2015河南省中考数学试卷及答案(word版).docx

注意事项：
1．本试卷共 8 页，三个大题，满分 120 分，考试时间 100 分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答
在试卷上．
2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．
一
二
三
题号
分数
总分
【
】
（C）π
（D）－8
【
】
3．据统计，2014 年我国高新技术产品出口总额达 40 570 亿元．将数据40 570 亿用科学记数法表示为
【
】
（A）4.0570×l09
数为【
（C）700
5．不等式组í
【
】
6．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为 85 分，80 分，90 分，若依次
按照 2∶3∶5 的比例确定成绩，则小王的成绩是
（A）255 分 （B）184 分
7．如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E．若 BF＝6，AB＝5，则
【
】
【
】
（B）6
（C）8
（D）10
8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1 个单位长度的半圆 O ，O ，O ，…组成一条平滑的
π
1
2
3
曲线．点 P 从原点 D 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第2015 秒时，点 P 的坐
2

【
】
（B）（2015,－1）
（C）（2015,1）
（D）（2016,0）
.
10．如图，△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，BC 上，DE∥AC．若 BD＝4，DA＝2，BE＝3，则 EC
＝
.
2
y =
11．如图，直线 y
与双曲线
（x＞0）交于点 A（1，a，）则 k＝
.
x
12．已知点 A（4，y ），B（
y
C
y
y
1
2
3
1
y ，y ，的大小关系是
.
2
3
13．现有四张分别标有数字 1，2，2，3 的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从
中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率
是
.
⌒
AB
.
15．如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE＝3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合
.
a
2
2
5
16．（8 分）先化简，再求值：
＋1，b＝
17．（9 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆上不与点 A，B 重合的一个动点，延长 BP 到点 C，
使 PC＝PB，D 是 AC 的中点，连接 PD，PO．
（1）求证：△CDP≌△POB;

①若 AB＝4，则四边形 AOPD 的最大面积为_________________;
②连接 OD，当∠PBA 的度数为________时，四边形 BPDO 是菱形．
18．（9 分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果
绘制了如下尚不完整的统计图．
根据以上信息解答下列问题：
（4）若该市约有 80 万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总
人数．
．
m
（1）求证：对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是 1，求 m 的值及方程的另一个根．
20．（9 分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大
树顶端 B 的仰角是 30°，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在 A 处测得大树顶端 B 的仰角是 48° ．若
坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°
≈1.11， 3 ≈1.73）
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳x 次时，所需总费用为 y 元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与 x 之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A，B，C 的坐标；

（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
22．（10 分）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，
连接 DE．将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α
（1）问题发现
=
；②当α＝180°时，
.
=
BD
（2）拓展探究
的大小有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长．
23．（11 分）如图，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A，
点 P 是抛物线上点 A，C 间的一个动点（含端点），过点 P 作 PF⊥BC 于点 F，点 D，E 的坐标分别为（0，
6），（ －4，0），连接 PD，PE，DE．
（2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点 A 或点 C 重合时，PD 与 PF 的差为定值．进而猜想：对
于任意一点 P，PD 与 PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△ PDE 的面积为整数”的点 P 记作“好点”，则存在多个“好
点”，且使△ PDE 的周长最小的点 P 也是一个“好点”．

2015 年河南省普通高中招生考试
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1．如果考生的解答与本参考答案提供的解法不同，可根据提供的解法的评分标准精神进行评分．
2．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的
解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定对后面给分的多少，
但原则上不超过后继部分应得分数之半．
3．评分标准中，如无特殊说明，均为累计给分．
4．评分过程中，只给整数分数．
一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D A C D C B
二、填空题（每小题 3 分，共 21 分）
15
4 3
5
8
3 π
+
5
或 4
答案
2 y ＞y ＞y
16
3 2
3
1
2
2 12
三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）
(a - b)2 a - b
¸
16．原式＝
……………………………4 分
2(a - b) ab
a - b ab
•
＝
＝
………………………………6 分
2
a - b
ab
. ………………………………6 分
2
( 5 +1)( 5 -1) 5-1
5 +1,b＝ 5 -1时，原式＝
=
= 2
………………8 分
当 a＝
2
2
17．（1）∵D 是 AC 的中点，且 PC＝PB,
1
∴DP//AB,DP＝ AB．∴∠CPD＝∠PBO． ……………3 分
2
1
∵ OB＝ AB，∴DP＝OB.∴△DPU @ ）△POB.…………………5 分
2
（2）①4:；…………………………………．7 分
②60 ．（注：若填为 60，不扣分）……………………9 分
。
18．（1）1000；…………………2 分
（2）54 ：（注：若填为 54，不扣分）…………………．4 分
。
（3）（按人数为 100 正确补全条形图）；………………6 分
（4）80×（26%＋40%）＝80×66%＝52.8（万人）．
所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻最主要途径”的总人数约为
人.…………………9 分
52．8 万
19．（1）原方程可化为 x －5x＋6－ ＝0．…………………．1 分
m
2

