资源描述
)
x
x
B．对角线互相垂直
D．对角线互相垂直且相等
(
6．在英语句子“Wish you success s
”(祝你成功)中任选一个字母，这个字母为“ ”
的概率是(
)
C
．30° ．40° ．45° ．60°
D
；③CD·EN＝BN·BD；④AC＝2DF.
的图象在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，则 k 的值
cm
12．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24 ，
要使烛焰的像 A′B′是烛焰 AB 的 2 倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛
________的地方．
(第 12 题)
(第 13 题)
13．如图是由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这
个几何体的小正方体的个数可能是______________．
m
m
14．如图，在一块长为 22 ，宽为 17 的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相
m
垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为 300 .
2
m
若设道路宽为 x ，根据题意可列出方程为______________________________．
(第 14 题)
15．如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝ 6，AD＝2.当 AB＝
________时，△ABC 与△ACD 相似．
(第 15 题)
16．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中捕获 30 条鱼，在每条鱼身
上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200 条鱼．如果在这 200 条鱼中有
5 条鱼是有记号的，则可估计鱼塘中约有鱼________条．
17．如图，以 ABCO 的顶点 O 为原点，边 OC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，
k
顶点 A，C 的坐标分别为(2，4)，(3，0)，过点 A 的反比例函数 y＝ 的图象交 BC 于点 D，
x
连接 AD，则四边形 AOCD 的面积是________．
(第 17 题)
18．如图，在四边形ABCD 中，对角线 AC⊥BD，垂足为 O，点 E，F，G，H 分别为 AD，
AB，BC，CD 的中点．若 AC＝8，BD＝6，则四边形 EFGH 的面积为________．
(第 18 题)
三、解答题(19～22 题每题 8 分，23，24 题每题 11 分，25 题 12 分，共 66 分)
19．解方程：
(1)x －6x－6＝0;
2
(2)(x＋2)(x＋3)＝1.
20．已知关于 x 的一元二次方程 x －3x＋1－k＝0 有两个不相等的实数根．
2
(1)求 k 的取值范围；
(2)若 k 为负整数，求此时方程的根．
．．．
21．小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 2，3，
4(背面完全相同)，现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放
回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇
数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为 6 的概率．
(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．
22．如图，九年级(1)班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆 DE 的高度，已知直
m
立在地面上的竹竿 AB 的长为 3 ．某一时刻，测得竹竿 AB 在阳光下的投影 BC 的长为 2
m.
(1)请你在图中画出此时旗杆 DE 在阳光下的投影，并写出画图步骤；
m
(2)在测量竹竿 AB 的影长时，同时测得旗杆 DE 在阳光下的影长为 6 ，请你计算旗
杆 DE 的高度．
(第 22 题)
k
23．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝x＋b 与双曲线 y＝ 相交于 A，B 两
x
点，已知 A(2，5)．求：
(1)b 和 k 的值；
(2)△OAB 的面积．
(第 23 题)
24．如图，在矩形 ABCD 中，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，点 P，Q 分别是 BM，DN
的中点．
(1)求证：△MAB≌△NCD.
(2)四边形 MPNQ 是什么特殊四边形？请说明理由．
(第 24 题)
25．在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，D 是 AB 延长线上一点，E 是 AC 上一点，DE 交
BC 于点 F.
(1)如图①，若 BD＝CE，求证：DF＝EF.
1
(2)如图②，若 BD＝ CE，试写出 DF 和 EF 之间的数量关系，并证明．
n
(3)如图③，在(2)的条件下，若点 E 在 CA 的延长线上，那么(2)中结论还成立吗？
试证明．
(第 25 题)
答案与解析
D
C
一、1. 2. 3.
A
k
4． 解析：把(m，3m)的坐标代入 y＝ ，得到 k＝3m ，因为 m≠0，所以 k>0.所以
B
2
x
图象在第一、三象限．
D
C
B
5． 6. 7. 8.
C
A
9． 解析：当 k＞0 时，反比例函数的系数－k＜0，反比例函数图象位于第二、
四象限，一次函数图象过第一、二、三象限，没有正确图象；当 k＜0 时，反比例函数
的系数－k＞0，反比例函数图象位于第一、三象限，一次函数图象过第二、三、四象限，
A
A
图象符合．故选 .
C
10． 解析：①设∠EDC＝x，则∠DEF＝90°－x，从而可得到∠DBE＝∠DEB＝180°
－(90°－x)－45°＝45°＋x，∠DBM＝∠DBE－∠MBE＝45°＋x－45°＝x，从而可得
到∠DBM＝∠CDE，所以①正确．
②可证明△BDM≌△DEF，然后可证明△DNB 的面积＝四边形 NMFE 的面积，所以△DNB
的面积＋△BNE 的面积＝四边形 NMFE 的面积＋△BNE 的面积，即 S ＝S
△BDE
.所以②
四边形 BMFE
CD BN
错误；③可证明△DBC∽△NEB，所以 ＝ ，即 CD·EN＝BN·BD.所以③正确．
BD EN
1
④由△BDM≌△DEF，可知 DF＝BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知 BM＝ AC，
2
1
所以 DF＝ AC，即 AC＝2DF.所以④正确．故选 .
