南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学及答案.doc

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试
数 学 2018.03
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝ xi；
锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．函数f (x)＝lg(2－x)的定义域为．
2．已知复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则复数z的模为 ▲ ．
3．执行如图所示的算法流程图，则输出a的值为 ▲ ．
4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为．
N
开始
i←0 ，a←6
i < 3
Y
输出a
i← i＋1
结束
a←
(第3题)

(第4题)
7
9

8
3
5
7
9
1

5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ ．
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn．若S15＝30，a7＝1，则S9的值为．

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若bsinAsinB＋acos2B＝2c，则的值为．
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：x2－＝1 (b＞0) 的两条渐近线与圆O：的四个交点依次为A，B，C，D．若矩形ABCD的面积为b，则b的值为 ▲ ．
9．在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为的正四棱锥S-EFGH（如图2），则正四棱锥S－EFGH的体积为．
A
D
B
C
E
F
G
H
(图1)
S
E
F
G
H
(图2)
(第9题)

10．已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f (x)＝x2＋x．若f (a)＋f (－a)＜4，则实数a的取值范围为．
11．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝(m＞0)在x＝1处的切线为l，则点(2，－1) 到直线l的距离的最大值为．
(第12题)
B
E
A
C
D
F
12．如图，在△ABC中，边BC的四等分点依次为D，E，F．若·＝2，·＝5，则AE的长为．

13．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上两个动点，且AB＝2．若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得＋＝，则实数a的值为．
14．已知函数f(x)＝t∈R．若函数g (x)＝f (f (x)－1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
y
x
2
1
-1
-2

O
（第15题）
已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜)的部分图象如图所示，直线x＝，x＝是其相邻的两条对称轴．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若f()＝－，且＜α＜，求cosα的值．

16.（本小题满分14分）
（第16题）
B
E
D
A
H
C
M
N
如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点．
（1）求证：MN∥平面BEC；
（2）求证：AH⊥CE．

17．(本小题满分14分)
调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距离d的关系，得到关系式m＝k×(k为常数)．如图，某投资者计划在与商场A相距10km的新区新建商场B，且商场B的面积与商场A的面积之比为λ (0＜λ＜1)．记“每年居民到商场A购物的次数”、“每年居民到商场B购物的次数”分别为m1、m2，称满足m1＜m2的区域叫做商场B相对于A的“更强吸引区域”．
（1）已知P与A相距15km，且∠PAB＝60o．当λ＝时，居住在P点处的居民是否在商场B相对于A的“更强吸引区域”内？请说明理由；
P
A
B
(第17题)
（2）若要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．

18．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，上顶点A到右焦点的距离为．过点D(0，m)(m≠0)作不垂直于x轴，y轴的直线l交椭圆E于P，Q两点，C为线段PQ的中点，且AC⊥OC．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求实数m的取值范围；
y
P
D
A
C
O
x
Q
B
(第18题)
（3）延长AC交椭圆E于点B，记△AOB与△AOC的面积分别为S1，S2，若＝，求直线l的方程．

19．(本小题满分16分)
已知函数f (x)＝x(ex－2)，g (x)＝x－lnx＋k，k∈R，e为自然对数的底．记函数F(x)＝f(x)＋g (x)．
（1）求函数y＝f (x)＋2x的极小值；
（2）若F(x)＞0的解集为(0，+∞)，求k的取值范围；
（3）记F(x)的极值点为m．求证：函数G(x)＝|F(x)|＋lnx在区间(0，m)上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)

20．(本小题满分16分)
对于数列{an}，定义bn(k)＝an＋an＋k，其中n，k∈N*．
（1）若bn(2)－bn(1)＝1，n∈N*，求bn(4)－bn(1)的值；
（2）若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有bn＋1(k)＝2bn(k)．
（i）求数列{an}的通项公式；
（ii）设k为给定的正整数，记集合A＝{bn(k)|n∈N*}，B＝{5bn(k＋2)|n∈N*}，
求证：A∩B＝Æ．

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试
数学附加题 2018.03
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC且交AC的延长线于点E，求证：DE是圆O的切线．

