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初中代数主要知识点总结

一、有理数
1、有理数：①整数→正整数/0/负整数
②分数→正分数/负分数
2、数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3、相反数：①如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。例：2和－2互为相反数。
②数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。
4、绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是他的相反数/0的绝对值是0。
③两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
5、有理数的运算：加法①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。例：（+2）+（+8）=+10；（－2）+（－8）=－10
②异号相加，绝对值相等时和为0。例：5+（－5）=0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例：（+2）+（－5）=－3； （－5）+（+2）=－3
③一个数与0相加不变。 例：0+（－7）=－7
减法： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。例：（+2）×（+8）=16；（－2）×（－8）=16；（+2）×（－8）=－16；（－2）×（+8）=－16
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数（0不能作除数）。
例：3÷（－2）=3×（－1/2）=－3/2
乘方：①n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫做指数。乘方的结果叫做幂。
②二次方（或a的二次幂）也可以读作a的平方；a的三次方（或a的三次幂）也可以读作a的立方。
③正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
混合顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
二、 实数
1、 无理数：无限不循环小数叫无理数
2、 算术平方根：①如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
②如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。
③一个正数有两个平方根；0的平方根为0；负数没有平方根，负数没有算术平方根。
④求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。
3、立方根：①如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。
②正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
③求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。
4、实数：①实数分有理数和无理数。
② 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。
③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。

三、 整式
1、单项式①数字与字母的乘积叫单项式
②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。数字因数为单项式的系数。
2、多项式①几个单项式的和叫多项式
②一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。
3、合并同类项
①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。
②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。
③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
4、整式：单项式和多项式统称整式。
5、整式运算：①加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。
②整式的乘法：⑴单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。
⑵单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
⑶多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 
（4）乘法公式
平方差公式: 　两数和乘两数差，等于两数平方差。
积化和差变两项，完全平方不是它。
完全平方公式：二数和或差平方，展开式它共三项，
首平方又末平方，二倍首末在中央。
和的平方加再加，先减后加差平方。
③整式的除法：⑴单项式与单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。
⑵单项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 
④分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
方法：提公因式法/运用公式法。
分式
1、 分式①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。
② 分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。
2、分式的运算——乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。
加减法：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。
3、分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程。②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。
五、方程与不等式
1、一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。
③解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
2、二元一次方程①含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
②适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
③二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 
④二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
⑤解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
3、不等式与不等式组
不等式：①用符号 ＞，﹤，≠，≤，≥连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
④不等式组解集胡确定方法：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找。
六、函数
变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。
一次函数：①若两个变量X，Y间的关系式可以表示成Y=KX+B（B为常数，K不等于0）的形式，则称Y是X的一次函数。②当B=0时，称Y是X的正比例函数。
一次函数的图象：①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经234象限；当K〈0，B〉0时，则经124象限；当K〉0，B〈0时，则经134象限；当K〉0，B〉0时，则经123象限。④当K〉0时，Y的值随X值的增大而增大，当X〈0时，Y的值随X值的增大而减少。
二次函数
 1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.
2.二次函数的性质
（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.
（2）函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.
3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.
4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能万无一失.
9.抛物线中，的作用
（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.
（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线
，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.
（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标

当时
开口向上
当时
开口向下
（轴）
（0,0）

（轴）
(0, )

(,0)

(,)

()
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，常选择一般式.
（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
12.直线与抛物线的交点
（1）轴与抛物线得交点为(0, ).
（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
（3）抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点抛物线与轴相交；
②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；
③没有交点抛物线与轴相离.
（4）平行于轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.
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