[精校版]重庆市八年级上期末数学试题有答案新人教版.docx

2017-2018 学年綦江区八年级上期末考试数学试题
考生注意：
1．本次考试分试题卷和答题卷，考试结束时考生只交答题卷.
2．请将所有试题的解答都写在答题卷上.
3．全卷共五个大题，满分 150 分，时间 120 分钟.
一、选择题（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个正确的，请将正确答案的代号填在答题卡上.
1.剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ）
A
B
C
D
2．使分式 x -1 有意义的 x 的取值范围是（
x 1
）
A.x=1
B.x≠1
C.x=-1
D.x≠-1.
）
3．计算：(-x) ·2x 的结果是（
3
A.-2x
B.-2x
C.2x
D.2x
4
3
4
3
4．化简： x2 -1 x =（
）
-
x -1 x -1
A.1
5．一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 5，则它的周长为（
A.11 B.12 C.13 D.11 或 13
6．如果(x-2)(x+3)=x +px+q，那么 p、q 的值为（
B.0
C.x
D.-x
）
）
2
A.p=5，q=6 B.p=1，q=-6 C.p=1，q=6 D.p=5，q=-6.
7．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β 的度数是（
）
第 7 题
第 9 题

A.180° B.220°
C.240
D.300°
8．下列从左到右的变形中是因式分解的有（ ）
( )
( )( )
①
②
④
x2 - y2 -1 = x + y x - y -1
3 + =
x x x 1
2 +
x
( )
( )( )
x - 9y = x + 3y x - 3y
③
x - y 2 = x - 2xy + y
2
2
2
2
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个.
9．如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，若 AD=3，
则 BD+AC=（
A、10 B、15
）
C、20
D、30.
10．精元电子厂准备生产 5400 套电子元件，甲车间独立生产一半后，由于要尽快投入市场，乙
车间也加入了该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件套数是甲车间的 1.5 倍，结果
用 30 天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少套？在这个问题中设甲车间每天生产电子元
件 x 套，根据题意可得方程为（
）
A. 2700 2700
2700
x
2700
B.
+
= 30
+
= 30
= 30
x
1.5x
x +1.5x
C. 2700
5400
5400
x
2700
D.
+
= 30
+
x
x +1.5x
x +1.5x
11．如图，在第一个△ABA 中，∠B=20°，AB=A B，在 A B 上取一点 C，延长 AA 到 A ，
1
1
1
1
2
使得 A A =A C，得到第二个△ A A C；在 A C 上取一点 D，延长 A A 到 A ，使得
1
2
1
1
2
2
1
2
3
A A =A D；…，按此做法进行下去，则第 5 个三角形中，以点 A 为顶点的底角的度数为（
）
2
3
2
5
第 11 题
B.10°
第 12 题
A.5°
C.170°
D.175°
12．如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E，AD、CE 交
于点 H，且 EH=EB.下列四个结论：①∠ABC=45°；②AH=BC；③BE+CH=AE；④△AEC 是
等腰直角三角形.你认为正确的序号是（
A.①②③ B.①③④ C.②③④
）
D.①②③④

二、填空题（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将正确答案填在答题卷上.
13．正六边形一个外角是 度.
14．因式分解：
=
.
a3-a
15．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是
.（添加一条件即可）.
第 15 题
第 16 题
+ k
k
16．已知关于 x 的分式方程 x
（k≠1）的解为负数，则 k 的取值范围是 .
=1
-
x +1 x -1
17．若 4 次 3 项式 m +4m +A 是一个完全平方式，则 A=
.
4
2
18．如图，△ABC 中，AC=10，AB=12，△ABC 的面积为 48，AD 平分∠BAC，F，E 分别为
AC，AD 上两动点，连接 CE，EF，则 CE+EF 的最小值为
.
三、解答题：（本大题 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分）解答时须给出必要的演算过程或推理
步骤.
19．解方程 1
3
-1= ( )( )
x -1
x -1 x + 2
20．已知：如图，A、B、C、D 四点在同一直线上，AB=CD，AE∥BF 且 AE=BF.求证：EC=FD.
四、解答题（本大题 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分）
21．（1）分解因式：(p+4)(p-1)-3p；
( )
( ) ( )
（2）化简：
a + 2 - a a + 2 - 3a2 - 6a ¸ 3a
2