∴Δ＝（－5） －4×l×（6－ m ）＝25－24＋4 m ＝1＋4 m ．………………．3 分
2
∵ m ≥0，∴1＋4 m ＞o．
∴对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根．……………4 分
（2）把 x＝l 代入原方程，得 ＝2．∴m＝±2．………………6 分
m
把
＝2 代入原方程，得 x －5x＋4＝0.∴x ＝1，x ＝4．
2
m
1
2
∴m 的值为±2，方程的另一个根是 4．………9 分
20．延长 BD 交 AE 于点 G，过点 D 作 DH⊥AE 于点 H．
由题意知：∠DAE＝∠BGA＝30°,DA＝6，∴GD＝DA＝6．
3
＝3 3
.∴GA＝6
3
.…………………2 分
∴GH＝AH＝DA·cos30°＝6×
2
BC
x
3x
……4 分
设 BC 的长为 x 米，左 Rt△GBC 中，GC＝
＝
＝
tan∠BAC tan 30°
BC
x
在 Rt△ABC 中，AC＝
∵GC－AC＝GA，∴
＝
………6 分
tan∠AC tan 48°
x
3
3
………8 分
x－
＝6
tan 48°
∴x≈13．即大树的高度约为 13 米．………………9 分
21．（1）银卡：y＝10x＋150；………1 分
普通票：y＝20x．…………2 分
（2）把 x＝0 代入 y＝l0x＋150，得 y＝150．∴A(0,150).………3 分
ì =
20x
ìx = 15
y
由题意知 í
∴ í
∴B(15,300)………4 分
îy = 10x +150 îy = 300
把 y＝600 代入 y＝l0x＋150,得 x＝45．∴C（45,600）．………………5 分
（3）当 0<x<15 时，选择购买普通票更合算；（注：若写为 0≤x<15，不扣分）
当 x＝15 时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；
当 15<x<45 时，选择购买银卡更合算；
当 x＝45 时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；
当 x＞45 时，选择购买金卡更合算．……………10 分
5
22．(1)①
;………………1 分
2
5
②
.……2 分
2
（2）无变化．（注：若无判断，但后续证明正确，不扣分）…………………．3 分
CE CD
=
CA CB
在图 1 中,∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE//AB．∴
,∠EDC＝∠B＝90°．
CE CD
=
CA CB
如图 2，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，∴
又∵∠ACE＝∠BCD＝α，
仍然成立．…………………………4 分

AE AC
=
BD BC
∴△ACE∽△BCD．∴
.……………6 分
+ BC = 4 +8 = 4 5
.
在 Rt△ABC 中，AC＝ AB
2
2
2
2
AC 4 5
5
AE
5
=
=
.∴
=
.
……………………………………8 分
∴
BC
8
2
BD 2
12 5
5
5或
(3)4
……………………………………10 分
【提示】当△EDC 在 BC 上方，且 A,D,E 三点共线时，四边形 ABCD 为矩形，∴BD＝AC＝4 5
;当
△EDC 在 BC 下方，且 A，E，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，由勾股定理可求得 AD＝8，∴AE
AE
BD
5
12 5
5
=
.
可求得 BD＝
＝6，根据
2
1
23．（1）抛物线解析式为 y＝－ x ＋8．…………………………………… 3 分
2
8
（2）正确，理由：
1
1
1
设 P(x, － x ＋8），则 PF＝8－(－ x ＋8)＝ x ．………………………4 分
2
2
2
8
8
8
过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M,则
1
1
1
1
+ x + 4 = ( x + 2)
PD ＝PM ＋DM ＝（－x ）＋[6－(－
x2
＋8)] ＝ x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
64
2
8
1
+ 2
∴PD＝ x
2
……………………………………6 分
8
1
1
+ 2 - x
∴PD－PF＝ x
2
2 ＝2 ∴猜想正确， ……………………7 分
8
8
（3）“好点”共有 11 个； ………………………9 分
在点 P 运动时，DE 大小不变，∴PE 与 PD 的和最小时，△PDE 的周长最小．
∴PD－PF＝2，∴PD＝PF＋2．∴PE＋PD＝PE＋PF＋2．．
当 P，E，F 三点共线时，PE＋PF 最小．
此时点 P，E 的横坐标都为－4．
1
将 x＝－4 代入 y＝ x
2
+ 8，得 y＝6．
8
∴P（－4，6），此时△PDE 的周长最小，且△PDE 的面积为 12，点 P 恰为“好点”，
∴△PDE 的周长最小时“好点”的坐标为（－4，6）．………………………11 分
1
1
- x - 3x + 4 = - (x + 6) +13
.由－8≤x≤0，知 4≤S≤13，
【提示】△PDE 的面积 S＝
2
2
4
4
所以 S 的整数值有 10 个，由函数图象知，当 S＝12 时，对应的“好点”有 2 个．所以“好点”共有
11 个．

