北京市海淀区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案.docx

北京市海淀区 2019-2020学年上学期期末考试
高一数学试题
一、选择题：本大题共8个小题,每小题 4分,共 32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
{
}
( )( )
-
{ }
= 1,3,5
=
- = AI B =
， B x x 1 x 3 0 ，则 （
1．已知集合 A
A．Æ
）
{}
B． 1
{ }
{ }
D． 1,3
C． 3
æ 2p ö
-
=
（
2．sin ç
）
÷
è 3 ø
3
B． - 1
2
3
1
2
A． -
C．
D．
2
2
( )
( ) ( )
-2,4
f x 在定义域内（
3．若幂函数 y = f x
A．为增函数
的图象经过点
，则
C．有最小值
）
B．为减函数
D．有最大值
4．下列函数为奇函数的是（
）
[ ]
A． y = 2x
y = sin x, xÎ 0,2
C． y = x3
D． y = lg x
B．
p
5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中ÐA = 30° ，且B,C, D
三点共线，则下列结论不成立
的是（
）
u uur
A．CD
u uur
= 3BC
uur uur
CA×CE = 0
B．
u uur
C． AB 与
uur uur uur u uur
×CB = CE ×CD
D．CA
共线
DE
( )
( )
= 2sin x
6．函数 f x 的图象如图所示，为了得到函数 y
的图象，可以把函数 f x 的图象（
）

1
p
A．每个点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位
2
3
p
B．每个点的横坐标缩短到原来的 2倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位
6
p
C．先向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
6
p
D．先向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 （纵坐标不变）
1
3
2
æ 1 ö
( ) ( ) ( )
<
，且 f a f b f c 0，实数 x 满足
( )
7．已知 f x
x
= log x -
，若实数a,b,c 满足0 < a < b < c
ç ÷
è 2 ø
2
0
( )
f x = 0，那么下列不等式中，一定成立的是（
）
0
< a
B． x > a
C． x < c
D． x > c
A． x
0
0
0
0
8．如图，以 AB 为直径在正方形 ABCD 内部作半圆O ， P 为半圆上与 A, B 不重合的一动点，下面关于
u ur uur u uur u uur
PA + PB + PC + PD 的说法正确的是（
）
A．无最大值，但有最小值
B．既有最大值，又有最小值
C．有最大值，但无最小值
D．既无最大值，又无最小值
二、填空题（每题 4分，满分 24分，将答案填在答题纸上）
r
r
( )
= 1,2
9．已知向量a
，写出一个与a 共线的非零向量的坐标
．
( )
-4
=
10．已知角q 的终边过点 3,
，则cosq
．
r r
r r
×b =
11．向量a,b在边长为 1的正方形网格中的位置如图所示，则a
．

ì
³
( ) x2, x t, ( ) ( )
=
t > 0
0,+¥
12．函数 f x í
是区间
上的增函数，则 的取值范围是
t
．
îx,0 < x < t.
13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015 年约为 400 万吨，2016 年的年增长率为 50%，有
专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从
年开始，快递业产生的包
装垃圾超过 4000 万吨．
» 0.3010 lg3 » 0.4771
，
（参考数据：lg2
）
( )
æ p ö
= sin x
0,
14．已知函数 f x
w 在区间
上是增函数，则下列结论正确的是
（将所有符合题
ç
÷
è 6 ø
意的序号填在横线上）．
( )
①函数 f x
æ p ö
= sin x
- ,0
上是增函数；
w 在区间
ç
÷
è 6 ø
②满足条件的正整数w 的最大值为 3；
p
p
æ ö
æ ö
³ f
③ f
.
ç ÷
ç ÷
è 4 ø
è12 ø
三、解答题 （本大题共 4 小题，共 44 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
r
r
r r
( ) ( ) ( )
= sin x,1 b = 1,k
，
f x = a ×b
.
15．已知向量a
，
（Ⅰ）若关于 x 的方程 f x
( )=1有解，求实数k 的取值范围；
( ) 1
( )
p
，求
a
a
.
tan
= + k
Î 0,
（Ⅱ）若 f a
且
3
( )
( ) ( )
f 1 = f 3 = -3
.
= x +bx + c
16．已知二次函数 f x
2
满足
（Ⅰ）求b,c 的值；
( )
( ) ( )
=
时， g x f x ，
³ 0
（Ⅱ）若函数 g x 是奇函数，当 x
( )
（ⅰ）直接写出 g x 的单调递减区间：
；
( )
（ⅱ）若 g a
> a
，求 a 的取值范围.