æ
ö
22．先化简，再求值： x - 2x + 4
x - 4x - 4 ，其中 x 是|x|＜2 的整数.
2
2
ç
÷
- x + 2 ¸
ç
÷
x -1
1- x
è
ø
23．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是 ABD 和△ACD 的高.求证：AD 垂直平
分 EF.
24．今年我区的葡萄喜获丰收，葡萄一上市，水果店的王老板用2400 元购进一批葡萄，很快售
完；老板又用 5000 元购进第二批葡萄，所购件数是第一批的 2 倍，但进价比第一批每件多了 5
元.
（1）第一批葡萄每件进价多少元？
（2）王老板以每件 150 元的价格销售第二批葡萄，售出 80%后，为了尽快售完，决定打折促销，
要使第二批葡萄的销售利润不少于 640 元，剩余的葡萄每件售价最少打几折？（利润=售价-进
价）
五、解答题（本大题 2 个小题，25 小题 10 分，26 小题 12 分，共 22 分）解答时须给出必要的
演算过程或推理步骤.
25．25．已知 a+b=1，ab=-1.设
S = a + b，S = a + b ，S = a + b ，¼，S = a + b
2
2
3
3
n
n
1
2
3
n
（1）计算 S ；
2
( ) ( )
（2）请阅读下面计算 S 的过程：
a3 + b3 = a3 + b3 + b2a - b2a + a2b - a2b
3
( ) ( ) ( )
= a + b a + b + a b - b a + a b
3
2
3
2
2
2
( ) ( )
( )
= a + b a + a + b b - ab a + b
2
2
2
2
( )
( )
( )
= a + b a + b - ab a + b
2
2
∵a+b=1，ab=-1，
( )
( )
( )
( )
∴
.
= a3 + b3 = a + b a2 + b2 - ab a + b =1´ - -1 ´1 = +1 =
S
S
S
3
2
2

你读懂了吗？请你先填空完成（2）中 S 的计算结果；再计算 S ；
3
4
（3）猜想并写出
三者之间的数量关系（不要求证明，且 n 是不小于 2 的自然数），
S ，S ，S
n-2 n -1
n
根据得出的数量关系计算 S .
8
26．如图，△ABC 是等边三角形，点 D 在边 AC 上（点 D 不与点 A，C 重合），点 E 是射线 BC
上的一个动点（点 E 不与点 B，C 重合），连接 DE，以 DE 为边作等边△DEF，连接 CF.
（1）如图 1，当 DE 的延长线与 AB 的延长线相交，且点 C，F 作直线 DE 的同侧时，过点 D
作 DG∥AB，DG 交 BC 于点 G，求证：CF=EG；
（2）如图 2，当 DE 的反向延长线与 AB 的反向延长线相交，且点 C，F 在直线 DE 的同侧时，
求证：CD=CE+CF；
（3）如图 3，当 DE 的反向延长线与线段 AB 相交，且点 C，F 在直线 DE 的异侧时，猜想 CD、
CE、CF 之间的等量关系，并说明理由.
参考答案及评分意见
一、选择题（12 个小题，共 48 分）

1—12：C、D、A、C、D、B、C、B、B、B、A、C.
二、填空题（6 个小题，共 24 分）
13．60；14．a(a+1)(a-1)；15．∠C=∠B 或∠AEB=∠ADC 或∠CEB=∠BDC 或 AE=AD 或 CE=BE；
16．k＞ 1 且 k≠1；17．4 或±4m ；18．8.
3
2
三、解答题（共 18 分）
19．解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4 分
解得 x=1
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
检验：当 x=1 时，(x-1)(x+2)=0，
∴原方程无解. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8 分
20．证明：∵AB=CD，∴AC=BD.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 分
又∵AE∥BF，∴∠A=∠DBF. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4 分
ì
ï
í
AC BD
=
在△ACE 和△BDF 中
ÐA = ÐDBF
AE = BF
ï
î
∴△ACE≌△BDF.
∴EC=FD.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6 分
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8 分
四、解答题（共 40 分）
21．（1）原式=p -4 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分
2
=(p+2)(p-2).
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5 分
（2）解：原式=a +4a+4-a -2a-a+2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分
2
2
=a+6.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5 分
( )( ) ( )
é
ê
ë
ù
22．解：原式= x - 2x + 4 x - 2 x -1
x + 2 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分
¸
1- x
2
-
ú
x -1
x -1
û
+ 2
1- x
( )
= x
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6 分
´
x -1
+ 2
x 2
= 1
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
又 x 是|x|＜2 的整数，∴x=-1 或 0 或 1. 当 x=1 时原式无意义.
-
x + 2

