2016高三南通一模数学试题及答案.docx

江苏省南通市 2016 届高三下学期第一次模拟考试
数学试题Ⅰ
一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1.已知集合 = { | -1 < < 2} ， = {-1,0,1} , AI B =
A x
x
B
2.若复数 = + 2 （i 为虚数单位， Î ）满足| |= 3，则a 的值为
z a i a R
z
3.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为偶数的
概率是
4.根据下图所示的伪代码，可知输出的结果 为
S
5.为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000 户家庭的月消费金
额（单位：元），所有数据均在区间[0,4500]上，其频率分布直方图如下图所示，
则被调查的 10000 户家庭中，有
户月消费额在 1000 元以下
消费 / 元
6.设等比数列{a }的前 n 项的和为 S ，若 S = 3,S =15 ，则 S 的值为
n
n
2
4
6
x
2
y
2
2
7.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 -
=1(a > 0,b > 0) 过点 P(1,1) ,其一
a
2
b
条渐近线方程为 y = 2x，则该双曲线的方程为
8.已知正方体 ABCD - A B C D 的棱长为 1，点 是棱 B B 的中点，则三棱锥
E
1
1
1
1
1
B - ADE 的体积为
1
(x - b),x ³ 0
ìx
9.若函数 f (x) =
(a > 0,b > 0) 为奇函数，则 f (a + b)的值为
í
ax(x + 2),x < 0
î
1
5p
p
p
10.已知sin(x + ) = ，则sin(x - ) + sin2( - x) 的值是
6 3
6
3
11.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,0),B(4,0) .若直线 x - y + m = 0 上存在点 P ，
1

1
使得 PA = PB ,则实数 m 的取值范围是
2
1
1
12.已知边长为 6 的正三角形
则 PB × PD 的值为
, BD = BC, AE = AC, AD与 BE交点 P ,
ABC
2
2
13.在平面直角坐标系
中，直线 与曲线 y = x (x > 0) 和 y = x (x > 0) 均相切，
l
xOy
2
3
x
切点分别为 A(x , y ) 和 B(x , y ) ,则 的值是
1
1
1
2
2
x
2
14.已知函数 f (x) = 2ax + 3b(a,b Î R) .若对于任意 Î[-1,1]，都有| ( ) |£1成立，
f x
2
x
则 ab 的最大值是
二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分）
在 DABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，(a + b - c)(a + b + c) = ab。
（1）求角C 的大小；
（2）若c = 2acosB,b = 2 ，求DABC 的面积。
16. （本小题满分 14 分）
如图，在直四棱柱 ABCD - A B C D 中，底面 ABCD是菱形，点 E 是 AC 的中点.
1
1
1
1
1 1
求证：（1） BE ^ AC ;（2） BE // 平面 ACD .
1
2

（本小题满分 14 分）
17.
x
2
y
2
2
如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆 +
=1(a > b > 0)过点 ( 2,1) ，
A
xOy
a
2
b
3
离心率为
.
（1）求椭圆的方程;
（2）若直线l : y = kx + m(k ¹ 0)
被 y 轴平分，且 ,求直线 的
2
与椭圆相交于 , 两点(异于点 ),线段
B C
AB AC
^
A
BC
l
方程。
18. （本小题满分 16 分）
如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O 为圆心，半径为1 的
km
1
半圆面。公路 l 经过点O ,且与直径OA垂直。现计划修建一条与半圆相切的公路
PQ(点 P 在直径OA的延长线，点Q 在公路l 上),T 为切点.
（1）按下列要求建立函数关系：
①设ÐOPQ = (rad)，将 DOPQ 的面积 S 表示为 的函数；
a
a
②设OQ = t(km)，将 DOPQ 的面积 S 表示为t 的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求 DOPQ 的面积 S 的最小值。
3

19. （本小题满分 16 分）已知函数 f (x) = a + x ln x(a Î R)
（1）求函数 ( ) 的单调区间；
f x
（2）试求函数 f (x) 的零点个数，并证明你的结论。
20. （本小题满分 16 分）
若数列{a }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称 {a }为 “等比源
n
n
数列”。
（1）已知数列{a }中， a = 2,a = 2a -1。
n
1
n+1
n
①求数列{a }的通项公式；
n
②试判断数列{a }是否为“等比源数列”，并证明你的结论。
n
（2）已知数列{a }为等差数列，且a ¹ 0,a Î Z(n Î N*) .求证：{a }为“等比源
n
1
n
n
数列”
江苏省南通市 2016 届高三下学期第一次模拟考试
数学试题Ⅱ（附加题）
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分．
．．．．．．
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. 选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）
如图，圆O 的直径 AB =10 ,C 为圆上一点, BC = 6 .过C 作圆O 的切线l ，AD ^ l 于
点 D，且交圆O于点 E ,求的 DE 长.
B. 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）
é1 0
ù
,求逆矩阵 M 的特征值
ê
ú
-1
ë
û
4

C. 选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）
p
在极坐标系中，已知点 A(2, ) ,圆 的方程为 r = 4 2 sinq （圆心为点 ）,
C
C
4
求直线
的极坐标方程。
AC
D. 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分）
已知 a ³ 0,b ³ 0 ，求证： a + b ³ ab(a + b ) 。
6
6
4
4
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分 10 分)
如图，在四棱锥 -
S ABCD
中，底面
为矩形， ^平面 ABCD,
SA
ABCD
1
AB = 1, AD = AS = 2 , P 是棱 SD 上一点，且 SP = PD 。
2
（1）求直线
与
AB CP
所成角的余弦值；
（2）求二面角 -
- 的余弦值。
A PC D
5

23. (本小题满分 10 分)
已知函数 f (x) = x(sin x + cos x) ，设 f (x)是 f (x) 的导数， Î *.
n N
0
n
n-1
（1）求 f (x), f (x) 的表达式；
1
2
（2）写出 f (x)的表达式，并用数学归纳法证明。
n
6

7

8

9

10

9

10