推理与证明高三复习练习.doc

推理与证明预测（一）
1.设，…，，n∈N，则
2.已知 ，猜想的表达式为
3.如一个凸多面体是n棱锥，则这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有对异面直线，则；f(n)= (用数字或n的解析式表示)
图4
…
4.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则； （答案用表示）
5.设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=____________；当时， ．（用表示）

（二）
1. ，观察以上两等式，请写出一个与以上两式规律相同的一个正确等式
2.若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是,那么对于双曲线则有如下命题: 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 .
3.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为________，这个数列的前n项和的计算公式为_______
4.若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是______________。
5.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论: 试通过类比,写出在空间中的类似结论
（三）
1. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为
2. 将演绎推理：在上是就减函数写成三段论的形式，其中大前提是

3.在△ABC中，，判断△ABC的形状并证明.

4.在DEF中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.

（四）
1.已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设
2.中，已知，且，求证：为等边三角形。

3.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大

4.△ABC三边长的倒数成等差数列，求证：角.

（推理与证明预测答案）2009
（一）
1.设，，n∈N，则

答案：，由归纳推理可知其周期是4
2.已知 ，猜想的表达式为
答案：，由归纳推理可知：，，
3.如一个凸多面体是n棱锥，则这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有对异面直线，则；f(n)=______(答案用数字或n的解析式表示)
答案：;8;n(n-2)。
解析：;;
图4
…
4.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）
答案：10，
图B
5.设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=____________；当时， ．（用表示）
答案：5，
解：由图B可得，
由，，，
，可推得
∵n每增加1，则交点增加个，
∴
．

（二）
1. ，观察以上两等式，请写出一个与以上两式规律相同的一个正确等式
（只要写出一个即可）
2.若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是,那么对于双曲线则有如下命题: 若在双曲线（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 .
设,,,则过P1、P2的切线方程分别是，
.因为在这两条切线上,故有,,这说明,在直线上,故切点弦P1P2的直线方程是.

3.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_3__，这个数列的前n项和的计算公式为_____
4.若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是_______________。
解析：由于本题是探索性和开放性问题，问题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不惟一。这题要把握住，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可容易得到a+（bc）=（a+b）（a+c）。正确的结论还有：（ab）+c=（ac）+（bc）,（ab）+c=（ba）+c等。

5. 在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论: 试通过类比,写出在空间中的类似结论 设ha,hb,hc，三棱锥A-BCD四个面上的高.P为三棱锥A-BCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为pa,pb,pc, 我们可以得到结论:

（三）

1. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 大前提是错误的
2. 将演绎推理：在上是减函数写成三段论的形式，其中大前提是
若，则函数在上是减函数
3.在△ABC中，，判断△ABC的形状并证明.
分析：

所以三角形ABC是直角三角形

4.在DEF中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.
分析 根据类比猜想得出.
其中为侧面为与所成的二面角的平面角.
证明： 作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：
，
同乘以，得

即
评注 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。

（四）
1.已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设 三个方程中都没有两个相异实根
证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.
相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，
（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0. ①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
方法总结：反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立
凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法

2.中，已知，且，求证：为等边三角形。
分析：由
由

所以为等边三角形
3.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为所以本题只需证明
证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明
为了证明上式成立，只需证明
两边同乘以正数，得
因此，只需证明
上式是成立的，所以
这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大
说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的

4.△ABC三边长的倒数成等差数列，求证：角.
分析：因为，
故要证明角即
只需证
又三边长的倒数成等差数列即
只需证
即
又
只需证
即证：
而上式显然成立
所以角
注意：本题也可用反证法