∴当 x=-1 时，原式=-1；当 x=0 时，原式=- 1 . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10 分
2
23．证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，且 DE，DF 分别是 ABD 和△ACD 的高
∴
DE=DF.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分
ì
AD AD
=
在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中，
í
îDE = DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7
分
∴
AE=AF.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8 分
∴点 D、A 都是 EF 的垂直平分线上的点，故 AD 垂直平分 EF. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10 分
24．解：（1）设第一批葡萄每件进价 x 元，根据题意，得
2100
x
5000
. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分
´ 2 =
x + 5
解得 x=120.经检验，x=120 是原方程的解且符合题意. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5 分
答：第一批葡萄每件进价为 120 元. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6 分
（2）设剩余的葡萄每件售价打 y 折.根据题意，得
(
)
5000
125
5000
125
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8 分
´150´ 1- 80% ´0.1y - 5000 ³ 640
´150´80% +
解得 y≥7.
答：剩余的葡萄每件售价最少打 7 折.
五、解答题（共 24 分）
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10 分
25．解：（1）S =a +b =(a+b) -2ab=1 -2×(-1)=3. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分
2
2
2
2
2
（2）S =4. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4 分
3
∵S =a +b =(a +b ) -2a b =(a +b ) -2(ab) ，
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
又∵a +b =3，ab=-1，∴S =7. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6 分
2
2
4
（3）∵S =1，S =3，S =4，S =7，∴S +S =S ，S +S =S
1
2
3
4
1
2
3
2
3
4

猜想： S +S =S . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8
n-2
n-1
n
分
∵S =4 ，S =7，∴S =S +S =4+7=11，
3
4
5
3
4
∴S =S +S =7+11=18，S =S +S =11+18=29，
6
4
5
7
5
6
∴S =S +S =18+29=47. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10 分
8
6
7
26．（1）证明：如图 1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 分
∵DG∥AB，∴∠DGC=∠B.
∴∠DGC=∠DCG=60°. ∴△DGC 是等边三角形. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 分
∴DC=DG，∠CDG=60°
∵△DEF 是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°
∴∠EDG=60°-∠GDF，∠FDC=60°-∠GDF
∴∠EDG=∠FDC ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分
∴△EDG≌△FDC. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4 分
∴FC=EG. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5 分
（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°.
如图 2，过点 D 作 DG∥AB，DG 交 BC 于点 G.
∴∠DGC=∠B. ∴∠DGC=∠DCG=60°
∴△DGC 是等边三角形. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6 分
∴CD=DG=CG，∠CDG=60°
∵△DEF 是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠EDG=60°-∠CDE，∠FDC=60°-∠CDE
∴∠EDG=∠FDC. ∴△EDG≌△FDC. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
∴EG=FC.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8 分
∵CG=CE+EG，∴CG=CE+FC. ∴CD=CE+FC. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 9 分
（3）如图 3，猜想 DC、EC、FC 之间的等量关系是 FC=DC+EC.
证明如下：
∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°.

过点 D 作 DG∥AB，DG 交 BC 于点 G.
∴∠DGC=∠B. ∴∠DGC=∠DCG=60°
∴△DGC 是等边三角形.
∴CD=DG=CG，∠CDG=60°. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10 分
∵△DEF 是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠EDG=60°+∠CDE，∠FDC=60°+∠CDE
∴∠EDG=∠FDC. ∴△EDG≌△FDC. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 11 分
∴EG=FC. ∵EG=EC+CG，∴FC=EC+DC. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 12 分

猜想： S +S =S . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8
n-2
n-1
n
分
∵S =4 ，S =7，∴S =S +S =4+7=11，
3
4
5
3
4
∴S =S +S =7+11=18，S =S +S =11+18=29，
6
4
5
7
5
6
∴S =S +S =18+29=47. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10 分
8
6
7
26．（1）证明：如图 1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 分
∵DG∥AB，∴∠DGC=∠B.
∴∠DGC=∠DCG=60°. ∴△DGC 是等边三角形. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 2 分
∴DC=DG，∠CDG=60°
∵△DEF 是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°
∴∠EDG=60°-∠GDF，∠FDC=60°-∠GDF
∴∠EDG=∠FDC ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 3 分
∴△EDG≌△FDC. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 4 分
∴FC=EG. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5 分
（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°.
如图 2，过点 D 作 DG∥AB，DG 交 BC 于点 G.
∴∠DGC=∠B. ∴∠DGC=∠DCG=60°
∴△DGC 是等边三角形. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 6 分
∴CD=DG=CG，∠CDG=60°
∵△DEF 是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠EDG=60°-∠CDE，∠FDC=60°-∠CDE
∴∠EDG=∠FDC. ∴△EDG≌△FDC. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分
∴EG=FC.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8 分
∵CG=CE+EG，∴CG=CE+FC. ∴CD=CE+FC. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 9 分
（3）如图 3，猜想 DC、EC、FC 之间的等量关系是 FC=DC+EC.
证明如下：
∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°.

过点 D 作 DG∥AB，DG 交 BC 于点 G.
∴∠DGC=∠B. ∴∠DGC=∠DCG=60°
∴△DGC 是等边三角形.
∴CD=DG=CG，∠CDG=60°. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10 分
∵△DEF 是等边三角形，∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴∠EDG=60°+∠CDE，∠FDC=60°+∠CDE
∴∠EDG=∠FDC. ∴△EDG≌△FDC. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 11 分
∴EG=FC. ∵EG=EC+CG，∴FC=EC+DC. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 12 分