上海市徐汇区高一上期末数学试卷有答案.docx

2016-2017 学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷
一、填空题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 20 分）.
1．（3 分）已知 A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，则 A∩B=
．
2．（3 分）不等式
的解集是
．
3．（3 分）函数 f（x）=
的定义域是
．
4．（3 分）若 x＞0，则函数 f（x）= +x 的最小值为
．
5．（3 分）若函数
，
，则 f（x）+g（x）=
．
．
6．（3 分）不等式|2x﹣1|＜3 的解集为
7．（3 分）设 f（x）是 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f（x）=2x ﹣x，则 f（1）=
2
．
8．（3 分）已知函数
，则方程 f （x）=4 的解 x=
﹣1
．
9．（4 分）若函数 f（x）=x +
2
为偶函数，则实数 a=
．
10．（4 分）函数 y=
的值域是
．
11．（4 分）已知函数 f（x）=
点，则实数 a 的取值范围是
，且函数 F（x）=f（x）+x﹣a 有且仅有两个零
．
12．（4 分）关于 x 的方程 4 ﹣k•2 +k+3=0，只有一个实数解，则实数 k 的取值范围是
x
．
x
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．
13．（4 分）“x+y=3”是“x=1 且 y=2”的（
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件
14．（4 分）下列各对函数中，相同的是（
）
）
A．f（x）=lgx ，g（x）=2lgx
2
B．f（x）=lg
，g（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）

C．f（u）= ，g（v）=
D．f（x）=x，g（x）=
15．（4 分）设 a，b 是非零实数，若 a＜b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a ＜b B．ab ＜a b C．
2
D．
16．（4 分）若 f（x）是 R 上的奇函数，且 f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：
①y=|f（x）|是偶函数；
②对任意的 x∈R 都有 f（﹣x）+|f（x）|=0；
③y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；
④y=f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题：本大题共 5 小题，共 44 分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．（6 分）已知全集为 R，集合 A={x| ≤0}，集合 B={x||2x+1|＞3}．求 A∩（ B）．
R
18．（8 分）设函数 f（x）=a﹣ （a∈R）．
（1）请你确定 a 的值，使 f（x）为奇函数；
（2）用单调性定义证明，无论 a 为何值，f（x）为增函数．
19．（8 分）关于 x 的不等式 ＞1+ （其中 k∈R，k≠0）．
（1）若 x=3 在上述不等式的解集中，试确定 k 的取值范围；
（2）若 k＞1 时，上述不等式的解集是 x∈（3，+∞），求 k 的值．
20．（10 分）已知 f（x）=（ ） （x＞1）
2
（1）求 f（x）的反函数及其定义域；
（2）若不等式（1﹣ ）f （x）＞a（a﹣ ）对区间 x∈[ ， ]恒成立，求实数 a 的取
﹣1
值范围．

21．（12 分）设 a∈R，函数 f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若 a=3，求函数 f（x）在区间[0，4]上的最大值；
（2）若存在 a∈（2，4]，使得关于 x 的方程 f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求
实数 t 的取值范围．

2016-2017 学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 20 分）.
1．（3 分）已知 A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，则 A∩B= {x|2＜x≤7} ．
【解答】解：∵A={x|x≤7}，B={x|x＞2}，
∴A∩B={x|2＜x≤7}，
故答案为：{x|2＜x≤7}
2．（3 分）不等式
的解集是 （﹣4，2） ．
【解答】解：由不等式
可得
＜0，即 （x﹣2）（x+4）＜0，解得﹣4＜x＜2，
故不等式的解集为（﹣4，2），
故答案为 （﹣4，2）．
3．（3 分）函数 f（x）=
的定义域是 {x|x≥﹣2 且 x≠1} ．
【解答】解：由题意，要使函数有意义，则
，
解得，x≠1 且 x≥﹣2；
故函数的定义域为：{x|x≥﹣2 且 x≠1}，
故答案为：{x|x≥﹣2 且 x≠1}．
4．（3 分）若 x＞0，则函数 f（x）= +x 的最小值为 2
．
【解答】解：x＞0，则函数 f（x）= +x≥2
=2 ，
当且仅当 x= 时，f（x）取得最小值 2 ．
故答案为：2 ．

