浅谈解三角形在高考中对关键能力的考查.pdf

GUANGDONG JIAOYU GAO ZHONG浅谈解三角形在高考中对关键能力的考查广东省佛山市顺德区龙江中学曾光2023年高考刚刚落下惟幕，让我们一起来研究高考试题的特点2 0 2 3年的高考题都体现考查核心素养，题目比较灵活要想考出好成绩，应避免过多机械刷题，而应当重视知识关键能力的培养以解三角形这个知识点来说，各地考卷都出现了一个涉及这个知识的题，从题目包含的内容来看，可以分为以下四种类型：1 考查正、余弦定理的运用；2.结合三角形的面积考查；3结合角平分线或中线考查；4.通过解方程组考查下面我们逐一去探究，帮助大家发现当中的规律.【题型一】考查正、余弦定理的运用【2 0 2 3年全国乙卷文科数学4】在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c，若acos B-bcos A=c，且 C=号,5，则ZB=(3TA.10【分析】首先利用正弦定理对“acosB-bcosA=c”进行“边化角”处理，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A的值，最后利用三角形内角和定理可得乙B的值.【详解】：acosBb c o s A=c，由正弦定理可得2 RsinAcosB-2RsinBcosA=2RsinC，两边同时除以2 R得：sinAcosB-sinBcos A=sin C,即 sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)=sinAcos B+sin Bcos A，整理可得sin Bcos A=O，由于BE（O,)。，i 0,据此可得 cos=0,=号，则B=-A-C=T-25510【点评】1 像本题中出现的条件acosB-bcosA=c，即三角形的边和三角函数结合在一起的等式，往往通过正弦定理absin Asin B-ssin C边化角熟悉了之后，可以省略除以2 R这个步骤，直接写出边化角的结果.2.通过边化角处理后，得到sin AcosB-sinBcos A=sinC，这个式子涉及三个角A，B，C，这时要运用“降维”思想，把三个角转化为两个角，“多”变“少”，即 sinC=sin(A+B).3.本题涉及的LA=号为特殊角，运算量不大2【2 0 2 3年北京卷数学7】在ABC中，（a+c）（s i n A s i nC)=b(sin A-sin B),则ZC=(A.B.C.63【分析】本题的条件与上一题类似，皆为三角形的边和三角函数结合在一起的等式，因此我们可以通过正弦定理进行边角互化，问题即可迎刃而解.【详解)：（a+c)（s i n A-s i n C）=b(s i n A-s i n B)，由正弦定理可得（a+c)（a-c）=b(-b)，化简得+b-c=ab，两边同时除以 2 ab得：“+-2 月六，由余弦定理可知LC=-.故选B.cosC:2【点评】1 本题跟上题的解题思想入手是一样的，通过正弦定理进行边角互化这个非常重要，很常用.2B.5故选：C.C=2R进行边角互化，要么角化边，要么232ab3C.105D.6D.52本题经过角化边处理后得到+b-c=ab，左边为三角形三边的平方关系，这时候应联想到余弦定理.3.要热态余独定理公式，如 cos C_+一2,2ab提高解题速度【2 0 2 3年天津卷数学1 6】在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c 已知a=V39，b=2，LA=1 2 0（1）求sinB值；（2)求c的值；（3)求sin(B-C).【分析】（1)已知条件是三角形的对边与对角，因此运用正弦定理即可解出；（2）根据已知条件运用余弦定理能最快解出；（3）由正弦定理求出sin C，也可以由诱导公式求出sin C，再由平方关系求出cosB，c o s C，即可由两角差的正弦公式求出.