2016-2017学年贵州省贵阳市高一(上)期末数学试卷.docx

努力的你，未来可期！
20162017 学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
1．（4 分）已知集合 A={0，1，2}，B={2，3}，则集合 A∪B=（
A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{0，1，3}
）
2．（4 分）化简
÷（ b ）（a＞0，b＞0）结果为（
D．
）
A．a B．b C．
3．（4 分）正弦函数 f（x）=sinx 图象的一条对称轴是（
A．x=0 B． C． D．x=π
）
4．（4 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（
）
A．f（x）=sinx B．f（x）=x +1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx
2
5．（4 分）设 y =log 0.8，y =log 0.9，y =1.1 ，则有（
）
0.9
1
0.7
2
1.1
3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3
1
2
2
1
3
1
2
3
1
3
2
6．（4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，则 • =（
A．1 B． C． D．2
7．（4 分）如果 cos（π+A）=﹣ ，那么 sin（ +A）的值是（
A． B． C． D．
）
）
8．（4 分）要得到函数 y=sin（2x+ ）的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
）
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
9．（4 分）函数 y=f（x）在区间
的解析式可以是（ ）
上的简图如图所示，则函数 y=f（x）
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
A．f（x）=sin（2x+ ） B．f（x）=sin（2x﹣
D．f（x）=sin（x﹣ ）
） C．f（x）=sin（x+ ）
10．（4 分）对于函数 f（x），如果存在非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一
个值时，都有 f（x+T）=f（x），那么函数 f（x）就叫做周期函数，已知函数 y=f
（x）（x∈R）满足 f（x+2）=f（x），且 x∈[﹣1，1]时，f（x）=x ，则 y=f（x）
2
与 y=log x 的图象的交点个数为（
）
5
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
11．（4 分）学校先举办了一次田径运动会，某班有 8 名同学参赛，又举办了一
次球类运动会，该班有 12 名同学参赛，两次运动会都参赛的有 3 人．两次运动
会中，这个班共有
名同学参赛．
12．（4 分）溶液酸碱度是通过 pH 值刻画的，pH 值的计算公式为 pH=﹣lg[H ]，
+
其中[H ]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔 /升，纯净水中氢离子的浓度为
+
[H ]=10 摩尔/升，则纯净水的 pH=
．
7
﹣
+
13．（4 分）已知
，那么
=
．
14．（4 分）计算（lg2） +lg2•lg50+lg25=
．
2
15．（4 分）设 A，B 是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集
合 A 中的任意一个元素 x，在集合中 B 都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就
称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射，设 f：x→ 是从集合 A 到集
合 B 的一个映射．①若 A={0，1，2}，则 A∩B=
；②若 B={1，2}，则 A
∩B=
．
三、解答题（共 4 小题，满分 32 分）
16．（8 分）已知向量 =（1，0）， =（1，1）， =（﹣1，1）．
（Ⅰ）λ 为何值时， +λ 与 垂直？
（Ⅱ）若（m +n ）∥ ，求 的值．
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
17．（8 分）已知函数 f（x）=x﹣ ．
（Ⅰ）判断 f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
18．（8 分）已知函数 f（x）=sin + sin cos ．
2
（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若 x∈[ ，π]，求 f（x）的最大值与最小值．
19．（8 分）已知函数 f（x）=1﹣
（Ⅰ）求 a 的值；
（a＞0 且 a≠1）是定义在 R 上的奇函数．
（Ⅱ）若关于x 的方程|f（x）•（2 +1）|=m 有 1 个实根，求实数m 的取值范围．
x
四、阅读与探究（共 1 小题，满分 8 分）
20．（8 分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x ﹣ 的图象，写出图象特征，
2
并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．
阅读材料：
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合
百般好，隔裂分家万事休．
在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析
式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的
例子．
对于函数 y= ，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：
（1）在函数 y= 中，由 x≠0，可以推测出，对应的图象不经过 y 轴，即图象与
y 轴不相交；由 y≠0，可以推测出，对应的图象不经过 x 轴，即图象与 x 轴不相
交．
（2）在函数 y= 中，当 x＞0 时 y＞0；当 x＜0 时 y＜0，可以推测出，对应的图
象只能在第一、三象限；
（3）在函数 y= 中，若 x∈（0，+∞）则 y＞0，且当 x 逐渐增大时 y 逐渐减小，
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
可以推测出，对应的图象越向右越靠近 x 轴；若 x∈（﹣∞，0），则 y＜0，且当
