= EC
根据线段垂直平分线的性质可得EA
，等量代换可得
的周长.
【详解】解：∵
为线段
的垂直平分线
DE
AC
= AE
∴ EC
∵ DEBC 的周长为 10
+ BC = AE + BE + BC = EC + BE + BC = C
=10
EBC
∴ AB

AB = AC = 6
= AB + AC + BC =10 + 6 =16
\ C
DABC
故答案为：16.
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，灵活利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是
解题的关键.
17.如图，线段 AB、CD 相交于 E，AE AC，DE DB，点 M、F、G 分别为线段 AD、CE、EB 的中点,如果
=
=
MAE 25 ， AMF 40 那么 MFG 的度数为________．
= ° Ð = °
Ð
Ð
【答案】45°
【解析】
【分析】
^ CE, DG ^ BE
连接AF、GM、GD，取线段GD的中点H，连接MH，由等腰三角形三线合一的性质可知 AF
，
= GM
，且GM = MD，结合平行线的性质及等腰三
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FM
角形三线合一的性质，可得ÐGMD的度数，易知ÐFMG的度数，根据等腰三角形两底角相等可得ÐMFG
的度数.
【详解】解：如图，连接 AF、GM、GD，取线段 GD 的中点 H，连接 MH
AE = AC, DE = DB ，点 F、G 分别为线段 CE、EB 的中点
\ AF ^ CE, DG ^ BE
\ AFD △AGD
和
均为直角三角形

点 M 是线段 AD 的中点
1
1
1
\FM = AD,GM = AD,MD = AD
2
2
2
\ FM = GM ,GM = MD
又 点 H 为线段 GD 中点
\MH //AG,ÐGMH = ÐDMH
\ÐDMH = ÐMAE = 25°
\ÐGMH = ÐDMH = 25°
\ÐGMD = 50°
\ÐFMG =180 - ÐAMF - ÐGMD =180 - 40 - 50 = 90
°
°
°
°
°
FM = GM
180 - ÐFMG
°
\ÐMFG = ÐMGF =
= 45°
2
故答案为：45 ° .
【点睛】本题主要考查了三角形的综合，涉及了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的中位线，
灵活利用等腰三角形三线合一的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
18.过原点的直线 经过 A 3,1 ，将此直线绕原点逆时针方向旋转 45 后所对应的直线的解析式为________．
( )
l
°
= 2x
【答案】 y
【解析】
【分析】
^ OA
AD ^ x ^
交 OE 于点 B， 轴于点 D，BC AD
在平面直角坐标系中画出旋转前后的图形，过点 A 作 AB
@ BAC
交 AD 的延长线于点 C，利用 AAS 可证 AOD
= kx
，由全等三角形对应边相等可知BC、AC 长，易知
点 B 坐标，可设直线的解析式为 y
，将点 坐标代入求解即可.
B
^ OA
AD ^ x
交 OE于点 B，
【详解】解：如图，直线 OE为 OA逆时针旋转45°后所对应的直线，过点 A 作 AB
^ AD
轴于点 D， BC
交 AD 的延长线于点 C.
A(3,1)可知OD = 3, AD =1
由点
由旋转可知ÐAOB =
AB ^ OA
45°

\ÐOAB = 90°
\ÐOBA = 45°
\OA= AB
AD ^ x 轴， BC ^ AD交 AD 的延长线于点 C
\ÐODA = ÐACB = 90°
\ÐAOD + ÐOAD = 90°
ÐOAD + ÐBAC =180 - ÐOAB = 90
°
°
\ÐAOD = ÐBAC
BAC
在△AOD
和
中
ìÐODA = ÐACB
ï
ÐAOD = ÐBAC
OA = AB
í
ï
î
\ AOD @ BAC(AAS)
\BC = AD =1, AC = OD = 3
\OD - BC = 2, AC + AD = 4
所以点 B 的坐标为(2, 4)
设直线 OE 的解析式为 y
将点 B(2, 4)
= kx
，
代入得 4 = 2k
= 2
解得 k
= 2x
所以直线 OE 的解析式为 y
.
= 2x
故答案为： y
.