【详解】(1)由正弦定理，可得2sinB解得:sin B=YE13;(2)由余弦定理，可得=b+c-2bccosA，即39=4+2-2 2 e(-)/39（3）方法一：由正弦定理可得，一sin Asin C，这样能a6sin Asin B即sin120一，解得：C=5或c=-7(舍去).a即sin 12039C广东教育高中2 0 2 3年第8 期33应考方略数学有数5解得：sin Csin C锐角，因此cos C：2V39故 sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C132V39x5/131326方法二：因为A=120，所以B，C 都为锐角因为sinBV1313，所以 cos B=sin Acos B+sin Bcos A:故 sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C:2/39x5/131326【点评】1 本题根据已知条件与结论的关系合适地选择正弦定理和余弦定理，一般来说，涉及两边和两对角的情况选用正弦定理，涉及两边和夹角的情况选用余弦定理，涉及三边关系也选用余弦定理。2第3问的两种方法都能较好地解决问题，需要注意地5V13而A=120，所以B，C都为26253V39cos1B52262612/391313,sin C=sin(A+B)=2V391313X21326的基础上，加上考查三角形的面积公式，即S=2111acsin B:22132.本题第2 问进行边化角后，又出现涉及三个角A，B，V133/3913261）5V132263/391326bcsin A=absin C.C的问题，这时就跟前面的题一样要运用“降维”思想，把三个角转化为两个角，“多”变“少”，3.涉及三边的平方关系一般用余弦定理求解。【题型三】结合角平分线或中线考查【2 0 2 3年全国甲卷理科数学1 6】在ABC中，乙BAC=60，A B=2，BC=6，ZBA C的角平分线交BC于D，则AD【分析】方法一：根据已知ABC的三个条件，利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出角B，C，最后根据三角形的特征求出.方法二：根据已知ABC的三个条件，利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；方法三：根据已知ABC的三个条件，利用余弦定理求出 AC，再利用角平分线的性质笔-BD求出BD，最后用余ACCD，弦定理求出 AD.【详解】如图所示：记AB=A是，如果遇到钝角，则要注意其余弦函数的符号.【题型二】结合三角形的面积考查【2 0 2 3年全国甲卷文科数学1 7】记ABC的内角A，B，Cb+c-a的对边分别为，b，c，已知=2.cosA(1)求 be;(2)若acosB-beos4 _ b=1,求ABC 面积.acosB+bcosAC【分析】（1）根据已知条件的特点是涉及三边的平方关系，用余弦定理即可解出；(2)由（1)可知，只需求出sin A即可得到三角形面积而对于已知条件，先利用正弦定理进行边化角，然后把三个角化为两个角，化简即可解出.【详解】（1）由余弦定理知=b+c2 b c c o s A，所以b?+c-a_2bccos A=2bc=2,解得：bc=1.cos Acos A（2）由正弦定理可得sin Acos B-sin Bcos Asin Bsin Acos B+sin Bcos Asin Csin(A-B)-sin B=1，变形可得：sin(A-B)-sin(A+B)=sin(A+B)sin B,即-2 cos Asin B=sin B,而Osin B1,所以 cos A=1又OA0,解得：b=1+/3，由正弦定理BV6b可得，sin 606+解得：sin B：sin C4大边对大角可知C=45，B=1 8 0 6 0 45=7 5，又ZBAD=30，所以ZADB=75，即AD=AB=2.方法二（巧解）：由余弦定理可得，2+6-22bcos60=6，因为b0，解得：b=1+/3，由SABc=SAAnp+1SAAcD可得，,26 sin 60=acos B-bcos A6acos B+bcos ACsin(A-B)sin Bsin(A+B)-sin(A+B)故ABC的面积为2，bcsinAX1224D2sin BsinC212AD sin 30+2V3b2/5(1+/)=2.ADbsin 30,解得：AD1+62方法三：由余弦定理可得，2+6-22bcos60=6，因为b0，解得：b=1+3，因为AD为角平分线，所以AB_BD又BD+CD=/6，解得BD=V6-/2，由余弦定理ACCD得：BD=AB+AD-2ABADcos30，解得AD=2.故答案为：2.