2016高三南通一模数学试题及答案.docx

江苏省南通市 2016 届高三下学期第一次模拟考试数学试题一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1.已知集合 = | -1 0,b 0) 过点 P(1,1) ,其一a2b条渐近线方程为 y = 2x，则该双曲线的方程为8.已知正方体 ABCD - A B C D 的棱长为 1，点 是棱 B B 的中点，则三棱锥E11111B - ADE 的体积为1(x - b),x 0x9.若函数 f (x) =(a 0,b 0) 为奇函数，则 f (a + b)的值为ax(x + 2),x 0) 和 y = x (x 0) 均相切，lxOy23x切点分别为 A(x , y ) 和 B(x , y ) ,则 的值是11122x214.已知函数 f (x) = 2ax + 3b(a,b R) .若对于任意 -1,1，都有| ( ) |1成立，f x2x则 ab 的最大值是二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 14 分）在 DABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，(a + b - c)(a + b + c) = ab。（1）求角C 的大小；（2）若c = 2acosB,b = 2 ，求DABC 的面积。16. （本小题满分 14 分）如图，在直四棱柱 ABCD - A B C D 中，底面 ABCD是菱形，点 E 是 AC 的中点.11111 1求证：（1） BE AC ;（2） BE / 平面 ACD .12 （本小题满分 14 分）17.x2y22如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 +=1(a b 0)过点 ( 2,1) ，AxOya2b3离心率为.（1）求椭圆的方程;（2）若直线l : y = kx + m(k 0)被 y 轴平分，且 ,求直线 的2与椭圆相交于 , 两点(异于点 ),线段B CAB ACABCl方程。18. （本小题满分 16 分）如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O 为圆心，半径为1 的km1半圆面。公路 l 经过点O ,且与直径OA垂直。现计划修建一条与半圆相切的公路PQ(点 P 在直径OA的延长线，点Q 在公路l 上),T 为切点.（1）按下列要求建立函数关系：设OPQ = (rad)，将 DOPQ 的面积 S 表示为 的函数；aa设OQ = t(km)，将 DOPQ 的面积 S 表示为t 的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求 DOPQ 的面积 S 的最小值。3 19. （本小题满分 16 分）已知函数 f (x) = a + x ln x(a R)（1）求函数 ( ) 的单调区间；f x（2）试求函数 f (x) 的零点个数，并证明你的结论。20. （本小题满分 16 分）若数列a 中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称 a 为 “等比源nn数列”。（1）已知数列a 中， a = 2,a = 2a -1。n1n+1n求数列a 的通项公式；n试判断数列a 是否为“等比源数列”，并证明你的结论。n（2）已知数列a 为等差数列，且a 0,a Z(n N*) .求证：a 为“等比源n1nn数列”江苏省南通市 2016 届高三下学期第一次模拟考试数学试题（附加题）21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修 4-1：几何证明选讲（本小题满分 10 分）如图，圆O 的直径 AB =10 ,C 为圆上一点, BC = 6 .过C 作圆O 的切线l ，AD l 于点 D，且交圆O于点 E ,求的 DE 长.B. 选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）1 0,求逆矩阵 M 的特征值-14 C. 选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）p在极坐标系中，已知点 A(2, ) ,圆 的方程为 r = 4 2 sinq （圆心为点 ）,CC4求直线的极坐标方程。ACD. 选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分）已知 a 0,b 0 ，求证： a + b ab(a + b ) 。6644【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分 10 分)如图，在四棱锥 -S ABCD中，底面为矩形， 平面 ABCD,SAABCD1AB = 1, AD = AS = 2 , P 是棱 SD 上一点，且 SP = PD 。2（1）求直线与AB CP所成角的余弦值；（2）求二面角 - 的余弦值。A PC D5 23. (本小题满分 10 分)已知函数 f (x) = x(sin x + cos x) ，设 f (x)是 f (x) 的导数， *.n N0nn-1（1）求 f (x), f (x) 的表达式；12（2）写出 f (x)的表达式，并用数学归纳法证明。n6 7 8 9 109 10