【点睛】本题考查了一次函数图像与几何图形的综合，涉及了一次函数解析式、全等三角形的判定与性质，
灵活利用题中条件添加辅助线是解题的关键.
三、解答题 （本大题共 题，其中
: 7
每题 分，第 、 题各 分，满分共 分）
6 24 25 8 46
19-23
8
+ 6
19.计算：
5 - 3
【答案】 10 + 2 6
【解析】
【分析】
利用平方差公式使分母有理化，再合并同类二次根式即可.
8
+ 6
+ 6
【详解】解：
5 - 3
8( 5 + 3)
=
=
( 5 - 3)( 5 + 3)
2 2( 5 + 3)
+ 6
5 - 3
= 2( 5 + 3) + 6
= 10 + 6 + 6
= 10 + 2 6
【点睛】本题考查了二次根式，灵活的利用平方差公式将二次根式的分母有理化是解题的关键.
20.用适当方法解方程： x(x 3)=2(x 3)
- -
-
= -2，x = 3
【答案】 x
1
2
【解析】
【分析】
先将方程化简
【详解】解：- +
3x = 2x - 6
x
2
化简得 - -
6 = 0
x
2
x
(x + 2)(x - 3) = 0
= -2，x = 3
解得 x
.
1
2

【点睛】本题考查了一元二次方程，其解法有直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据方程的
特点选择合适的方法是解题的关键.
1
+ (m - 2)x + m = 0
21.已知关于 x 的方程 x2
有两个实数根，那么m 的取值范围是________________
2
4
£1
【答案】m
【解析】
【分析】
1
( )
+ m - 2 x +
= 0 有两个实数根，可知△≥0，据此列出不等式解答即可．
根据关于 x 的方程 x
m
2
2
4
1
( )
+ m - 2 x + m = 0
【详解】解：∵关于 x 的方程 x
有两个实数根，
2
2
4
1
∴△=（m - 2）2-4×1× m =-4m+4≥0，
2
4
∴m≤1．
故答案为 m≤1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）的根的判别式△=b -4ac．当△＞0 时，
2
2
方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程没有实数根．
k
22.已知点 O 是坐标原点，反比例函数 y= 的图像经过 A( 3 ,1)．
x
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）将线段 OA 绕 O 逆时针旋转 30°得到线段 OB，判断点 B 是否在此反比例函数的图像上并说明理由．
3
【答案】（1） y
=
；（2） 点在此反比例函数的图象上，理由见解析
B
x
【解析】
【分析】
（1）将点 A 坐标代入求解即可；
（2）由旋转的性质求出点 B 坐标，再判断点 B 是否在反比例函数图像上.
k
3
k
x
3 ,1)代入 y=
得1=
，解得 k
= 3
=
，所以此反比例函数的解析式为 y
；
【详解】（1）将点 A(
3
x
（2）点 在反比例函数图象上．
B
x
垂直于 轴于点 C，过点 作
x
垂直于 轴于点 D
BD
理由：如图，过点 作
A
AC
B

由点 A( 3 ,1)知OC
在 RtDAOC
= 3, AC =1，
中，根据勾股定理得OA =
12
3
2
=
2 ，
+
1
\ AC = OA
2
∴
ÐAOC = 30
由旋转得ÐAOB = 30°,OB = OA = 2
\ÐBOD = ÐAOB + ÐAOC = 60°
\ÐOBD = 30°
1
在 RtDBOD
中,OD
=
=1，根据勾股定理得
OB
BD OB2 OD2
= 3
=
-
2
3
(1, 3)
=
∴ 点坐标为
B
，满足反比例函数的解析式 y
x
∴ 点在此反比例函数的图象上．
B
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式及其图像，同时涉及到旋转变换、勾股定理、含30 度角的直角三
角形的性质，灵活的运用旋转的性质是解题的关键.
23.如图,AD 是 ADC 中 A 的平分线,DE AB 于 E,DF AC 于 F,联结 EF．求证：AD EF
D
Ð
^
^
^
【答案】见解析
【解析】
【分析】
= FD
由角平分线的性质可知ED
结论.
，再利用三角形全等证明
AE AF
=
，根据线段垂直平分线的判定定理可得