∴Δ＝（－5） －4×l×（6－ m ）＝25－24＋4 m ＝1＋4 m ．………………．3 分
2
∵ m ≥0，∴1＋4 m ＞o．
∴对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根．……………4 分
（2）把 x＝l 代入原方程，得 ＝2．∴m＝±2．………………6 分
m
把
＝2 代入原方程，得 x －5x＋4＝0.∴x ＝1，x ＝4．
2
m
1
2
∴m 的值为±2，方程的另一个根是 4．………9 分
20．延长 BD 交 AE 于点 G，过点 D 作 DH⊥AE 于点 H．
由题意知：∠DAE＝∠BGA＝30°,DA＝6，∴GD＝DA＝6．
3
＝3 3
.∴GA＝6
3
.…………………2 分
∴GH＝AH＝DA·cos30°＝6×
2
BC
x
3x
……4 分
设 BC 的长为 x 米，左 Rt△GBC 中，GC＝
＝
＝
tan∠BAC tan 30°
BC
x
在 Rt△ABC 中，AC＝
∵GC－AC＝GA，∴
＝
………6 分
tan∠AC tan 48°
x
3
3
………8 分
x－
＝6
tan 48°
∴x≈13．即大树的高度约为 13 米．………………9 分
21．（1）银卡：y＝10x＋150；………1 分
普通票：y＝20x．…………2 分
（2）把 x＝0 代入 y＝l0x＋150，得 y＝150．∴A(0,150).………3 分
ì =
20x
ìx = 15
y
由题意知 í
∴ í
∴B(15,300)………4 分
îy = 10x +150 îy = 300
把 y＝600 代入 y＝l0x＋150,得 x＝45．∴C（45,600）．………………5 分
（3）当 0<x<15 时，选择购买普通票更合算；（注：若写为 0≤x<15，不扣分）
当 x＝15 时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；
当 15<x<45 时，选择购买银卡更合算；
当 x＝45 时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；
当 x＞45 时，选择购买金卡更合算．……………10 分
5
22．(1)①
;………………1 分
2
5
②
.……2 分
2
（2）无变化．（注：若无判断，但后续证明正确，不扣分）…………………．3 分
CE CD
=
CA CB
在图 1 中,∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE//AB．∴
,∠EDC＝∠B＝90°．
CE CD
=
CA CB
如图 2，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，∴
又∵∠ACE＝∠BCD＝α，
仍然成立．…………………………4 分

AE AC
=
BD BC
∴△ACE∽△BCD．∴
.……………6 分
+ BC = 4 +8 = 4 5
.
在 Rt△ABC 中，AC＝ AB
2
2
2
2
AC 4 5
5
AE
5
=
=
.∴
=
.
……………………………………8 分
∴
BC
8
2
BD 2
12 5
5
5或
(3)4
……………………………………10 分
【提示】当△EDC 在 BC 上方，且 A,D,E 三点共线时，四边形 ABCD 为矩形，∴BD＝AC＝4 5
;当
△EDC 在 BC 下方，且 A，E，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形，由勾股定理可求得 AD＝8，∴AE
AE
BD
5
12 5
5
=
.
可求得 BD＝
＝6，根据
2
1
23．（1）抛物线解析式为 y＝－ x ＋8．…………………………………… 3 分
2
8
（2）正确，理由：
1
1
1
设 P(x, － x ＋8），则 PF＝8－(－ x ＋8)＝ x ．………………………4 分
2
2
2
8
8
8
过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M,则
1
1
1
1
+ x + 4 = ( x + 2)
PD ＝PM ＋DM ＝（－x ）＋[6－(－
x2
＋8)] ＝ x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
64
2
8
1
+ 2
∴PD＝ x
2
……………………………………6 分
8
1
1
+ 2 - x
∴PD－PF＝ x
2
2 ＝2 ∴猜想正确， ……………………7 分
8
8
（3）“好点”共有 11 个； ………………………9 分
在点 P 运动时，DE 大小不变，∴PE 与 PD 的和最小时，△PDE 的周长最小．
∴PD－PF＝2，∴PD＝PF＋2．∴PE＋PD＝PE＋PF＋2．．
当 P，E，F 三点共线时，PE＋PF 最小．
此时点 P，E 的横坐标都为－4．
1
将 x＝－4 代入 y＝ x
2
+ 8，得 y＝6．
8
∴P（－4，6），此时△PDE 的周长最小，且△PDE 的面积为 12，点 P 恰为“好点”，
∴△PDE 的周长最小时“好点”的坐标为（－4，6）．………………………11 分
1
1
- x - 3x + 4 = - (x + 6) +13
.由－8≤x≤0，知 4≤S≤13，
【提示】△PDE 的面积 S＝
2
2
4
4
所以 S 的整数值有 10 个，由函数图象知，当 S＝12 时，对应的“好点”有 2 个．所以“好点”共有
11 个．