高三零模冲刺讲义C级考点讲解与训练不等式.doc

高三零模冲刺讲义C级考点讲解与训练之二
不等式
C级考点回顾：一元二次不等式、基本不等式
一、 课本回顾与拓展
1.（P79练习3）国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策. 已知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约销售100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率R%），则每年的销售量将减少10R万瓶. 要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万元，R的取值范围是____________.
2.（P79习题9改编）若不等式的解集为，则实数a的取值范围为 .
3.（P86练习3）（1）二元一次不等式组表示的平面区域内的整点坐标为__________.
（2）不等式组表示的平面区域内的整点个数为____________.
4.（P86练习6改编）不等式组表示的平面区域的形状为___________.等腰梯形
5.（P95习题11）设，若，，则点的集合表示的平面区域的面积为_________.
6.（P99练习7）设是两个正实数，则的最小值为________.
变1：已知且，则的最小值为____________.
变2：已知且，则的最小值为__________.
B
A
C
D
地面
7.（P99例1改编）某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？

解：设 连结BD. 则在中，
设
则等号成立时
答：当时，建造这个支架的成本最低.
8.（P100例3）过点（1,2）的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当的面积最小时，则直线l的方程为__________.
9.（P101练习1）如果那么的最小值是_______.
10.（P105习题9）函数的最大值为_________.
11.（P106习题16）已知正数x,y满足则的最小值为___________.
12.（P102习题11，Miler Problem）如图，有一壁画，最高点A处离地面4m，最低点B离地面2m.若从离地高1.5m的C处观赏它，则离墙多远时，视角最大？

变1：（2010年江苏高考题）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？

变2：（解析几何特训6）已知圆，Q为x轴上的动点，圆Q与圆P相外切，圆Q与x轴交于M、N两点.在y轴上是否存在一异于原点的定点A，使得为定值？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

13.（P105习题13）设
（1）若方程有实根，则实数m的取值范围是______________.
（2）若不等式的解集为，则实数m的取值范围是______________.
（3）若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是______________.
二、典例剖析
例1. 已知椭圆方程(a>0,b>0).
（1）若过点P(3，2)，求的最小值为_________，ab的最小值为_______.
（2）求椭圆内接矩形面积的最大值为__________.
变1：已知，若，则的最小值为______
变2：已知是正数，且满足，则
法1：
法2：
变3：设是正实数，且，则的最小值是__________.
方法1：考虑通法，消元化为单元函数，而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；
方法2：考虑整体替换的方法，分母的和为常数

方法2：设，，则，所以
=
，因为
所以
变4：若，且，则的最小值为 ．；
（双换元）
例2. 已知，若对，，,则实数的取值范围为_____________.
变1：已知函数，若存在，使得
，则实数的取值范围为___________.
变2：函数，若对任意的，总存在，使
成立, 则实数的取值范围为____________.
例3. 已知关于的实系数一元二次不等式的解集为，则的最小值是____________. 8
解析：分子分母同时除以，变形为（消元思想）（其中条件为），而后转化为的函数，易求得最小值为8
变1：已知正数满足:则的取值范围是____________.
解法1：令，，则原不等式组可转化为，所求为
满足不等式组的线性区域内的点与原点连线的斜率，利用线性规划易得取值范围是
解法2：我们注意到所求的是的取值范围，和参数无关，所以可以将参数特殊化，不妨取,则条件可转化为,则由得
,易得的取值范围是
解法3：令,,则,由得
①： ②： 综上可得的取值范围是.
变2：设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成
立，则的最大值为_____________．2－2

例4. 已知定义在的函数满足：，.
若，令，则使数列的前项和的最小自然数=__________.
变：已知函数，方程的一个根为t，且，
（1）求函数的导函数；求导函数的值域；
（2）证明：①，②

三、自主练习
1. 二次不等式的解集为，且，则的最小值为_____.
2. 若不等式恰好有一个实数解，则的值为 .
3. 已知二次函数的值域为，则的最小值为_______.
4. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是__________.
5. （2011年江苏高考题改编）不等式(3x2+a)(2x+b) ³0对一切x∈[-1，+¥)恒成立，其中a>0, 则实数b的取值范围为_________；不等式(3x2+a)(2x+b) ³0对一切x∈(a，b)恒成立，其中a<0，则b-a的最大值为___________.
6. 在平面直角坐标系xoy下，已知双曲线（），右焦点为F，右准线为l,点A，B是右支上两点， ，线段AB的中点M在右准线上的射影点为，则的最大值为 .
7. 设M是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程， 有实数根；②函数的导数满足.
（1）若函数为集合M中的任意一个元素，证明：方程只有一个实根；
（2）判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由；
（3）设函数为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意，当且时,证明：