5．（3 分）若函数
【解答】解：
，
，则 f（x）+g（x）= 1 （0≤x≤1） ．
；
解
得，0≤x≤1；
∴
（0≤x≤1）．
．
故答案为：
6．（3 分）不等式|2x﹣1|＜3 的解集为 {x|﹣1＜x＜2} ．
【解答】解：∵|2x﹣1|＜3
⇔﹣3＜2x﹣1＜3
⇔﹣1＜x＜2，
∴不等式|2x﹣1|＜3 的解集为 {x|﹣1＜x＜2}．
故答案为：{x|﹣1＜x＜2}．
7．（3 分）设 f（x）是 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f（x）=2x ﹣x，则 f（1）= ﹣3 ．
2
【解答】解：∵f（x）是 R 上的奇函数，
∴f（﹣1）=﹣f（1），
∵当 x≤0 时，f（x）=2x ﹣x，
2
∴f（﹣1）=2+1=3，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3．
故答案为：﹣3．
8．（3 分）已知函数
，则方程 f （x）=4 的解 x= 1 ．
﹣1
【解答】解：由题意得，即求 f（4）的值
∵
，，
∴f（4）=log （1+2）=1，
3
∴f（4）=1．
即所求的解 x=1．

故答案为 1．
9．（4 分）若函数 f（x）=x +
2
为偶函数，则实数 a= 1 ．
为偶函数，
【解答】解：∵函数 f（x）=x +
2
∴f（﹣x）=f（x），
即 x ﹣
2
=x +
2
，
则
=0，则 a=1，
故答案为：1
10．（4 分）函数 y=
【解答】解：函数 y=
的值域是 （﹣1， ） ．
=
=﹣1
．
∵2 +3＞3，
x
∴0＜
．
∴函数 y=
的值域是（﹣1， ）
故答案为（﹣1， ）
11．（4 分）已知函数 f（x）=
，且函数 F（x）=f（x）+x﹣a 有且仅有两个零
点，则实数 a 的取值范围是 a≤1 ．
【解答】解：由 F（x）=f（x）+x﹣a=0 得 f（x）=﹣x+a，
作出函数 f（x）和 y=﹣x+a 的图象如图：
当直线 y=﹣x+a 经过点 A（0，1）时，两个函数有两个交点，
此时 1=﹣0+a，即 a=1，

要使两个函数有两个交点，则 a≤1 即可，
故实数 a 的取值范围是 a≤1，
故答案为：a≤1
12．（4 分）关于 x 的方程 4 ﹣k•2 +k+3=0，只有一个实数解，则实数 k 的取值范围是 （﹣
x
x
∞，﹣3）∪{6} ．
【解答】解：设 t=2 ，t＞0
x
x 的方程 4 ﹣k•2 +k+3=0 转化为 t ﹣kt+k+3=0，设 f（t）=t ﹣kt+k+3，
2
x
x
2
原方程只有一个根，则换元以后的方程有一个正根，
∴f（0）＜0，或△=0，
∴k＜﹣3，或 k=6
故答案为（﹣∞，﹣3）∪{6}．
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．
13．（4 分）“x+y=3”是“x=1 且 y=2”的（
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也必要条件
）
【解答】解：当 x=0，y=3 时，满足 x+y=3，但 x=1 且 y=2 不成立，即充分性不成立，
若 x=1 且 y=2，则 x+y=3 成立，即必要性成立，
即“x+y=3”是“x=1 且 y=2”的必要不充分条件，

故选：B
14．（4 分）下列各对函数中，相同的是（ ）
A．f（x）=lgx ，g（x）=2lgx
2
B．f（x）=lg ，g（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）
C．f（u）= ，g（v）=
D．f（x）=x，g（x）=
【解答】解：对于 A：f（x）=lgx ，g（x）=2lgx 两个函数的定义域不同，不是相同的函数；
2
对于 B：f（x）=lg ，g（x）=lg（x+1）﹣lg（x﹣1）函数底的定义域不同，不是相同的
函数；
对于 C：f（u）= ，g（v）= ，满足相同函数的要求，是相同的函数；
对于 D：f（x）=x，g（x）= ，定义域相同，都是对应关系以及值域不同，不是相同的函
数．
故选 C．
15．（4 分）设 a，b 是非零实数，若 a＜b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a ＜b B．ab ＜a b C．
2
D．
【解答】解：A 选项不正确，因为 a=﹣2，b=1 时，不等式就不成立；
B 选项不正确，因为 a=1，b=2 时，不等式就不成立；
C 选项正确，因为
a＜b，故当 a＜b 时一定有
；
D 选项不正确，因为 a=1，b=2 时，不等式就不成立；
选项正确，因为 y=2 是一个增函数，故当 a＞b 时一定有 2 ＞2 ，
b
x
a
故选 C．
16．（4 分）若 f（x）是 R 上的奇函数，且 f（x）在[0，+∞）上单调递增，则下列结论：