【点评】1 本题作为填空题压轴，有三种方法可以选择，考生相对容易得分.2解法二利用三角形的面积关系解决角平分线问题，运因为1+/3/6 /2，由123+/334广东教育高中2 0 2 3年第8 期【详解】(1)：A+B=3C,:-C=3C,即C=GUANGDONG JIAOYU GAO ZHONG算量最小，最为简便.3方法三利用了角平分线的性质，要注意归纳.【2 0 2 3年全国乙卷理科数学1 8】在ABC中，已知乙BAC=120,AB=2,AC=1.(1)求 sinZABC；（2)若D为BC上一点，且BAD=90，求ADC的面积.【分析】（1）因为已知条件是两边长和夹角，所以利用余弦定理可以求得第三边长BC的值为BC=/，然后再由余弦定理可得 cos B=57.最后由同角三角函数基本关系可得sin14，B=V2I.14;(2)方法一：先由三角函数关系求出AD长度，据此即可求得ADC的面积方法二：与上题解法二类似利用面积关系，由通意可SAD=4,则 SACD=1A D C的面积.【详解】(1)由余弦定理可得：BC=b+c-2bccosA=4+1-221cos 120=7,则BC=/7，c o s B=a2+c-b2_ 7+4-1 _5_25-22x/-4,sin=/-0B=/2.acV2114(2)方法一：在ABD中，sin B=V142/3SsACD1得tan B=.9,AD=AB.tanB=30=10方法二（巧解）：由三角形面积公式可得1 AB AD sin 9021ACADsin302122 1 sin 120)【点评】1 本题主要考查余弦定理的运用，如果已知条件是三角形两边和夹角，则运用余弦定理.2本题的方法二与上题类似，通过面积关系求解，运算量小，较简便.【2 0 2 3年新课标全国I卷数学1 7】已知在ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.(1)求sinA；（2)设AB=5，求AB边上的高.【分析】（1)由条件A+B=3C可求出C，然后根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可求得sinA；(2)利用诱导公式及两角和的正弦公式求sinB，再由正弦定理求出b，最后由三角函数关系即可求解.又2 sin(A-C)=sin B=sin(A+C),:.2sin Acos C-2cosAsin C=sin Acos C+cos Asin C,:sin Acos C=3cos Asin C,:sin A=3cos A,33/10即 tan A=3,所以 0 A号,.:.sin A=2，V1101(2)由(1)知,cos A=10，3V10=sin Acos C+cos Asin C=2525C6理，sin Csin B=宁SAMc，据此即可求得3/10=bsin A=2/10 x=6.10【点评】1.本题解题的钥匙是通过A+B=3C求出CT42第2 问主要还是需要熟练运用正弦定理解题.28【备考建议】1在高考改革命题特点中，重视对“一核四层四翼”的考查，尤其是关键能力因此，我们在备考过程中，要避免/21则cos B=57.14，求AC ADsin52=4,则 S ACD1SAABC5/310由 sin B=sin(A+C)2/5由正弦定10105可得6=2V10，在ACD 中,CD2过多地机械刷题，而是要理解必备知识，掌握关键能力，重视知识的生成过程。2在高考中对解三角形的考查，基本上为以上4个题目类型：（1)考查正、余弦定理的运用；（2)结合三角形的面积考查；（3）结合角平分线或中线考查；（4）通过解方程组考查。SABDSACD二1X553如果已知条件是三角形的边和三角函数结合在一起的等式，往往通过正弦定理进行边角互化。4.如果等式涉及三个角A，B，C，这时要考虑运用“降维”思想，把三个角转化为两个角，“多”变“少”，如sinC=sin(A+B).5如果等式涉及三角形三边的平方关系，应联想到运用余弦定理求解.6根据已知条件与结论的关系合适地选择正弦定理和余弦定理，一般来说，涉及两边和两对角的情况选用正弦定理，涉及两边和夹角的情况选用余弦定理，涉及三边关系也选用余弦定理。7如果涉及考查三角形的面积，则应熟悉面积公式S=1bcsin-acsin B=228三角形面积与中线的关系，中线把三角形一分为二，分成两个面积相等的小三角形.责任编辑徐国坚absin C.2广东教育高中2 0 2 3年第8 期35