p
( )æ
ö
w j
w
j
= Asin x +
A > 0, > 0, <
17．某同学用“五点法”画函数 y
在某一周期内的图象时，列表
ç
è
÷
2 ø
并填入了部分数据，如下表：
p
3p
2p
2
x +
0
2
p
2p
x
6
3
( )
w j
y = Asin x +
0
2
0
0
( )
( )
=
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数 f x 的解析式 f x
（直接写出结果即可）
( )
（Ⅱ）求函数 f x 的单调递增区间；
( )
é p ù
- ,0
（Ⅲ）求函数 f x 在区间
上的最大值和最小值.
ê
ú
ë 2 û
( )
( ) ( )
+
ÎR
+ =
f x T 恒成
18．定义：若函数 f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意 x
， f x T
( )
( )
立，则称 f x 为线周期函数，T 为 f x 的线周期.
[ ] [ ]
= 2
y = log x
y = x
x 表示不超过 x 的最大整数），是线周期函数
（Ⅰ）下列函数①y
的是
，②
，③
（其中
x
2
（直接填写序号）；
( )
( ) ( )
= g x - x
（Ⅱ）若 g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数G x
为周期函数；
（Ⅲ）若j x
( )= sin x + kx为线周期函数，求k 的值.
北京市海淀区 2019-2020 学年上学期期末考试
高一数学试题参考答案

一、选择题
1-4:DACC
5-8:DCBA
二、填空题
( )
9．答案不唯一，纵坐标为横坐标 2倍即可，例如 2,4 等
3
³1
12．t
10．
11．3
5
13．2021
14．①②③
三、解答题
r
r
r r
( ) ( ) ( )
= sin x,1 b = 1,k
，
f x = a ×b
，
15．解：（Ⅰ）∵向量a
，
r r
= a×b = sin x + k .
( )
∴ f x
( )
=1
有解，即关于 x 的方程sin x 1 k 有解.
= -
关于 x 的方程 f x
[ ]
Î -1,1
∵sin x
，
[ ]
- k Î -1, 1
∴当1
时，方程有解.
[ ]
则实数 k 的取值范围为 0,2 .
( ) 1
1
1
3
a
a
a
= + k
sin + k = + k
sin =
（Ⅱ）因为 f
，所以
，即
.
3
3
p
sina
æ
ù
2 2
2
a
a
a
a
a
Î 0,
cos = 1-sin
=
tan =
=
当
当
时，
，
.
ç
2
ú
è 2 û
3
cosa
4
p
æ
ç
ö
÷
2 2
3
2
p
a
a
a
Î ,
cos = - 1-sin
= -
tan = -
时，
，
.
2
è 2 ø
4
16．解：（Ⅰ）b = -4
c = 0 .
；
[ ]
-2,2
（Ⅱ）（ⅰ）
.
( )
( )
g x = x - 4x
，则当 x 0 时， ；
= x - 4x
³
（ⅱ）由（Ⅰ）知 f x
2
2
( ) ( ) ( )
< 0
-x > 0
4 x x 4x
- = - - - = +
当 x
时，
，则 g x
x
2
2
( )
( ) ( )
= -g -x = -x - 4x
因为 g x 是奇函数，所以 g x
.
2
( )
若 g a
> a
，则

ìa > 0,
ìa £ 0,
í
或 í
- 4a > a,
-a - 4a > a,
îa2
î
2
> 5 -5 < a < 0
或 .
解得 a
> 5 -5 < a < 0
或 .
综上， a 的取值范围为a
17．解：（Ⅰ）
p
3p
x +
0
2p
2
2
p
5p
2p
11p
-
x
12
6
12
3
12
( )
w j
y = Asin x +
-2
0
2
0
0
p
æ
ö
( )
= 2sin 2x +
解析式为： f x
ç
÷
è
6 ø
p
p
( )
é
ù
p
p
- + k , + k
Î
， k Z .
（Ⅱ）函数 f x 的单调递增区间为
ê
ú
ë 3
6
û
5p
p p
p
- £ x £ 0
-
£ 2x + £
（Ⅲ）因为
，所以
.
2
6
6 6
æ
p ö 1
-1£ sin 2x +
£
得：
.
ç
÷
è
6 ø 2
p
p
p
p
é
( )
f x
ù
+ = -
x = -
- ,0
在区间 上的最小值为-2.
所以，当2x
即
时，
ê
ú
6
2
3
ë 2 û
p p
p
( )
f x
é
ù
+ =
x = 0
- ,0
在区间 上的最大值为 1.
当 2x
即
时，
ê
ú
6 6
ë 2 û
18．解：（Ⅰ）③
( )
（Ⅱ）证明：∵ g x 为线周期函数，其线周期为T ，
( ) ( )
- = +
， g x T g x T 恒成立.
ÎR
∴存在非零常数T ，对任意 x
( ) ( )
= g x - x
∵G x
，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
.
+T = g x +T - x +T = g x +T - x +T = g x - x = G x
∴G x
( ) ( )
= g x - x
∴G x
为周期函数.
（Ⅲ）∵j x
( )= sin x + kx为线周期函数，

