上海10月高二月考错题整理---平面向量老师版.doc

高二年级10月月考错题整理
王涛老师 15800711683
【平面向量易错题】
易错点1：向量的有关概念理解不透

【易错点】对向量与有向线段、向量的模与夹角、平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量、单位向量、零向量等概念理解不透，做题考虑不全面，从而出错。
【学法指导】回顾课本或笔记，把这些概念进行细读，理解性记忆，然后自己做题检验一下。
1、下列命题正确的有___(2)(4)____.
（1）若，则所在的直线重合.
（2）若，则.
(3）若，则.
(4) ,则。
(5)若，则。
解析: （1）所在的直线重合或者平行，（5）时，不满足，零向量方向是任意的.

2、给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若，则；
③若，则四边形ABCD是平行四边形；
④平行四边形ABCD中，一定有；
⑤若，，则；
⑥若，则
正确的是____④⑤______
解析：①把一个向量平移后向量是不变的，③A,B,C,D有可能在一条直线上，⑥可能是零向量

3、判断下列各命题的真假：
（1）向量的长度与向量的长度相等；
（2）向量与向量平行，则与的方向一定相同或相反；
（3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同；
（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
（5）向量和向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为（　C　）
A、2个　　B、3个　　C、4个　　D、5个
解：假命题是（2）（4）（5）（6）;（2）向量与向量有一个为零向量，

4、已知，，是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（ B ）
① ； ② ；
③ ； ④ 。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
解 ① 可以推出，但只能推出，，的方向不一定相同，所以 ①中等价推出关系不成立。
②设，的夹角为，，的夹角为，，当，时，则；反之，由也推不出。所以②中等价推出关系不成立。
③当时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形为矩形，于是它的两条对角线长相等，即。反之，若，则以，为邻边的四边形为矩形，即。所以③中等价推出关系成立。
④设，的夹角为，，则或。所以④中等价推出关系成立。
故应选择B。

易错点2：向量的夹角不能正确找出

【易错点】没有理解向量夹角的概念，夹角指的是两个箭头所指的角，且向量夹角范围是。
【学法指导】回归课本，重视概念的学习，将这类错题整理出来，搞懂后还要经常复习。
1．在中,,则的值为 ( )
A 20 B C D
错误认为,从而出错.
略解: 由题意可知,故=.
2．在中，，，有，则的形状是 （D）
A、 锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
错解：C
错因：忽视中与的夹角是的补角
正解：D

3．正三角形ABC的边长为1，设，那么的值是 （ ）
A、 B、 C、 D、
正确答案：(B)
错误原因：不认真审题，且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清。

易错点3：不能正确理解向量的夹角与数量积的关系

【易错点】对向量数量积公式没有理解，尤其是不能理解向量夹角与数量积的关系。
【学法指导】回归课本，理解数量积公式的含义，做好错题笔记，经常复习。
1．若向量=，=，且，的夹角为钝角，则的取值范围是______________.
错误分析：只由的夹角为钝角得到而忽视了不是夹角为钝角的充要条件,因为的夹角为时也有从而扩大的范围,导致错误.
正确解法: ，的夹角为钝角,
解得或 (1)
又由共线且反向可得 (2)
由(1),(2)得的范围是
答案:

2、 设平面向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 （ A ）
A、 B、（2，+ C、（— D、（-

3、已知向量，，若与的夹角是钝角，求实数的取值范围。
解 若与的夹角是钝角，则，故。
若时， ，解方程，得，故且。
说明 两个向量，夹角为，当时，含，夹角为的情况，需要排除这种情况。这一点容易被忽略，要特别注意。

易错点4：未理解两向量平行的充要条件

【易错点】没有理解两向量平行的充要条件，即外项积等于内向积，不能转化为分式形式。
【学法指导】上课认真听讲，注意公式和结论的推导过程，自己一定要理解推导一遍，同时要注意错题的整理与及时复习。
1、设向量，则是的（ ）条件。
A、充要 B、必要不充分
C、充分不必要 D、既不充分也不必要
误解：，反之，也成立。 选A
误解分析：，未考虑分母为0时，此式是否成立。
正解：C
若则，若，有可能或为0，故选C。

2、非零向量，，是的（ A ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

易错点5：不知定比分点公式如何使用

【易错点】定比分点公式记得不熟，也没有理解公式的使用条件。
【学法指导】记住公式的条件和结论，自己推导一遍，然后整理在笔记本上，如果不会推导的话要及时问老师。
1、已知，
（1） 若，则_______________；
（2） 若，则_______________。 图8-1所示

解 根据题意，点在线段的延长线上，画出示意图，如图8-1所示。
从图8-1中可知，（1）；（2）。
说明 解定比分点问题，根据条件画出图形能使问题很快得以解决。

2、已知的顶点，，，在边上求一点，使。
解 把、看作底边，此时两个三角形的高都是到的距离，即高相等，所以只要即可。
设点的坐标为，当时，，则
，
所以，点的坐标为。
说明 也可以把看作公共底边，、作顶点，到的距离是到的距离的，即。