①y=|f（x）|是偶函数；
②对任意的 x∈R 都有 f（﹣x）+|f（x）|=0；
③y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增；
④y=f（x）f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递增．
其中正确结论的个数为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵f（x）是 R 上的奇函数，且 f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴y=|f（x）|是偶函数，故①正确；
对任意的 x∈R，不一定有 f（﹣x）+|f（x）|=0，故②不正确；
y=f（﹣x）在（﹣∞，0]上单调递减，故③不正确；
y=f（x）f（﹣x）=﹣[f（x）] 在（﹣∞，0]上单调递增，故④正确．
2
故选 B．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 44 分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．（6 分）已知全集为 R，集合 A={x|
【解答】解：全集为 R，集合 A={x|
≤0}，集合 B={x||2x+1|＞3}．求 A∩（∁ B）．
R
≤0}={x|﹣1＜x≤3}，
集合 B={x||2x+1|＞3}={x|2x+1＞3 或 2x+1＜﹣3}={x|x＞1 或 x＜﹣2}，
所以∁ B={x|﹣2≤x≤1}，
R
A∩（∁ B）={x|﹣1＜x≤1}．
R
18．（8 分）设函数 f（x）=a﹣
（a∈R）．
（1）请你确定 a 的值，使 f（x）为奇函数；
（2）用单调性定义证明，无论 a 为何值，f（x）为增函数．
【解答】解：（1）∵函数 f（x）是 R 上的奇函数，
∴f（0）=a﹣
∴a=1；
=0，

（2）证明：任取：x ＜x ∈R，
2
1
∴f（x ）﹣f（x ）=a﹣
2
﹣a+
=2•
∵x ＜x ，
2
1
∴
又
，
＞0，
，
∴f（x ）﹣f（x ）＜0，
2
1
即 f（x ）＜f（x ），
2
1
∴f（x）在 R 上的单调递增．
19．（8 分）关于 x 的不等式
＞1+
（其中 k∈R，k≠0）．
（1）若 x=3 在上述不等式的解集中，试确定 k 的取值范围；
（2）若 k＞1 时，上述不等式的解集是 x∈（3，+∞），求 k 的值．
【解答】解：（1）由题意：x=3 时，不等式
＞1+
化简为
，即
，可得（5
﹣k）k＞0，
解得：0＜k＜5．
∴当 x=3 在上述不等式的解集中，k 的取值范围是（0，5）
（2）不等式
＞1+
化简可得
（其中 k∈R，k≠0）．
∵k＞1，
可得：
kx+2k＞k +x﹣3
2
不等式的解集是 x∈（3，+∞），∴x=3 是方程 kx+2k=k +x﹣3 的解．
2
即 3k+2k=k ，
2
∵k≠0，
∴k=5．
故得若 k＞1 时，不等式的解集是 x∈（3，+∞）时 k 的值为 5．