DADC
DF ^ AC
，
DE AB
ÐA
【详解】解：∵ AD 是
中
的平分线，
^
ÐBAD = ÐCAD
=
， ED FD
∴
∵ÐAED = ÐAFD = 90 ， AD
DAED @ DAFD
∴
= AD ED = FD
，
\ AE = AF
∴点 、D 都在 EF 的垂直平分线上
A
^ EF
∴ AD
【点睛】本题综合考查了角平分线及线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质定理及线段垂直平分线
的判定定理是解题的关键.
t
24.已知点 A(2,1)是正比例函数 y kx(其中 k 0)和反比例函数 y
(其中 t 0)的图像在第一象限的交点，点B
=
¹
=
¹
x
是这两个函数图像的另一个交点，点 C 是 x 轴上一点．
（1）求这两个函数的解析式并直接写出点B 的坐标；
（2）求当DABC 为等腰三角形时,点 C 的坐标．
1
2
( )
B -1,-2
【
答
案
】 （
1
）
y
= x
，
y =
，
； （
2
）
2
x
( ) ( ) ( ) ( )
C 2 - 19，0 C 2 + 19，0 C -2 - 19，0 C -2 + 19，0
1
2
3
4
【解析】
【分析】
t
（1）将点 A 坐标代入正比例函数 y=kx 和反比例函数 y= 中求解即可，联立两函数解析式可得点 B 坐标；
x
( )
C m,0
（2）设 的坐标为
，由两点间距离公式可表示出线段 AB、BC、AC 长，再根据题意分
，
C
AB
= BC
AB = AC ， BC
= AC
情况列出关于 x 的方程，求解即可.
1
2
=
【详解】（1）
将点 A（2,1）代入 y=kx 得1= 2k
，解得k
= 2，
，
t
t
1=
将点 A（2,1）代入 y= 得
，解得t
x
2
1
2
= x
y =
所以正比例函数的解析式为 y
，反比例函数解析式为
，
2
x

1
ì
y = x
ï
ì =
x
2
ì
í
î
x = -2
y = -1
ï
2
联立得
，解得í
或
，所以 B 点坐标为
(-2,-1)；
í
ï
2
y =
x
=1
î y
ï
î
( )
C m,0
，由两点间距离公式可得
（2）
设 的坐标为
C
AC = (2 - m)
+ (1- 0)
= m
- 4m + 5 ，
20 = (-2 - ) + (-1- 0) =
2
2
2
[
] [ ]
=
AB = 2 - (-2) + 1- (-1)
m
+ 4 + 5
，
2
2
BC
m
2
2
m2
当DABC 为等腰三角形时
= BC
①
，即 20 =
2 + 4 +5 ，化简得m + 4m -15 = 0，解得m = -2 ± 19 ，
m m
AB
2
(-2 + 19,0) (-2 - 19,0)
或 ；
所以 C 点坐标为
= AC
②
，即 20 =
2 ± 19
，
AB
m2
-4 +5 ，化简得m - 4m -15 = 0 ，解得 =
m
2
m
(2 + 19,0) (2 - 19,0)
或 ；
所以 C 点坐标为
8m = 0
0
，此时点 C 的坐标
③
，解得m =
BC
= AC
，即
+ 4 +5 =
-4 +5 ，化简得
m2
m
m2
m
为（0,0），点 A、B、C 在一条直线上，构不成等腰三角形.
( ) ( ) ( )
C 2 - 19，0 C 2 + 19，0 C -2 - 19，0
综合上述当DABC 为等腰三角形时,点 C 的坐标可能为
或
或
1
2
3
( )
C -2 + 19，0
或
.
4
【点睛】本题考查了反比例函数与等腰三角形的综合，涉及了正比例与反比例函数的解析式、两点间的距
离公式、等腰三角形的判定，确定等腰三角形时注意分类讨论，灵活利用待定系数法及两点间的距离公式
是解题的关键，
25.如图，点 D 是直角等腰△ABC 斜边 AB 的中点，M 为边 AC 上不和 A、C 重合的一动点，联结 DM，过
D 作 DN DM，交 BC 于 N，联结 MN．
^