( ) ( )
ÎR
+ +
，sin x T k x T sin x kx T .
+ =
+ +
∴存在非零常数 ，对任意 x
T
( )
+T + kT = sin x +T
∴sin x
.
= 0 ，得sinT + kT = T
令 x
；…………①
=
-sinT + kT = T
；…………②
令 x p ，得
= 2T
①②两式相加，得2kT
.
∵T
∴ k
¹ 0，
=1.
检验：
( )
j
= +
时， x sin x x .
= 2
当 k
ÎR
存在非零常数2p ，对任意 x
，
( ) ( )
( )
j
p
p
p
p j
p
x + 2 = sin x + 2 + x + 2 = sin x + x + 2 = x + 2 ，
( )= sin x + x
j
∴ x
为线周期函数.
综上， k
=1.

ìa > 0,
ìa £ 0,
í
或 í
- 4a > a,
-a - 4a > a,
îa2
î
2
> 5 -5 < a < 0
或 .
解得 a
> 5 -5 < a < 0
或 .
综上， a 的取值范围为a
17．解：（Ⅰ）
p
3p
x +
0
2p
2
2
p
5p
2p
11p
-
x
12
6
12
3
12
( )
w j
y = Asin x +
-2
0
2
0
0
p
æ
ö
( )
= 2sin 2x +
解析式为： f x
ç
÷
è
6 ø
p
p
( )
é
ù
p
p
- + k , + k
Î
， k Z .
（Ⅱ）函数 f x 的单调递增区间为
ê
ú
ë 3
6
û
5p
p p
p
- £ x £ 0
-
£ 2x + £
（Ⅲ）因为
，所以
.
2
6
6 6
æ
p ö 1
-1£ sin 2x +
£
得：
.
ç
÷
è
6 ø 2
p
p
p
p
é
( )
f x
ù
+ = -
x = -
- ,0
在区间 上的最小值为-2.
所以，当2x
即
时，
ê
ú
6
2
3
ë 2 û
p p
p
( )
f x
é
ù
+ =
x = 0
- ,0
在区间 上的最大值为 1.
当 2x
即
时，
ê
ú
6 6
ë 2 û
18．解：（Ⅰ）③
( )
（Ⅱ）证明：∵ g x 为线周期函数，其线周期为T ，
( ) ( )
- = +
， g x T g x T 恒成立.
ÎR
∴存在非零常数T ，对任意 x
( ) ( )
= g x - x
∵G x
，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
.
+T = g x +T - x +T = g x +T - x +T = g x - x = G x
∴G x
( ) ( )
= g x - x
∴G x
为周期函数.
（Ⅲ）∵j x
( )= sin x + kx为线周期函数，

( ) ( )
ÎR
+ +
，sin x T k x T sin x kx T .
+ =
+ +
∴存在非零常数 ，对任意 x
T
( )
+T + kT = sin x +T
∴sin x
.
= 0 ，得sinT + kT = T
令 x
；…………①
=
-sinT + kT = T
；…………②
令 x p ，得
= 2T
①②两式相加，得2kT
.
∵T
∴ k
¹ 0，
=1.
检验：
( )
j
= +
时， x sin x x .
= 2
当 k
ÎR
存在非零常数2p ，对任意 x
，
( ) ( )
( )
j
p
p
p
p j
p
x + 2 = sin x + 2 + x + 2 = sin x + x + 2 = x + 2 ，
( )= sin x + x
j
∴ x
为线周期函数.
综上， k
=1.