B．选修4—2：矩阵与变换
已知α＝为矩阵A＝属于实数λ的一个特征向量，求λ和A2．

C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(a＞0，θ为参数)，点P是圆C上的任意一点．若点P到直线l距离的最大值为3，求a的值．

D．选修4—5：不等式选讲
对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
甲，乙两人站在P点处分别向A，B，C三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A，B，C的概率分别都为，，．
（1）设X表示甲击中目标的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）求甲乙两人共击中目标数为2个的概率．

23．（本小题满分10分）
已知n∈N*，且n≥4，数列T：a1，a2，…，an中的每一项均在集合M＝{1，2，…，n }中，
且任意两项不相等．
（1）若n＝7，且a2＜a3＜a4＜a5＜a6，求数列T的个数；
（2）若数列T中存在唯一的ak（k∈N*，且k＜n），满足ak＞ak＋1，求所有符合条件的数列T的个数．

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试
数学参考答案
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．(－∞，2) 2． 3．3 4．16 5． 6．－9 7． 2 8．
9． 10．(－1，1) 11． 12． 13．2或-18 14．[－4，0)
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分14分)
解：（1）设f(x)的周期为T，则＝－＝，所以T＝π．
又T＝，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)． …………………………………3分
因为点(，2)在函数图象上，所以2sin(2×＋φ)＝2，即sin(＋φ)＝1．
因为－＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝2sin(2x＋)．…………………………………7分
（2）由f()＝－，得sin(α＋)＝－．
因为＜α＜，所以π＜α＋＜，
所以cos(α＋)＝－＝－． ………………………………10分
所以cosα＝cos[(α＋)－]＝cos(α＋)cos＋sin(α＋) sin
＝－×＋(－)×＝－． ………………………………14分