(1)求证：以 AM、MN、BN 为边的三角形是直角三角形
(2)如果 AC 2，AM x，试用 x 表示△DMN 的面积，并求当 ADM 22．5 时△DMN 的面积．
=
=
Ð
=
1
= x - x +1
= 2- 2
【答案】（1）见解析；（2） S
， S
2
2
DDMN
DDMN
【解析】
【分析】
DCDN @ DADM
（1）连接CD 、MN，结合等腰直角三角形的性质利用 ASA 可证
，由全等三角形的性质
AM、M N、BN
是直角三角形可知以 为边的三角形时直角三角
= CN
=
， BN CM，由
CNM
可得 AM
形；
= 2- x
DCDN @ DADM
可知
MD = ND，
=
（2）易知CM
，CN x ，由勾股定理可得MN 长，由（1）中
结合勾股定理可知 MD 长，根据三角形面积公式可用 x 表示出△DMN 的面积，当ÐADM=22．5 时，可得
CD = CM = 2- x ，在 Rt ACD中，根据勾股定理可得 CD 长，求出 x 值代入△DMN 的面积的表达式中
即可求解.
【详解】（1）
如图，连接CD 、MN，
ABC是等腰直角三角形
\ÐACB = 90 , BC = AC = 2,ÐA = ÐB = 45
°
°
点 D 是 AB 的中点
1
1
\CD = AB = AD,ÐNCD = ÐACB = 45°,CD ^ AB
2
2
\ÐNCD = ÐA
DN ^ DM ,CD ^ AB
\ÐNDM = 90 ,ÐCDA = 90
°
°
\ÐNDC + ÐCDM = 90 ,ÐADM + ÐCDM = 90
°
°
\ÐNDC = ÐADM
在△CDN
和
中，
ADM

ì Ð
NCD
= ÐA
ï
í CD = AD
ï
ÐNDC = ÐADM
î
( )
\ CDN @ ADM ASA
= CN
=CM
∴ AM
\ BN
CNM 是直角三角形，即以CN、MN、CM 为边 三角形时直角三角形
∴以 AM、MN、BN
为边的三角形时直角三角形
的
= 2- x ，由（1）知CN = AM = x
（2）CM
在 Rt CNM 中，根据勾股定理得MN = CM + CN = (2 - x) + x = 2x - 4x + 4 ，
2
2
2
2
2
CDN @ ADM
\MD = ND
在 Rt DNM 中，根据勾股定理得MD + ND = MN = 2x - 4x + 4
2
2
2
2
即 2MD = 2x - 4x + 4 ，\MD = x - 2x + 2
2
2
2
2
1
1
1
= MD× ND = MD = x - x +1
所以 S
2
2
2
2
2
DDMN
当ÐADM = 22.5 时，ÐCMD = ÐA + ÐADM = 67.5 ，
°
ÐCDM = ÐCDA - ÐADM = 90 - 22.5 = 67.5
°
°
°
\ÐCMD = ÐCDM
\CD = CM = 2- x
，
在 Rt CDA中，根据勾股定理得CD + AD = AC = 4
2
2
2
= AD
由（1）知CD
\2CD = 4，\
= 2
2
CD
\2 - x = 2 ，解得 x = 2 - 2
1
1
将 =
2 - 2
代入
S
= x - x +1 S
2
得
= (2 - 2) - (2 - 2) +1= 2 - 2
2
.
x
2
2
DDMN
DDMN
【点睛】本题主要考查了三角形的综合，涉及了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角
三角形的性质、勾股定理，灵活的将题中已知条件与图形相结合是解题的关键.

