四年级奥数第一讲(数列).docx

第一讲 等差数列基础
关于第一讲等差数列，是中年级学习的一个重点。高年级的很多题虽不是直接考察等差数列，但往往中间的某一步需要用到等差数列的知识。等差数列这讲公式繁多，但希望孩子们千万不要死记硬背这些公式，一定要理解着记忆。
希望孩子们能够每天坚持练几道大数乘除法。乘法可以按照三位数×一位数，两位数×两位数，三位数×两位数，四位数×两位数，三位数×三位数，四位数×三位数。除法可以从三位数÷一位数，四位数÷一位数，三位数÷两位数，四位数÷一位数，五位数÷一位数，五位数÷三位数等等这样的顺序练起。

一、 通项公式
知识点解析：
⒈第n项=首项+（n-1）×公差
辅助练习：等差数列5、8、11……求这个数列的第2011项是多少？

这个公式含有四个量首项，第n项，项数n，公差，这四个其实是知三求一的。
⒉首项=第n项-（n-1）×公差
辅助练习：等差数列……91,95,99共17项，求第一项是多少？

（此公式本讲没有涉及）
⒊项数n=（第n项－首项）÷公差+1
辅助练习：等差数列105,111,117……,567共多少项？

⒋公差=（第n项－首项）÷（项数n－1）
辅助练习：等差数列首项为6，末项为94，共23项，求公差

（此公式本讲例6涉及到）
一定要注意的是，这些公式千万不要死记硬背，一定要通过理解，多练习来记忆。其中第一个和第三个是重点。
⒌首项和公差相等的数列（求n项或项数时不用套公式，可直接求）：
如3，6，9，12……（首项为3，公差也为3，首项和公差相等）
⑴ 1000项是几？

⑵ 6000是这个数列的第几项？

⒍等差数列任意两项的差：
第m项－第n项=（m－n）×公差
如2，5,8,11,14,17……第5项14比第1项2多5－1个公差3
所以第5项-第1项=（5－1）×3=12
附加练习：
对于4,7,10,13,16……
⑴第49项是多少？
⑵49是这个数列的第几项？
⑶ 100项和第50项的差值是多少？

例1 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问：这个数列的第2000个数是多少？第2003个数是多少？

学案1 已知数列2,1,4,3,6,5,8,7,……，问2009是这个数列中的第几项？

二、 求和公式
知识点解析：
前n项和=（首项+第n项）×项数n÷2

例2 计算
⑴1+3+4+6+7+9+10+12+13+……+66+67+69+70
⑵1000+999－998+997+996－995+……+106+105－104+103+102－101
③原数列=2485-805=1680
⑵1000+999－998+997+996－995+……+106+105－104+103+102－101

三、 中项定理
知识点解析：
中间项=（首项+末项）÷2
和=中间项×项数n
对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；各项和等于中间相乘以项数。
如1,4,7,10,13

学案3 把210拆成7个自然数的和 ，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数差都是5，那么，第一个数和第6个数分别是多少？

学案4 一个大剧院，座位排成的形状是一个梯形，而且第一排有10个座位，第2排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢？

例4 建筑工地有一批砖，摆成如图形状，最上面两层砖，第2层6块砖，第三层10块砖…，依次每一层都比其上面一层多4块砖 ，已知最下层有2106块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？

等差数列和其他知识结合：
7 差数列和余数综合
例7 求100以内除以3余2的所有数的和

总结：
除以3余2的所有数：2，5,，8，11……首项为余数2，公差为除数3的等差数列；
除以5余3的所有数：3，8，13，18……首项为余数3，公差为除数5的等差数列；
除以6余1的所有数：1，7，13，19……首项为余数1，公差为除数6的等差数列；
除以m余n的所有数(m＞n)：
㈡等差数列与和差问题综合
例8 如图，把边长为1的小正方叠成金字塔形，其中黑白相见染色，如果最底层有15个正方形，问共有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？

学案3 节日期间在一个八层楼房上安装彩灯，共安装彩灯888盏，已知从第二层开始，每一层都比下一层少安装6盏，那么最上面一层安装多少盏彩灯？

其他例题：
例5 一个五层书架共放555本书，上层书比相邻的下层少5本。问：最上层放几本书？

例6 幼儿园304个小朋友围成若干个圆（一圈套一圈）做游戏，已知最内圈24人，最外圈52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈相差多少人？