8. 已知函数，其中e是自然对数的底数.
（1）证明：是R上的偶函数；
（2）若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知正数满足：存在，使得成立. 试比较与的大小，并证明你的结论.
【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 满分16分.
(1) 因为对任意，都有，
所以是R上的偶函数.
(2) 解法一（官方解答）：由条件知上恒成立.
令，则，所以对于任意成立.
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立.
因此实数m的取值范围是.
解法二：考虑不等式两边同乘，则不等式转化为在上恒成立.
令，则问题可简化为：在上恒成立.
构造函数，由图象易得当时不符合题意.
当时，或解得.
综上可知，实数的取值范围为. （江苏苏州 陈海锋）
(3) 令函数，则.
当时，，，又，故，
所以是上的单调增函数，
因此在上的最小值是.
由于存在，使成立，当且仅当最小值，
故，即.
令函数，则，令，得.
当时，，故是上的单调减函数.
当时，，故是上的单调增函数.
所以在上的最小值时.
注意到，所以当时，.
当时，，所以对任意的成立.
①当时，，即，从而；
②当时，；
③当时，，即，故.
综上所述，当时，，当时，，当时，.
(3)的民间思路：
难题分解1：如何根据条件求出参数的取值范围？
分解路径1：直接求函数的最值.
解：令，只要在上，即可.
. 当时，.；
当时，，，则.
故在区间上，，即函数为的增函数，
则，解得.（江苏苏州 何睦）
分解路径2：参数分离可以吗？
解：欲使条件满足，则，此时，则，
构造函数，即求此函数在上的最小值.
.
因为，，
则.
则在上恒成立，故，
故（江苏苏州 何睦）
难题分解2：如何根据求得的参数的取值范围比较与的大小？
分解路径1：（取对数）与均为正数，同取自然底数的对数，
即比较与的大小，即比较与的大小.
构造函数，则，
再设，，从而在上单调递减，
此时，故在上恒成立，则在上单调递减.
当时，；当时，；
当时，.（江苏苏州 何睦）
分解路径2：（变同底，构造函数比大小）
要比较与的大小，由于，那么，
故只要比较与的大小.
令，那么.
当时，；当时，.
所以在区间上，为增函数；在区间上，为减函数.
又，，则，；
那么当时，，，；
当时，，，.
综上所述，当时，；当时，；
当时，. （江苏苏州 王耀）
【考点】函数的基本性质 (B)，利用导数研究函数的单调性与极值 (B)，综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.
9. 记函数的导函数为，已知．
（1）求的值．
（2）设函数，试问：是否存在正整数使得函数有且只有一个零点？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由．
（3）若实数和（，且）满足：，试比较与的大小，并加以证明．（解题暗示语的暗示）
解：（1），由得．
（2），，
∵，令得，
当时，，是增函数；
当时，，是减函数．
∴当时，有极小值，也是最小值，，
构造辅助函数,求导后易得函数在定义域上单调递减，由
可知方程只有唯一实数解
综上所述，存在使得函数有且只有一个零点．
（3），∵，∴，
得， 则，（常规的作差比较法而后构造辅助函数模型比较两个实数的大小关系）
当时，，设，
则（当且仅当时取等号），
∴在上是减函数，
又∵，∴，∴，∴．
当时，，设，
则（当且仅当时取等号），
∴在上是增函数，
又∵，∴，∴，∴．
综上所述，当时 ，当时
10. 函数定义在区间[a, b]上，设“”表示函数在集合D上的最小值，“”表示函数在集合D上的最大值．现设，()；，()．
若存在最小正整数k，使得对任意的成立，则称函数为区间上的“第k类压缩函数”．
（1）若函数，，试写出、的解析式；
（2）若m>0，函数是上的“第3类压缩函数”，求实数m的取值范围．
（Ⅰ）由于＝，故在上单调递减，在上单调递增．
∴的最大值为＝3，　　，
（Ⅱ）由于，故在上单调递减，在上单调递增，∵，，，

．正整数k对x∈恒成立，
∴当x＝0时，均成立；当时，恒成立，
而，从而有；当时，恒成立，而，从而有；∴，∵函数是上的“第3类压缩函数”，∴∵m>0 ∴
11. 已知函数．
（1）若函数在R上是增函数，求实数的取值范围；
（2）求所有的实数，使得对任意时，函数的图象恒在函数图
象的下方；
（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数
的取值范围．
解：（1）
由在R上是增函数，则即，则范围为；…4分
（2）由题意得对任意的实数，恒成立，
即，当恒成立，即，，
，故只要且在上恒成立即可，
在时，只要的最大值小于且的最小值大于即可，
而当时，，为增函数，；
当时，，为增函数，，所以；
（3）当时，在R上是增函数，则关于x的方程不可能有三个不等的实数根； 则当时，由得
时，对称轴，
则在为增函数，此时的值域为，
时，对称轴，
则在为增函数，此时的值域为，
在为减函数，此时的值域为；
由存在，方程有三个不相等的实根，则，
即存在，使得即可，令，
只要使即可，而在上是增函数，，
故实数的取值范围为； 同理可求当时，的取值范围为；
综上所述，实数的取值范围为．
12. 已知函数，其中m，a均为实数．
（1）求的极值；
（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，求的取值范围．
解：（1），令，得x = 1．
列表如下：
x
（-∞，1）
1
（1，+∞）

+
0
-
g(x)
↗
极大值
↘

∵g(1) = 1，∴y =的极大值为1，无极小值．
（2）当时，，．
∵在恒成立，∴在上为增函数．
设，∵> 0在恒成立，
∴在上为增函数．
设，则等价于，
即．
设，则u(x)在为减函数．
∴在（3，4）上恒成立．
∴恒成立．
设，∵=，xÎ[3，4]，
∴，∴< 0，为减函数．
∴在[3，4]上的最大值为v(3) = 3 -．
∴a≥3 -，∴的最小值为3 -．
（3）由（1）知在上的值域为．
∵，，
当时，在为减函数，不合题意．
当时，，由题意知在不单调，
所以，即．①
此时在上递减，在上递增，
∴，即，解得．②
由①②，得．
∵，∴成立．
下证存在，使得≥1．
取，先证，即证．③
设，则在时恒成立．
∴在时为增函数．∴，∴③成立．
再证≥1．
∵，∴时，命题成立．
综上所述，的取值范围为．