2016高中自主招生数学模拟试题及答案.doc

唐山市 唐山一中 自主招生测试题
一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.四个实数中，每三个数的和分别为，则这四个实数的积是

2.若实数满足，则的值是

A
B
C
D
E
3.如图，三角形的面积为，点、分别在边、上，，且，则三角形面积的最大值是

4.若关于的方程有四个实数解，则化简的结果是

A
C
B
D
F
E
5.若非零的实数满足等式，则的值是

6.如图，在直角三角形中，，是斜边上一动点，，，垂足分别是，当的长最小时，

7.多项式被除的余式是

8.已和是互不等的实数，三个方程①; ②;③中，①②有公共根，②③有公共根，③①有公共根，则

9.我们有一个结论：对于任何一个正整数，若是偶数，将其减半；若是奇数，将其乘以加，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到.如正整数，按上述规则变换后，可得一列数：.如果正整数按上述变换后的第个数是（是第个数，可多次出现），则的所有可能值的个数是

10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是
2
3
4
5
6
…
3
5
7
9
11
…
4
7
10
13
16
…
5
9
13
17
21
…
6
11
16
21
26
…
…
…
…
…
…
…
二、解答题（本大题5小题，共70分）
y
x
P
A
B
O
l
11.（本题满分12分）已知点，函数的图象是直线，点在上，满足是钝角，试求的取值范围.

12.（本题满分12分）已知关于的函数的图象与轴有交点.
（1）求的取值范围；
（2）若函数图象与轴有两个不同的交点，且.试求的值，并根据图象指出当时，函数的最大值和最小值.

A
E
B
C
D
F
13.（本题满分12分）如图，点是三角形外接圆上一点，的延长线交过点的切线于点.若，∥，，，求的长.

14.（本题满分16分）如图，点在以为直径的⊙上，过点、作圆的切线交于点，点是的中点，求证：.
C
A
B
P
Q

O

15.（本题满分18分）编号为的张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加，乙手中卡片编号的平均数也增加，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数.

试题及解答
一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.四个实数中，每三个数的和分别为，则这四个实数的积是
解：这四个实数的和为，所以这四个数分别是，即，其积是.
2.若实数满足，则的值是
解：去分母得，移项得.
设，则方程变为，∴或（舍去）.
A
B
C
D
E
由得，所以.
3.如图，三角形的面积为，点、分别在边、上，，且，则三角形面积的最大值是
解：∵
，
∴三角形面积的最大值是.
4.若关于的方程有四个实数解，则化简的结果是

解：显然.
若，则方程可变为，方程最多两解，不合题意，所以.
方程可化为.
当时，方程可化为，有两解，不合题意.
当时，,有三解，不合题意.
当时，方程有四解，符合题意.
故.从而.
5.若非零的实数满足等式，则的值是
解：若，则，于是；
若，则，于是；
若且，则由得；由得，矛盾.
故且.
于是，可令，所以
A
C
B
D
F
E
.
6.如图，在直角三角形中，，是斜边上一动点，，，垂足分别是，当的长最小时，
解：连结，则，所以的长最小时即为的长最小，此时,于是，所以.
7.多项式被除的余式是
解：，所以余式是.
8.已和是互不等的实数，三个方程①; ②;③中，①②有公共根，②③有公共根，③①有公共根，则
解：由，得，，∴.
同理，.
∴.
又互不相等，如，则①③的公共根，于是，从而，代入①②③有，三式相加得，矛盾.
由上述结论可知，①的两根为；②的两根为；③的两根为.
由根与系数关系，有，故.
9.我们有一个结论：对于任何一个正整数，若是偶数，将其减半；若是奇数，将其乘以加，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到.如正整数，按上述规则变换后，可得一列数：.如果正整数按上述变换后的第个数是（是第个数，可多次出现），则的所有可能值的个数是
1
2
4
16
8
1
2
32
4
64
10
8
1
128
21
20
3
16
2
5
解：反推

∴的所有可能值的个数是.

10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是
2
3
4
5
6
…
3
5
7
9
11
…
4
7
10
13
16
…
5
9
13
17
21
…
6
11
16
21
26
…
…
…
…
…
…
…
解：观察知，表中第行第列的数是.由得，是的正约数，所以有8对，从而在表中出现的次数是.
二、解答题（本大题5小题，共70分）
11.（本题满分12分）已知点，函数的图象是直线，点在上，满足是钝角，试求的取值范围.
解：以为直径作圆，交于点,则点在线段上（不含端点）.………4分
y
x
P
A
B
O
C
D
l
设点，则
…………………………6分
把（1）代入（2），整理得，
，
∴，……………………………8分
∴.
故的取值范围是.……………12分
12.（本题满分12分）已知关于的函数的图象与轴有交点.
（1）求的取值范围；
（2）若函数图象与轴有两个不同的交点，且.试求的值，并根据图象指出当时，函数的最大值和最小值.
解：（1）当时，函数为，图象与轴有交点.…………………2分
当时，图象与轴有交点的条件是

解得.…………………………………………………………………………分
综上，的取值范围是.……………………………………………………4分
（2）.………………………………………………5分
由得，，
∴可化为
………………………………………………………8分
∴
解得，或.…………………………………………………………………10分
但时，函数图象与轴仅有一个交点，舍去.
时，函数为，画图可知当时，最大值为，最小值为.…………………………………………………………………………12分
A
E
B
C
D
F
13.（本题满分12分）如图，点是三角形外接圆上一点，的延长线交过点的切线于点.若，∥，，，求的长.
解：∵是圆的切线，∴.
设，则，解得.…………………3分
∵是圆的切线,∴.
∵,∴,
∴,∴∥,…………………………5分
又∥，∴四边形是平行四边形,………………7分
∴.
又由∥得，，即，解得.…………12分
14.（本题满分16分）如图，点在以为直径的⊙上，过点、作圆的切线交于点，点是的中点，求证：.
C
A
B
P
Q

O
证明：连接，则点在上.…………………2分
∵,,∴.…………4分
设交⊙于，则.……………6分
∴,
∴∽，
∴…………………………………………8分
∴…………………………………………10分
又∵∥，
∴，
∴∽，
∴，………………………………………12分
∴，
∴.…………………………………16分
15.（本题满分18分）编号为的张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加，乙手中卡片编号的平均数也增加，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数.
解：.…………………………………………………………2分
设乙原来手中有卡片张，平均数为，
则原来甲手中有张卡片，平均数为.…………………………………4分
由题意得，………………………………………6分
由(1)得， (3)……………………………………………………………8分
由(2)得，，
，
即………………………………………………………11分
将(3)代入(2)得，
，
解得.………………………………………………………………………………15分
故原来甲手中有张卡片，乙手中有张卡片.
把代入（3），得.
于是甲原来张卡片总和为，平均数为.因此,可写出如下一种原来甲、乙手中所持的卡片：
甲：.…………………………………………………………18分
10