16．(本小题满分14分)
（1）解法一：
取CE中点F，连接FB，MF.
因为M为DE的中点，F为CE的中点，
所以MF∥CD 且MF＝CD． ……………………………………2分
又因为在矩形ABCD中，N为AB的中点，
所以BN∥CD 且BN＝CD，
所以MF∥BN 且MF＝BN，所以四边形BNMF为平行四边形，
所以MN∥BF． ……………………………………4分
又MNË平面BEC，BFÌ平面BEC，
所以MN∥平面BEC． ……………………………………6分
解法二：
取AE中点G，连接MG，GN.
因为G为AE的中点，M为DE的中点，所以MG∥AD．
又因为在矩形ABCD中，BC∥AD，所以MG∥BC．
又因为MGË平面BEC，BCÌ平面BEC，
所以MG∥平面BEC． ……………………………………2分
因为G为AE的中点，N为AB的中点，所以GN∥BE．
又因为GNË平面BEC，BEÌ平面BEC，所以GN∥平面BEC．
又因为MG∩GN＝G，MG，GNÌ平面GMN，
所以平面GMN∥平面BEC． ……………………………………4分
又因为MNÌ平面GMN，所以MN∥平面BEC． ……………………………………6分
（2）因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥AB．
因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，BCÌ平面ABCD，且BC⊥AB，
所以BC⊥平面ABE． ……………………………………8分
因为AHÌ平面ABE，所以BC⊥AH．
因为AB＝AE，H为BE的中点，所以BE⊥AH． ……………………………………10分
因为BC∩BE＝B，BCÌ平面BEC，BE Ì平面BEC，
所以AH⊥平面BEC． ……………………………………12分
又因为CEÌ平面BEC，所以AH⊥CE． ……………………………………14分
17．(本小题满分14分)
解：设商场A、B的面积分别为S1、S2，点P到A、B的距离分别为d1、d2，
则S2＝λS1，m1＝k，m2＝k，k为常数，k＞0．
（1）在△PAB中，AB＝10，PA＝15，∠PAB＝60o，
由余弦定理，得d22＝PB2＝AB2＋PA2－2AB·PAcos60°
＝102＋152－2×10×15×＝175． …………………………2分
又d12＝PA2＝225，
此时，m1－m2＝k－k＝k－k＝kS1(－)， …………………………4分
将λ＝，d12＝225，d22＝175代入，得m1－m2＝kS1(－)．
因为kS1＞0，所以m1＞m2，
即居住在P点处的居民不在商场B相对于A的“更强吸引区域”内． …………………6分
x
y
P
A（O）
B
(第17题)
（2）解法一：
以AB所在直线为x轴，A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(10，0)，设P(x，y)，
由m1＜m2得，k＜k，将S2＝λS1代入，得d22＜λd12．……8分
代入坐标，得(x－10)2＋y2＜λ(x2＋y2)，
化简得(1－λ) x2＋(1－λ) y2－20x＋100＜0． ……………………10分
因为0＜λ＜1，配方得 (x－)2＋y2＜()2，
所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是：圆心为C(，0)，半径为r1＝的圆的内部．
与商场B相距2 km以内的区域(含边界)是：圆心为B(10，0)，半径为r2＝2的圆的内部及圆周．
由题设，圆B内含于圆C，即BC＜| r1－r2|． …………………………12分
因为0＜λ＜1，所以－10＜－2，
整理得4λ－5＋1＜0，解得＜λ＜1．
所以，所求λ的取值范围是(，1)． …………………………14分
解法二：
要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”，
则当d2≤2时，不等式m1＜m2恒成立．
由m1＜m2，得k＜k＝k，化简得d12＞． …………………………8分
设∠PBA＝θ，
则d12＝PA2＝AB2＋PB2－2AB·PBcosθ＝100＋d22－20d2cosθ， …………………………10分
所以100＋d22－20d2cosθ＞，即＞cosθ．
上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有＞1， ………………………12分
即1－＞20·－100·()2＝－100(－)2＋1 (*)．
由于d2≤2，所以≥．
当＝时，不等式(*)右端的最大值为－15，
所以1－＞－15，解得λ＞．
又0＜λ＜1，
所以λ的取值范围是(，1)． ………………………14分
18．(本小题满分16分)
解：（1）因为 所以c＝1，b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1． …………………………2分
解法一：
（2）由（1）得A(0，1)．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，C(x0，y0)，其中x0，y0均不为0，且x1≠x2．
因为P，Q两点都在椭圆E上，所以x12＋2y12＝2 且x22＋2y22＝2，
两式相减得×＝－． …………………………4分
又＝ ，所以×＝－， …………………………6分
即x02＝2y0(m－y0)． ①
又AC⊥OC，所以×＝－1， …………………………8分
即x02＝y0(1－y0)． ②
由①②得y0＝2m－1，x02＝(1－2m) (2m－2)∈(0，2)，
所以＜m＜1． …………………………10分
（3）设B(x3，y3)，点B在椭圆E上，所以x32＋2y32＝2．
又AC⊥OC，所以×＝－1，即y3＝－x3＋1，
代入上式消去y3，得x3＝， …………………………12分
所以＝＝||＝| |．
由（2）知y0＝2m－1，x02＝(1－2m) (2m－2)，＜m＜1，
所以＝| |＝| |＝． …………………………14分
因为＝，所以＝，解得m＝，
此时y0＝2m－1＝，x02＝(1－2m) (2m－2)＝，所以x0＝±，
所以C点坐标为(±，)，D点坐标为(0，)，
所以直线l的方程为y＝±x＋． …………………………16分

解法二：
（2）由（1）得A(0，1)．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，C(x0，y0)．
设直线l方程为y＝kx＋m(k≠0)，
将其与椭圆E的方程联立，消去y得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0 (*)，
所以x1＋x2＝， …………………………4分
所以x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，即C(，)，
所以kAC＝＝＝． …………………………6分
又因为kOC＝＝＝－，且AC⊥OC，
所以kAC×kOC＝×(－)＝－1，
整理得m＝． …………………………8分
因为k≠0，则m＝＝＝1－＝1－∈(，1)，
此时△＝8(2k2＋1－m)＞0，
所以实数m的取值范围为(，1)． …………………………10分
（3）设B(x3，y3)，
kAB＝－＝2k，所以直线AB的方程为y＝2kx＋1，
与椭圆E方程联立解得x＝－或0（舍），即x3＝－． …………………12分
又因为x0＝＝×＝，
所以＝＝||＝． …………………………14分
因为＝，所以＝，解得k＝±，
此时m＝＝，D点坐标为(0，)，
所以直线l的方程为y＝±x＋． …………………………16分