20．（10 分）已知 f（x）=（
） （x＞1）
2
（1）求 f（x）的反函数及其定义域；
（2）若不等式（1﹣ ）f （x）＞a（a﹣ ）对区间 x∈[ ， ]恒成立，求实数 a 的取
﹣1
值范围．
【解答】解；（1）∵x＞1，∴0＜f（x）＜1．令 y=（
） （x＞1），解得 x=
2
，∴f﹣1
（x）=
（0＜x＜1）；
（2）∵f （x）=
﹣1
（0＜x＜1），∴不等式（1﹣ ）f （x）＞a（a﹣ ）在区间 x∈
﹣1
[ ， ]恒成立
在区间 x∈[ ， ]恒成立，
对区间 x∈[ ， ]恒成立．
当 a=﹣1 时，不成立，
当 a＞﹣1 时，a＜
在区间 x∈[ ， ]恒成立，a＜（
在区间 x∈[ ， ]恒成立，a＞（
） ，﹣1＜a＜ ．
min
当 a＜﹣1 时，a＞
） ，a 无解．
max
综上：实数 a 的取值范围：﹣1＜a＜ ．
21．（12 分）设 a∈R，函数 f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若 a=3，求函数 f（x）在区间[0，4]上的最大值；
（2）若存在 a∈（2，4]，使得关于 x 的方程 f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求
实数 t 的取值范围．
【解答】解：（1）当 a=3，x∈[0，4]时，f（x）=x|x﹣3|+2x=
，
可知函数 f（x）在区间[0， ]递增，在（ ，3]上是减函数，在[3，4]递增，
则 f（ ）= ，f（4）=12，

所以 f（x）在区间[0，4]上的最大值为 f（4）=12．
（2）f（x）=
，
①当 x≥a 时，因为 a＞2，所以
＜a．
所以 f（x）在[a，+∞）上单调递增．
②当 x＜a 时，因为 a＞2，所以 ＜a．
）上单调递增，在[
所以 f（x）在（﹣∞，
，a]上单调递减．
当 2＜a≤4 时，知 f（x）在（﹣∞，
]和[a，+∞）上分别是增函数，
在[
，a]上是减函数，
当且仅当 2a＜t•f（a）＜
方程 f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解．
即 1＜t＜ = （a+ +4）．
时，
令 g（a）=a+ ，g（a）在 a∈（2，4]时是增函数，
故 g（a） =5．
max
∴实数 t 的取值范围是（1， ）．

20．（10 分）已知 f（x）=（
） （x＞1）
2
（1）求 f（x）的反函数及其定义域；
（2）若不等式（1﹣ ）f （x）＞a（a﹣ ）对区间 x∈[ ， ]恒成立，求实数 a 的取
﹣1
值范围．
【解答】解；（1）∵x＞1，∴0＜f（x）＜1．令 y=（
） （x＞1），解得 x=
2
，∴f﹣1
（x）=
（0＜x＜1）；
（2）∵f （x）=
﹣1
（0＜x＜1），∴不等式（1﹣ ）f （x）＞a（a﹣ ）在区间 x∈
﹣1
[ ， ]恒成立
在区间 x∈[ ， ]恒成立，
对区间 x∈[ ， ]恒成立．
当 a=﹣1 时，不成立，
当 a＞﹣1 时，a＜
在区间 x∈[ ， ]恒成立，a＜（
在区间 x∈[ ， ]恒成立，a＞（
） ，﹣1＜a＜ ．
min
当 a＜﹣1 时，a＞
） ，a 无解．
max
综上：实数 a 的取值范围：﹣1＜a＜ ．
21．（12 分）设 a∈R，函数 f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若 a=3，求函数 f（x）在区间[0，4]上的最大值；
（2）若存在 a∈（2，4]，使得关于 x 的方程 f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求
实数 t 的取值范围．
【解答】解：（1）当 a=3，x∈[0，4]时，f（x）=x|x﹣3|+2x=
，
可知函数 f（x）在区间[0， ]递增，在（ ，3]上是减函数，在[3，4]递增，
则 f（ ）= ，f（4）=12，

所以 f（x）在区间[0，4]上的最大值为 f（4）=12．
（2）f（x）=
，
①当 x≥a 时，因为 a＞2，所以
＜a．
所以 f（x）在[a，+∞）上单调递增．
②当 x＜a 时，因为 a＞2，所以 ＜a．
）上单调递增，在[
所以 f（x）在（﹣∞，
，a]上单调递减．
当 2＜a≤4 时，知 f（x）在（﹣∞，
]和[a，+∞）上分别是增函数，
在[
，a]上是减函数，
当且仅当 2a＜t•f（a）＜
方程 f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解．
即 1＜t＜ = （a+ +4）．
时，
令 g（a）=a+ ，g（a）在 a∈（2，4]时是增函数，
故 g（a） =5．
max
∴实数 t 的取值范围是（1， ）．