易错点6：未注意向量的坐标的定义

【易错点】审题不够仔细，没有注意到向量坐标的定义，从而导致没有解题思路。
【学法指导】平时要养成认真审题的好习惯，审题时可以把重要数据和关键词划出来以帮助自己分析问题，同时要进行错题整理，总结错误的原因。

1、（普陀区2011年4月高三数学二模文21）已知坐标平面内的一组基向量为，，其中，且向量.
（1）当和都为单位向量时，求；
（2）若向量和向量共线，求向量和的夹角.
错解：由于当和都为单位向量时，，所以
错因：没有正确理解向量坐标的定义，把和当成和。
正解：(1)由题意，当时，，此时，都为单位向量.故，所以.
(2) 由条件
因为向量和向量共线，所以
，因为，所以.
于是，，设向量和的夹角为
则，即向量和的夹角为.

2、已知向量向量与向量的夹角为，且。
（1）求向量 ；
（2）若向量与共线，向量，其中、、为的内角，
且、、依次成等差数列，求的取值范围．
解：（1）设.由，得 ①
又向量与向量的夹角为，得 ②
由①、②解得或，或.
（2）向量与共线知；
由知.
，

.
，
得，即，

易错点7：未能及时正确的进行分类讨论

【易错点】一是对题意理解不全面，没有及时进行分类讨论；二是对化简后的式子没有进行参数讨论。
【学法指导】培养自己认真审题的习惯，一定不要漏解或多解；复习一下含参专题。
1．已知向量,且求
(1) 及;
(2)若的最小值是,求实数的值.
错误分析:(1)求出=后,而不知进一步化为,人为增加难度;
(2)化为关于的二次函数在的最值问题,不知对对称轴方程讨论.
答案: (1)易求, = ;
(2) ==
=

从而:当时,与题意矛盾, 不合题意;
当时, ;
当时,解得,不满足;
综合可得: 实数的值为.

2、在中,已知,且的一个内角为直角,求实数的值.

错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.
答案: (1)若即
故,从而解得;
(2)若即,也就是,而故,解得;
(3)若即,也就是而,故,解得
综合上面讨论可知,或或

易错点8：未正确理解题意，或找不到解题思路

【易错点】对新类型的题目没有抓住它的考点，从而不能正确理解题意，找不到解题思路。
【学法指导】整理错题，然后认真审题，找出题目的考点，然后回归考点的定义，再从定义出发进行分析，慢慢培养自己好的解题习惯。

1．已知向量M={ | =(1,2)+l(3,4) lÎR}， N={|=(-2,2)+ l(4,5) lÎR }，则MÇN=（ ）
A ｛（1，2）｝ B C D
正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。

2．已知是关于x的一元二次方程，其中是非零向量，且向量不共线，则该方程 （ ）
A、至少有一根 B、至多有一根
C、有两个不等的根 D、有无数个互不相同的根
正确答案：(B)
错误原因：找不到解题思路。

3． O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P的轨迹一定通过△ABC的( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
正确答案：B。
错误原因：对理解不够。不清楚与∠BAC的角平分线有关。

4．已知向量则向量的夹角范围是（ ）
A、[π/12，5π/12] B、[0，π/4] C、[π/4，5π/12] D、 [5π/12，π/2]
正确答案：A
错因：不注意数形结合在解题中的应用。

易错点9：向量法证明比较陌生，找不到证明思路

【易错点】对向量比较证明题陌生，导致没有解题思路，无从下手。
【学法指导】认真听老师讲解证明过程，一定要搞懂。然后整理错题，自己推导一下，记住一些常用的证明方法。
1、已知三点互不重合，且满足，求证三点共线的充要条件是。
O
A
B
C
证明：必要性 三点共线，且互不重合；

即存在，使。

。
又与不平行，
与是所在平面上所有向量的一组基向量，
又，根据平面分解定理，有
， ， 所以必要条件成立。
充分性 ，
，
又，
。
若，则，与重合，这与互不重合矛盾，
所以，
，又与起点相同，
三点共线，
所以充分条件成立。
点评：
“三点满足，则共线的充要条件是”可作为结论加以应用。

2、用向量知识证明：已知，则（当且仅当时，等号成立）
证明：设，由向量数量积的定义，有，于是
（当且仅当时，等号成立）
，即
（当且仅当时，等号成立）。
点评：
本例的结论就是著名的柯西不等式，以前我们用代数方法证明了此结论。可见，用向量方法证明更简单。向量是沟通代数与几何的桥梁。
3、已知，分别是的中点，求证：，且。
证明：（用向量知识证明）
在中，设，则
，又分别是中点，
，

，且
点评：
用向量知识证明（求解）平面几何问题的关键是：设出共点不平行的两个向量，并用表示出其它向量，再灵活运用向量的性质、运算法则及其几何意义解决问题。

11