19．(本小题满分16分)
（1）解：y＝f(x)＋2x＝xex，由y ′＝(1+ x)ex＝0，解得x＝－1.
列表如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
y′
－
0
＋
y
↘
极小值
↗
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值－ ． ………………………2分
（2）解：F(x)＝f(x)＋g(x)＝xex－x－lnx＋k，F ′(x)＝(x＋1)(ex－)，
设h(x)＝ex－(x＞0)，则h ′(x)＝ex＋＞0恒成立，
所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又h()＝－2＜0，h(1)＝e－1＞0，且h(x)的图像在(0，＋∞)上不间断，
因此h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x0∈(，1)，且e＝．……………………4分
当x∈(0，x0)时，h(x)＜0，即F ′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，h(x)＞0，即F ′(x)＞0，
所以F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
于是x＝x0时，函数F(x)取极(最)小值为F(x0)＝x0e－x0－lnx0＋k ……………………6分
＝1－x0－ln＋k＝1＋k．
因为F(x)＞0的解集为(0，＋∞)，
所以1＋k＞0，即k＞－1． ……………………8分
（3）证明：由（2）知m＝x0，
①当1＋k≥0，即k≥－1时，F(x)≥0恒成立，
于是G(x)＝F(x)＋lnx＝xe x－x＋k，G ′(x)＝(x＋1)ex－1．
因为x∈(0，m)，所以x＋1＞1，ex＞1，于是G ′(x)＞0恒成立，
所以函数G(x)在(0，m)上单调递增． ……………………10分
②当1＋k＜0，即k＜－1时，0＜ek＜＜x0＝m，
F(ek)＝ek( e－1)＞0，F(m)＝F(x0)＝1＋k＜0，
又F(x)在(0，m)上单调递减且图像不间断，
所以F(x)在(0，m)上存在唯一的零点x1． ……………………12分
当0＜x≤x1时，F(x)≥0，G(x)＝F(x)＋lnx＝xex－x＋k，G ′(x)＝(x＋1)ex－1，
因为0＜x≤x1，所以x＋1＞1，ex＞1，于是G ′(x)＞0恒成立，
所以函数G(x)在(0，x1]上单调递增； ① ……………………14分
当x1≤x＜m时，F(x)≤0，G(x)＝－F(x)＋lnx，G ′(x)＝－F ′(x)＋，
由（2）知，当x1≤x＜m时，F ′(x)＜0，于是G ′(x)＞0恒成立，
所以函数G(x)在[x1，m)上单调递增； ②
设任意s，t∈(0，m)，且s＜t，
若t≤x1，则由①知G(s)＜G(t),
若s＜x1＜t，则由①知G(s)＜G(x1)，由②知G(x1)＜G(t)，于是G(s)＜G(t),
若x1≤s，由②知G(s)＜G(t),
因此总有G(s)＜G(t),
所以G(x)在(0，m)上单调递增．
综上，函数G(x)在(0，m)上单调递增． ………………………16分

