湖南省长望浏宁四县市2016年3月高三模拟考试-数学(理).doc

2016年3月高三模拟考试
理科数学试题卷
时量 120分钟 总分 150分
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对条形码上的准考证号、姓名、考试科目与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答的答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
一：选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数，则对应的点所在的象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知，且，则为
A． B． C． D．
3．下列命题中，真命题是
A．， B．，
C．的充要条件是 D．，是的充分条件
4．在如图所示的正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(－1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为
A． B． C． D．

5.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是

A． B． C． D．
6．如图，正方体的棱长为1，是线段上的两个动点，且，则下列结论中错误的是
A．；
B．三棱锥的体积为定值；
C．平面
D．异面直线、所成的角为定值。
7．如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则对应的值为
A． B． C． D．
8．函数的图象如图所示，则等于
A． B．
C． D．
9．已知集合A-{1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，
记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出的值为
A．792 B．693
C．594 D．495
10．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有
A． B． C． D．

11．如图，正方体中，为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为
第11题图

A B C D

12．对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同点、恒成立，则称为曲线相对于的“界角”，并称最小的“界角”为曲线相对于的“确界角”，已知曲线：，(其中为自然对数的底数)，为坐标原点，则曲线相对于的“确界角”为
A． B． C． D．
二：填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.若函数，为偶函数，则实数
14.若抛物线上两点、关于直线对称，且，则实数的值为
15.若满足且的最大值为4，则的值为 .
16.已知是圆心在坐标原点的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且 点的纵坐标为，点的横坐标为，则COS= .

三：解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，，。
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求数列的通项公式。

18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面是矩形，底面，，，点是的中点，点在边上移动．
（Ⅰ）点为的中点时，试判断与平面的位置 关系，并说明理由；
（Ⅱ）当为何值时,与平面所成角的大小为

19. （本小题满分12分）
小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下.

图1 表1
（Ⅰ）求小王这天 “健步走”步数的平均数；
（Ⅱ）从步数为千步、千步、千步的几天中任选天，设小王这天通过健步走消耗的“能量和”为，求的分布列.

20. （本小题满分12分）
已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点、（两点均不在坐标轴上），且使得直线、的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若存在，使得（是自然对数的底数），
求实数的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22、（本小题满分10分）【选修4一1：几何证明选讲】
如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：
①BE＝EC；
②AD·DE＝2PB2.

23.（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C：(θ为参数)上的点到直线的距离为d.
①当k＝3时，求d的最大值；
②若直线l与圆C相交，试求k的取值范围．

24.（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]
已知实数、满足：关于的不等式的解集为R。
①求、的值；
②若、、，且，求证：

2016年3月高三模拟考试
理科数学（参考答案）
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
D
C
D
A
A
D
D
C
B

二、填空题
13. 14. 15. 16 .
三、解答题
17. 解：（1） 4分
又
6分
（2） 由，求得 8分
由知 数列和都是公差为4的等差数列

12分
18. 解：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥PC. 2分
又EF平面PAC，
而PC平面PAC
∴EF∥平面PAC. 4分
(2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则
P(0,0,1)，B(0,1,0)，F(0，，)，D(，0,0)， 6分
设平面PDE的法向量为 ，

由，即
可得． 9分
而，依题意PA与平面PDE所成角为45°，
所以 ∴， 10分
得或 (舍)． 11分
故BE＝－时，PA与平面PDE所成角为45° 12分
19. 解：(I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为
（千步）. 4分
（II）的各种取值可能为800，840，880，920. 5分
,
9分
的分布列为：

800
840
880
920

12分
20.（Ⅰ）解：由题意，得，， 2分
又因为点在椭圆上，
所以， 3分
解得，，，
所以椭圆C的方程为. 5分
（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为. 6分
证明如下：
假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为.
当直线的斜率存在时，设的方程为. 7分
由方程组 得， 8分
因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，
所以，即. 9分
由方程组 得， 10分
则.
设，，则，， 11分
设直线， 的斜率分别为，，
所以
， 12分
将代入上式，得.
要使得为定值，则，即，验证符合题意.
所以当圆的方程为时，
圆与的交点满足为定值. 13分
当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，
此时，圆与的交点也满足.
[假设圆符合要求，当直线为时，
求得；
当直线为时，求得。
令 解得
以下证明圆符合要求]
（）
21. 解：（Ⅰ）． 1分
因为当时，，在上是增函数，
因为当时，，在上也是增函数，
所以当或，总有在上是增函数， 2分
又，所以的解集为，的解集为， 3分
故函数的单调增区间为，单调减区间为． 4分
（Ⅱ）因为存在，使得成立，
而当时，，
所以只要即可． 5分
又因为，，的变化情况如下表所示：

减函数
极小值
增函数
所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值． 7分
因为，
令，因为，
所以在上是增函数．
而，故当时，，即；
当时，，即． 9分
所以，当时，，即，
函数在上是增函数，解得； 10分
当时，，即，
函数在上是减函数，解得． 11分
综上可知，所求的取值范围为． 12分
22．证明：① ∵ ∴ 2分
又 ∴
∴
∴
∴ BE＝EC. 5分
② ∵AD·DE＝BD·DC，PA2＝PB·PC，PD＝DC＝PA，
BD·DC＝(PA－PB)PA＝PB·PC－PB·PA＝PB·(PC－PA)，
∴PB·PA＝PB·2PB＝2PB2. 10分
23．解：①由l：ρcos＝3，
得l：ρcosθcos＋ρsinθsin＝3，
整理得l：x＋y－6＝0. 2分
则d＝＝ 4分
∴dmax＝＝4. 5分
②将圆C的参数方程化为普通方程得x2＋y2＝2，
直线l的极坐标方程化为普通方程
得 x＋y－k＝0. 7分
∵直线l与圆C相交，∴圆心O到直线l的距离d<，
即＜， 9分
解得：－2＜k＜2. 10分
24．解：①由于解集为R，那么x＝3，x＝－1都满足不等式，
即有，
即，解得m＝－2，n＝－3， 4分
经验证当m＝－2，n＝－3时，不等式的解集是R. 5分
②证明：a＋b＋c＝1，a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，
∴(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤3(a＋b＋c)＝3，
故＋＋≤(当且仅当a＝b＝c＝时取等号)． 10分
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