妙用点差法_教案.docx

妙用点差法
武汉市第六十八中学
谢雪梅
一、 教学目标
1、知识与技能目标：掌握解决圆锥曲线中点弦等问题的方法---点差法。
2、过程与方法目标：综合运用方程思想、数形结合、等价转换等方法解决问题，培养学生自主学习，综合分析能力。
3、情感态度与价值观：培养学生严谨的数学思维，提高学生知识迁移意识。
二、 重难点
1、重点：点差法的灵活运用。
2、难点：灵活使用点差法解决圆锥曲线中点弦等问题。
三、 教学过程
1、 提出问题
已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236+y29=1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
解法一（根与系数关系法）：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0 ．
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0 ．
所以x1＋x2 ＝ ＝8，解得k＝－．
所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0．
解法二（点差法）：
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0．
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，
即k＝－．所以直线l的方程为x＋2y－8＝0．
2、 小结点差法
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
3、 猜想并论证
定理1 在椭圆x2a2+y2b2=1 （ a＞ b＞0）中，若直线 与椭圆相交于M、N两点，点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为k ，则 k=-b2a2∙x0y0
证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有
，得

又

4、 类比
定理2 在椭圆y2a2+X2b2=1 （ a＞ b＞0）中，若直线 与椭圆相交于M、N两点，点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为k ，则 k=-a2b2∙x0y0
5、 练习1
若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程是________．
解析：设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并将x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入，得＝－，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
6、 练习2
已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选B　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1．
7、 猜想并论证
定理3 在双曲线  x2a2-y2b2=1 （ a＞0， b＞0）中，若直线 与双曲线相交于M、N两点，点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为k ，则 k=b2a2∙x0y0
证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有
，得

又

8、 类比
定理4 在双曲线y2a2-x2b2=1 （ a＞0， b＞0）中，若直线 与双曲线相交于M、N两点，点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为k ，则 k=a2b2∙x0y0
9、 练习3
已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．
解：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2．
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①
∵y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3．
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0．
10、 猜想并论证
定理5 在抛物线y2=2mx（m≠0 ）中，若直线 与抛物线相交于M、N两点，点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为k ，则 k=my0
注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在
证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有
，得

又.
.
.
11、 类比
定理6 在抛物线x2=2my（m≠0 ）中，若直线 与抛物线相交于M、N两点，点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为k ，则 k=x0m
注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.
12、 练习4
直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(　　)
A．2或－2 B．1或－1
C．2 D．3
解析：选C　由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0．又由Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，得k>－1．则由＝4，得k＝2．故选C．
想一想：还有更简单的方法吗？
13、 练习5
(全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选D　因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，
所以直线AB的方程为y＝(x－3)，
代入椭圆方程＋＝1消去y，
得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，
又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3．
所以E的方程为＋＝1．
解析（点差法公式）：
kAB=-1-01-3=12
又kAB=-b2a2×1-1=b2a2=12
∴选D
四、 总结
解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，而其中的计算往往非常困难。解题过程中，常设一些量而并不解出这些量，利用这些量架起连接已知量和未知量的桥梁从而问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。“点差法”是一种常见的设而不求的方法，是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子，再结合有关条件来求解，这就可以降低解题的运算量，优化解题过程。
点差法常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题。
五、 作业
1、设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，
∴b＝4．又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1．
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，∴AB的中点坐标 x0＝＝，y0＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为．
思路2：用点差法公式过程更简洁
2、过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，所以＝，即e＝．
答案：
六、 教学反思
对于本校艺术平行班的学生来说，用根与系数的方式解决直线与圆锥曲线的中点弦等问题时计算太过繁复，得分很低，为他们提供简单易操作的方式是为人师表的义务，培养他们自主、探究、合作，教师从主角转化为在一旁默默引导的配角的教学新模式是我不断摸索的前进方向。