(1)求证：以 AM、MN、BN 为边的三角形是直角三角形
(2)如果 AC 2，AM x，试用 x 表示△DMN 的面积，并求当 ADM 22．5 时△DMN 的面积．
=
=
Ð
=
1
= x - x +1
= 2- 2
【答案】（1）见解析；（2） S
， S
2
2
DDMN
DDMN
【解析】
【分析】
DCDN @ DADM
（1）连接CD 、MN，结合等腰直角三角形的性质利用 ASA 可证
，由全等三角形的性质
AM、M N、BN
是直角三角形可知以 为边的三角形时直角三角
= CN
=
， BN CM，由
CNM
可得 AM
形；
= 2- x
DCDN @ DADM
可知
MD = ND，
=
（2）易知CM
，CN x ，由勾股定理可得MN 长，由（1）中
结合勾股定理可知 MD 长，根据三角形面积公式可用 x 表示出△DMN 的面积，当ÐADM=22．5 时，可得
CD = CM = 2- x ，在 Rt ACD中，根据勾股定理可得 CD 长，求出 x 值代入△DMN 的面积的表达式中
即可求解.
【详解】（1）
如图，连接CD 、MN，
ABC是等腰直角三角形
\ÐACB = 90 , BC = AC = 2,ÐA = ÐB = 45
°
°
点 D 是 AB 的中点
1
1
\CD = AB = AD,ÐNCD = ÐACB = 45°,CD ^ AB
2
2
\ÐNCD = ÐA
DN ^ DM ,CD ^ AB
\ÐNDM = 90 ,ÐCDA = 90
°
°
\ÐNDC + ÐCDM = 90 ,ÐADM + ÐCDM = 90
°
°
\ÐNDC = ÐADM
在△CDN
和
中，
ADM

ì Ð
NCD
= ÐA
ï
í CD = AD
ï
ÐNDC = ÐADM
î
( )
\ CDN @ ADM ASA
= CN
=CM
∴ AM
\ BN
CNM 是直角三角形，即以CN、MN、CM 为边 三角形时直角三角形
∴以 AM、MN、BN
为边的三角形时直角三角形
的
= 2- x ，由（1）知CN = AM = x
（2）CM
在 Rt CNM 中，根据勾股定理得MN = CM + CN = (2 - x) + x = 2x - 4x + 4 ，
2
2
2
2
2
CDN @ ADM
\MD = ND
在 Rt DNM 中，根据勾股定理得MD + ND = MN = 2x - 4x + 4
2
2
2
2
即 2MD = 2x - 4x + 4 ，\MD = x - 2x + 2
2
2
2
2
1
1
1
= MD× ND = MD = x - x +1
所以 S
2
2
2
2
2
DDMN
当ÐADM = 22.5 时，ÐCMD = ÐA + ÐADM = 67.5 ，
°
ÐCDM = ÐCDA - ÐADM = 90 - 22.5 = 67.5
°
°
°
\ÐCMD = ÐCDM
\CD = CM = 2- x
，
在 Rt CDA中，根据勾股定理得CD + AD = AC = 4
2
2
2
= AD
由（1）知CD
\2CD = 4，\
= 2
2
CD
\2 - x = 2 ，解得 x = 2 - 2
1
1
将 =
2 - 2
代入
S
= x - x +1 S
2
得
= (2 - 2) - (2 - 2) +1= 2 - 2
2
.
x
2
2
DDMN
DDMN
【点睛】本题主要考查了三角形的综合，涉及了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角
三角形的性质、勾股定理，灵活的将题中已知条件与图形相结合是解题的关键.