C
2
二、11.1 解析：答案不唯一，只要满足 k>－1 即可．
cm
12．8
13.4 或 5
14．(22－x)(17－x)＝300(或 x －39x＋74＝0)
2
解析：如图，把道路平移后，草坪的面积等于图中阴影部分的面积，即(22－x)(17
－x)＝300，也可整理为 x －39x＋74＝0.
2
(第 14 题)
15．3 或 3 2 解析：∵∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝ 6，AD＝2，∴CD＝ AC －AD
2
2
6 x
＝ 2.设 AB＝x，当 AC∶AD＝AB∶AC 时，△ABC∽△ACD，∴ ＝ .解得 x＝3，即 AB
2
6
＝3.
当 AB∶AC＝AC∶CD 时，△ABC∽△CAD，
x
6
∴ ＝ ，解得 x＝3 2，即 AB＝3 2.
6
2
∴AB＝3 或 3 2.
16．1 200
17．9 解析：由题易知 OC＝3，点 B 的坐标为(5，4)．∴ ABCO 的面积为 12.设直
ì3k′＋b＝0，
线 BC 对应的函数表达式为 y＝k′x＋b，则í
î5k′＋b＝4，
ìk′＝2，
解得í
îb＝－6.
∴直线 BC 对应
k
的函数表达式为 y＝2x－6.∵点 A(2，4)在反比例函数 y＝ 的图象上，∴k＝8.∴反比例
x
ìy＝2x－6，
x＝4， x＝－1，
ì
8 í
ì
函数的表达式为 y＝ .由
8
x
解得í
îy＝2
或í
x î
y＝
îy＝－8
(舍去)．∴点 D 的坐标为(4，2)．
1
∴△ABD 的面积为 ×2×3＝3.
2
∴四边形 AOCD 的面积是 9.
18．12 解析：易知 EF∥BD∥HG，
1
且 EF＝HG＝ BD＝3.
2
1
同理得 EH∥AC∥GF 且 EH＝GF＝ AC＝4.
2
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG.
∴四边形 EFGH 是矩形．
∴四边形 EFGH 的面积＝EF×EH＝3×4＝12.
故答案是 12.
三、19.解：(1)x －6x－6＝0，
2
x －6x＋9＝ 15，
2
(x－3) ＝ 15，
2
x－3＝ ± 15，
∴x ＝3＋ 15，x ＝3－ 15.
2
1
(2)(x＋2)(x＋3)＝1，
x ＋5x＋6＝ 1，
2
x ＋5x＋5＝ 0，
2
－5± 5 －4×1×5
2
x＝
2
，
－5＋ 5
2
－5－ 5
2
∴x＝
1
，x＝
2
.
20．解：(1)由题意得 Δ＞0，
即 9－4(1－k)＞0，
5
解得 k＞－ .
4
(2)若 k 为负整数，则 k＝－1，
原方程为 x －3x＋2＝0，
2
解得 x ＝1，x ＝2.
2
1
21．解：(1)列表如下：
2 3 4
4 5 6
5 6 7
6 7 8
4
总共有 9 种结果，每种结果出现的可能性相同，而两数和为6 的结果有 3 种，因此
3 1
P(两数和为 6)＝ ＝ .
9 3
(2)这个游戏规则对双方不公平．
4
5
4 5
理由：因为 P(和为奇数)＝ ，P(和为偶数)＝ ，而 ≠ ，所以这个游戏规则对双方
9 9
9
9
不公平．
22．解：(1)如图，线段 EF 就是此时旗杆 DE 在阳光下的投影．
作法：连接 AC，过点 D 作 DF∥AC，交直线 BE 于点 F，则线段 EF 即为所求．
(第 22 题)
(2)∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE.
又∠ABC＝∠DEF＝90°，
AB BC
∴△ABC∽△DEF.∴ ＝ .
DE EF
m
m
m
∵AB＝3 ，BC＝2 ，EF＝6 ，
3 2
∴ ＝ .
DE 6
m
∴DE＝9 .
m
∴旗杆 DE 的高度为 9 .
k
23．解：(1)∵直线 y＝x＋b 与双曲线 y＝ 相交于 A，B 两点，已知 A(2，5)，
x
k
∴5＝2＋b，5＝ .
2
解得 b＝3，k＝10.
(2)如图，过 A 作 AD⊥y 轴于 D，过 B 作 BE⊥y 轴于 E，∴AD＝2.
∵b＝3，k＝10，
10
∴y＝x＋3，y＝ .
x
ì
y＝x＋3，
x ＝2， x ＝－5，
ì
ì
í
由
10
x
得í
îy ＝5，îy ＝－2.
1
í
2
î
y＝
1
2
∴B 点坐标为(－5，－2)．∴BE＝5.设直线 y＝x＋3 与 y 轴交于点 C.
