平面向量的数量积教案第一课时.doc

2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时）
教材分析：
教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质，运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。
教学目标：
1.掌握平面向量数量积的定义
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律
教学重点：
平面向量的数量积定义.
教学难点：
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学方法：
1. 问题引导法
2. 师生共同探究法
教学过程：
一． 回顾旧知
向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作，
它的长度和方向规定如下：
（1）
（2）当λ>0时,的方向与a方向相同，当λ<0时, 的方向与a方向相反
特别地，当或时，
向量的数乘运算律：设,为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：
① λ(μ)=
② (λ+μ)=
③ λ(+)=
二． 情景创设
问题1. 我们已经学习了向量的加法，减法和数乘，它们的运算结果都是向量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？

三． 学生活动
联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。
问题2. 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为多少？
W可由下式计算：W＝｜F｜·｜s｜cosθ，其中θ是F与s的夹角.
若把功W看成是两向量F和S的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量数量积的概念.

四． 建构数学
1.向量数量积的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量｜｜｜｜cosθ叫与的数量积，记作·，即有·＝｜｜｜｜cosθ
说明：（1）向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角决定
（2）是与的夹角；范围是0≤θ≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.）
当θ＝0时，与同向；·＝｜｜｜｜cos0＝｜｜｜｜
当θ＝时，与垂直，记⊥；·＝｜｜｜｜cos=0
当θ＝π时，与反向；·＝｜｜｜｜cos=－｜｜｜｜
（3）规定·＝0；2＝·＝｜｜2或｜｜＝＝
（4）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替
2. 向量数量积的运算律
已知，，和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
①·＝· (交换律)
②(λ)·＝λ (·)＝·(λ) (数乘结合律)
③(＋)·＝·＋· (分配律)
④(·)≠ (·) （一般不满足结合律）
五．例题剖析
加深对数量积定义的理解

例1 判断正误，并简要说明理由.
① ＝；
② 0＝0；
③ 若，则对任意非零向量，有
④ 如果，那么与夹角为锐角
⑤ 若，则
⑥ 若且，则
⑦ 若，则·＝｜｜｜｜
⑧ 与是两个单位向量，则2＝2

数量积定义运用
例2： 已知2，3，θ为与的夹角，分别在下列条件下求·
（1）与的夹角为135° （2）∥ （3）⊥

变式：已知｜｜＝4，｜｜＝6，与的夹角θ为60°，求
（1） （2） （3）

概念辨析，正确理解向量夹角定义
例3 已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求·

变式：三角形ABC中，若,判断三角形ABC的形状

六．课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.
七．课堂检测
1.若=4， =6，与的夹角为，则 .
2.若<0，则与的夹角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.下列等式中，其中正确的是 （ ）
① ② = ③ ④=
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.已知，，，则与的夹角为 。
5.已知单位向量和的夹角为，则 。
八．课后作业
必做题：课本81页 习题2.4 第1，2题
九．教学反思
教学中应该强调向量数量积是实数，但与实数运算律有很大区别。讲解数量积定义时可适当拓展数量积几何意义，让学生了解投影的概念。