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2015-2016常熟市第一学期高二期中调研试卷
数学 2015.11.9
一、 填空题：
1. 点关于点的对称点的坐标为 .
2. 已知，，则 .
3. 已知过两点的直线斜率为1，则 .
4. 已知圆锥的底面半径为3，高是4，则圆锥侧面积等于 .
5. 经过点作圆的弦为，使得点平分弦，则弦所在的直线方程为 .
6. 设是互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题，其中真命题的序号是： .
①若则；②若，则；
③若则；④若则.
7. 点关于直线的对称点的坐标是 .
8. 如图为圆的直径，点在圆周上（异于两点），直线垂直于圆所在的平面，点为线段的中点，有以下四个命题，其中真命题的序号是 .
①平面；②平面；③平面；④
9. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为，则这个三棱柱的体积为 .
10. 如图，各条棱长均为2的正三棱柱中，为中点，则三棱锥的体积为 .
11. 设点，若圆上存在点，使，则实数的取值范围是 .
12. 若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得的弦长为2，则面积的最小值为 .
13. 设集合，当时，则实数的取值范围是 .
14. 已知点，当四边形的周长最小时，则的值为 .
二、 解答题：
15. 如图，在直三棱柱中，.
（1） 求证：平面平面；
（2） 求证：平面.
16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是棱的中点.
（1） 求证：；
（2） 若，求证：平面平面.
17. 矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上.（1）求AD边所在直线的方程；（2）若直线：平分矩形的面积，求出原点与距离的最小值.
18. 已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且圆与直线相切，设直线与圆相交于两点.
（1） 求圆的标准方程；
（2） 求实数的取值范围；
（3） 是否存在实数，使得先的垂直平分线过点？
19. 已知圆，圆关于直线对称的圆.
（1） 求圆的方程；
（2） 在直线上是否存在点，过点分别作圆，圆的两条切线分别为，有？若存在，求出点的坐标，若不存在说明理由；
20. 已知的三个顶点为，设其外接圆为圆.
（1） 若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
（2） 对于直线上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围.
参考答案
1、（3,4） 2、5 3、－4 4、15 5、
6、④ 7、（－2，－3） 8、②④ 9、54
10、
11、
12、3 13、［1－2，3］ 14、
15、（1）由AB＝AC，BD＝DC，可得AD⊥BC，
又直三棱柱中AD⊥CC1，
从而可证AD⊥平面BCC1B1
所以，平面平面；
（2）连结CA1，BA1，可证DF∥BA1，所以，有平面.
16、（I）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，
所以PE⊥AB，
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，
所以PE⊥平面ABCD，
因为AD⊂平面ABCD，
所以PE⊥AD．
（II）依题意，有CA=CB，点E是棱AB的中点，
所以CE⊥AB，
由（Ⅱ）可得PE⊥AB，
所以AB⊥平面PEC，
又因为AB⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PEC．
17、解：（1）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为-3，
又因为点T（-1，1）在直线AD上，
所以AD边所在的直线的方程为y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0。
（2）依题意，得： ，
原点与距离为＝，最小值为
18、解析：（1）设圆心为（）．
由于圆与直线相切，且半径为，所以，，
即．因为为整数，故．
故所求的圆的方程是．
（2）直线即．代入圆的方程，消去整理，得
．由于直线交圆于两点，
故，即，解得 ，或．
所以实数的取值范围是．
（3）设符合条件的实数存在，由（2）得，则直线的斜率为，
的方程为，即．
由于垂直平分弦，故圆心必在上．
所以，解得．由于，
所以存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.
19（1）
（2）存在，P（5，－7）
20、解：(1)线段AB的中垂线方程为x＝0，线段BC的中垂线方程为x＋y－3＝0.由此得外接圆的圆心H(0,3)．半径r＝.
故⊙H的方程为x2＋(y－3)2＝10.
设圆心H到直线l的距离为d，则d＝＝3.
当直线l垂直x轴时，其方程为x＝3，此时与⊙H的交点为(3,4)和(3,2)，得弦长为2，符合题意．
当直线不垂直x轴时，可设l的方程为y－2＝k(x－3)，由圆心H到直线的距离d、半径、半弦长构成直角三角形，得＝3.解得k＝.
此时直线l的方程为4x－3y－6＝0.
综上直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.
(2)直线BH的方程为3x＋y－3＝0.
设P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)，
∵点M是点P，N的中点，
∵M，N都在半径为r的⊙C上，
∵关于x，y的方程组有解，即以C(3,2)为圆心，r为半径的圆与以(6－m,4－n)为圆心，2r为半径的圆有公共点，
∴(2r－r)2≤(m－3)2＋(n－2)2≤(2r＋r)2.
又∵3m＋n－3＝0，
∴r2≤10m2－12m＋10≤9r2.
而f(m)＝10m2－12m＋10＝102＋在[0,1]上的值域为，故r2≤且9r2≥10.
又线段BH与圆C无公共点．
∴(m－3)2＋(3－3m－2)2>r2对任意m∈[0,1]恒成立，即r2<.
因此得⊙C的半径的取值范围是
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