∴C 点坐标为(0，3)．
∴OC＝3.
1
1
∴S ＝ OC·AD＝ ×3×2＝3，
2
2
△AOC
1
1
15
S ＝ OC·BE＝ ×3×5＝ .
2
2
2
△BOC
21
∴S ＝S ＋S ＝ .
2
△AOB
△AOC
△BOC
(第 23 题)
24．(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∠A＝∠C＝90°.
∵点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，
1
1
∴AM＝ AD，CN＝ BC.
2
2
∴AM＝CN.
在△MAB 和△NCD 中．
∵AB＝CD，
∠A＝∠C＝90°，
AM＝CN.
∴△MAB≌△NCD( )．
SAS
(2)解：四边形 MPNQ 是菱形．理由如下：如图，连接AP，MN.易知四边形 ABNM 是矩
形．
(第 24 题)
又∵P 为 BM 的中点，∴A，P，N 在同一条直线上．∴AN＝BM.
∵△MAB≌△NCD，∴BM＝DN.
∵点 P，Q 分别是 BM，DN 的中点，
1
1
∴PM＝ BM，NQ＝ DN.
2
2
∴PM＝NQ.
∵点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，
1
1
∴DM＝ AD，BN＝ BC.
2
2
又∵AD＝BC，∴DM＝BN.
又∵DM∥BN.
∴四边形 DMBN 是平行四边形．
∴MB∥DN，即 MP∥QN.
∴四边形 MPNQ 是平行四边形．
∵点 M 是 AD 的中点，点 Q 是 DN 的中点，
1
1
∴MQ＝ AN.∴MQ＝ BM.
2
2
1
又∵MP＝ BM，∴MP＝MQ.
2
∴四边形 MPNQ 是菱形．
25．(1)证明：在题图①中作 EG∥AB 交 BC 于点 G，
则∠ABC＝∠EGC，∠D＝∠FEG.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.
∴∠EGC＝∠C.∴EG＝EC.
∵BD＝CE，∴BD＝EG.
∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠GFE，
∴△BFD≌△GFE.
∴DF＝EF.
1
(2)解：DF＝ EF.
n
证明：在题图②中作 EG∥AB 交 BC 于点 G，则∠D＝∠FEG.由(1)得 EG＝EC.
∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠EFG，
BD DF
∴△BFD∽△GFE.∴ ＝ .
EG EF
1
1
∵BD＝ CE＝ EG，
n
n
1
∴DF＝ EF.
n
(3)解：成立．
证明：在题图③中作 EG∥AB 交 CB 的延长线于点 G，
则仍有 EG＝EC，△BFD∽△GFE.
BD DF
∴ ＝ .∵BD＝ CE＝ EG，∴DF＝ EF.
EG EF
1
1
1
n
n
n
AM＝CN.
∴△MAB≌△NCD( )．
SAS
(2)解：四边形 MPNQ 是菱形．理由如下：如图，连接AP，MN.易知四边形 ABNM 是矩
形．
(第 24 题)
又∵P 为 BM 的中点，∴A，P，N 在同一条直线上．∴AN＝BM.
∵△MAB≌△NCD，∴BM＝DN.
∵点 P，Q 分别是 BM，DN 的中点，
1
1
∴PM＝ BM，NQ＝ DN.
2
2
∴PM＝NQ.
∵点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，
1
1
∴DM＝ AD，BN＝ BC.
2
2
又∵AD＝BC，∴DM＝BN.
又∵DM∥BN.
∴四边形 DMBN 是平行四边形．
∴MB∥DN，即 MP∥QN.
∴四边形 MPNQ 是平行四边形．
∵点 M 是 AD 的中点，点 Q 是 DN 的中点，
1
1
∴MQ＝ AN.∴MQ＝ BM.
2
2
1
又∵MP＝ BM，∴MP＝MQ.
2
∴四边形 MPNQ 是菱形．
25．(1)证明：在题图①中作 EG∥AB 交 BC 于点 G，
则∠ABC＝∠EGC，∠D＝∠FEG.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.
∴∠EGC＝∠C.∴EG＝EC.
∵BD＝CE，∴BD＝EG.
∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠GFE，
∴△BFD≌△GFE.
∴DF＝EF.
1
(2)解：DF＝ EF.
n
证明：在题图②中作 EG∥AB 交 BC 于点 G，则∠D＝∠FEG.由(1)得 EG＝EC.
∵∠D＝∠FEG，∠BFD＝∠EFG，
BD DF
∴△BFD∽△GFE.∴ ＝ .
EG EF
1
1
∵BD＝ CE＝ EG，
n
n
1
∴DF＝ EF.
n
(3)解：成立．
证明：在题图③中作 EG∥AB 交 CB 的延长线于点 G，
则仍有 EG＝EC，△BFD∽△GFE.
BD DF
∴ ＝ .∵BD＝ CE＝ EG，∴DF＝ EF.
EG EF
1
1
1
n
n
n
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