20．(本小题满分16分)
（1）解：因为bn(2)－bn(1)＝1，
所以(an＋an＋2)－(an＋an＋1)＝1，即an＋2－an＋1＝1，
因此数列{an＋1}是公差为1的等差数列，
所以bn(4)－bn(1)＝(an＋an＋4)－(an＋an＋1) ＝an＋4－an＋1＝3． ……………………2分
（2）（i）解：因为bn＋1(k)＝2bn(k)，所以an＋1＋an＋1＋k＝2(an＋an＋k)，
分别令k＝1及k＝2，得 ……………………4分
由①得an＋2＋an＋3＝2(an＋1＋an＋2)， ③ …………………………6分
③－②得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， ④ …………………………8分
①－④得2an＋1＝4an，即an＋1＝2an，
又a1＝2，所以an＝2n． …………………………10分
（ii）证明：假设集合A与集合B中含有相同的元素，不妨设bn(k)＝5bm(k＋2)，n，m∈N*，
即an＋an＋k＝5(am＋am＋k＋2)，
于是2n＋2n＋k＝5(2m＋2m＋k＋2)，
整理得2n－m＝. …………………………12分
因为＝5(4－)∈[15，20)，即2n－m∈[15，20)，
因为n，m∈N*，从而n－m＝4， …………………………14分
所以＝16，即4×2k＝11．
由于k为正整数，所以上式不成立，
因此集合A与集合B中不含有相同的元素，即A∩B＝Æ．…………………………16分
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准 2018.03
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明：连结OD，因为OD＝OA，所以∠OAD＝∠ODA．
因为AD平分∠BAE，所以∠OAD＝∠EAD， ………………3分
所以∠EAD＝∠ODA，所以OD∥AE. ………………5分
又因为AE⊥DE，所以DE⊥OD． ………………8分
又因为OD为半径，所以DE是圆O的切线． ………………10分
B．选修4—2：矩阵与变换
解：因为 ＝λ ，所以
解方程组得 …………………………5分
所以A＝ ，所以A2＝． …………………………10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，
所以直线l的普通方程为y＝x＋2． ……………………………3分
又因为圆C的参数方程为(a＞0，θ为参数)，
所以圆C的普通方程为x2＋y2＝a2． ……………………………6分
因为圆C的圆心到直线l的距离d＝1， ……………………………8分
所以1＋a＝3，解得a＝2． ……………………………10分

D．选修4—5：不等式选讲
解：方法一：
|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，
当且仅当x(x－1)≤0，即0≤x≤1时取等号． ……………………………4分
|y－1|＋|y＋1|≥|y－1－y－1|＝2，
当且仅当(y－1)(y＋1)≤0，即－1≤y≤1时取等号． ……………………………8分
所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3，
当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1时取等号，
所以|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3． …………………………10分
方法二：
因为f(x)＝|x－1|＋|x|＝
所以f(x)min＝1． …………………………4分
因为g(y)＝|y－1|＋|y＋1|＝
所以g(y)min＝2． …………………………8分
综上，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3． …………………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．（本小题满分10分）
解：（1）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P(X＝0)＝(1－)×(1－)×(1－)＝，
P(X＝1)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝，
P(X＝2)＝(1－)××＋×(1－)×＋××(1－)＝，
P(X＝3)＝××＝．
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P

X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． …………………………5分
（2）设Y表示乙击中目标的个数，
由（1）亦可知，P(Y＝0)＝，P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝．
则P(X＝0，Y＝2)＝×＝，
P(X＝1，Y＝1)＝×＝，
P(X＝2，Y＝0)＝×＝， …………………………8分
所以P(X＋Y＝2)＝P(X＝0，Y＝2)＋P(X＝1，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝．
所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为． …………………………10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）当n＝7时，M＝{1，2，…，7 }，
数列T的个数为C×A＝42． ………………………………2分
（2）当k＝1时，则a1＞a2，a2＜a3＜…＜an，
此时a2为1，a1共有n－1种选法，余下的n－2个数，按从小到大依次排列，共有1种，
因此k＝1时，符合条件的数列T共有n－1＝C－1个． ……………………………3分
当2≤k≤n－2时，则a1＜a2＜…＜ak，ak＞ak＋1，ak＋1＜ak＋2＜…＜an，
从集合M中任取k个数，按从小到大的顺序排列，
再将余下的n－k个数，按从小到大的顺序排列，
即得满足条件a1＜a2＜…＜ak，ak＋1＜ak＋2＜…＜an的数列的个数为CC，
这里包含了ak＜ak＋1即a1＜a2＜…＜ak＜ak＋1＜ak＋2＜…＜an的情形，
因此符合条件的数列T的个数为CC－1＝C－1． ………………………………7分
当k＝n－1时，则a1＜a2＜…＜an－1，an－1＞an
此时an－1为n，an共有n－1种选法，余下的n－2个数，按从小到大依次排列，共有1种，
因此k＝n－1时，符合条件的数列T共有n－1＝C－1个．…………………………8分
于是所有符合条件的数列T的个数为：
C－1＋C－1＋…＋C－1＝C＋C＋…＋C－n＋1
＝2n－C－C－n＋1
＝2n－n－1． ………………………………10分

高三数学试卷第 19 页 共 19 页