x 逐渐减小时 y 逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近 x 轴；
（4）由函数 y= 可知 f（﹣x）=﹣f（x），即 y= 是奇函数，可以推测出，对应
的图象关于原点对称．
结合以上性质，逐步才想出函数 y= 对应的图象，如图所示，在这样的研究中，
我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特
殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，
传播研究数学的成果．
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
20162017 学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
1．（4 分）已知集合 A={0，1，2}，B={2，3}，则集合 A∪B=（
A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{0，1，3}
【解答】解：∵集合 A={0，1，2}，B={2，3}，
则集合 A∪B={0，1，2，3}，
）
故选：B．
2．（4 分）化简
÷（ b ）（a＞0，b＞0）结果为（
D．
）
A．a B．b C．
【解答】解：原式=
故选：A
=a，
3．（4 分）正弦函数 f（x）=sinx 图象的一条对称轴是（
A．x=0 B． C． D．x=π
【解答】解：f（x）=sinx 图象的一条对称轴为
）
+kπ，k∈Z，
∴当 k=0 时，函数的对称轴为
故选：C．
，
4．（4 分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（
）
A．f（x）=sinx B．f（x）=x +1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx
2
【解答】解：对于 A，是奇函数；
对于 B，是偶函数，不存在零点；
对于 C，非奇非偶函数；
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
对于 D，既是偶函数又存在零点．
故选：D．
5．（4 分）设 y =log 0.8，y =log 0.9，y =1.1 ，则有（
）
0.9
1
0.7
2
1.1
3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
3
1
2
2
1
3
1
2
3
1
3
2
【解答】解：y =log 0.8∈（0，1）；y =log 0.9＜0；y =1.1 ＞1，
0.9
1
0.7
2
1.1
3
可得 y ＞y ＞y ．
3
1
2
故选：A．
6．（4 分）已知正方形 ABCD 的边长为 1，则 • =（
）
A．1 B．
C．
D．2
【解答】解：
．
故选 A．
7．（4 分）如果 cos（π+A）=﹣ ，那么 sin（ +A）的值是（
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得：
）
，根据诱导公式可得 cosA= ，
所以
=cosA= ，
故选 B．
8．（4 分）要得到函数 y=sin（2x+ ）的图象，只需将函数 y=sin2x 的图象（
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
）
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【解答】解：由于函数 y=sin（2x+ ）=sin2（x+ ），
∴将函数 y=sin2x 的图象向左平移 个单位长度，可得函数y=sin（2x+ ）的图
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
象，
故选：B
9．（4 分）函数 y=f（x）在区间
上的简图如图所示，则函数 y=f（x）
的解析式可以是（
）
A．f（x）=sin（2x+ ） B．f（x）=sin（2x﹣
D．f（x）=sin（x﹣
【解答】解：由图象知 A=1，
） C．f（x）=sin（x+ ）
）
∵
= ，
∴T=π，
∴ω=2，
∴函数的解析式是 y=sin（2x+φ）
∵函数的图象过（
）
∴0=sin（2× +φ）
∴φ=kπ﹣
∴φ=﹣
，
∴函数的解析式是 y=sin（2x﹣
故选 B．
）
10．（4 分）对于函数 f（x），如果存在非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一
个值时，都有 f（x+T）=f（x），那么函数 f（x）就叫做周期函数，已知函数 y=f
（x）（x∈R）满足 f（x+2）=f（x），且 x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则 y=f（x）
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
与 y=log x 的图象的交点个数为（
）
5
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵函数 y=f（x）（x∈R）满足 f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为 2 的周期性函数，
又 x∈[﹣1，1]时，f（x）=x ．
2
根据函数的周期性画出图形，如图，
由图可得 y=f（x）与 y=log x 的图象有 4 个交点
5
故选：B．
二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）
11．（4 分）学校先举办了一次田径运动会，某班有 8 名同学参赛，又举办了一
次球类运动会，该班有 12 名同学参赛，两次运动会都参赛的有 3 人．两次运动
会中，这个班共有 17 名同学参赛．
【解答】解：设 A={x|x 是参加田径运动会比赛的学生}，B={x|x 是参加球类运动
会比赛的学生}，
A∩B={x|x 是两次运动会都参加比赛的学生}，
A∪B={x|x 是参加所有比赛的学生}．
因此 card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）=8+12﹣3=17．
故两次运动会中，这个班共有 17 名同学参赛．
故答案为：17．
12．（4 分）溶液酸碱度是通过 pH 值刻画的，pH 值的计算公式为 pH=﹣lg[H+]，
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
其中[H ]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔 /升，纯净水中氢离子的浓度为
+
[H ]=10 摩尔/升，则纯净水的 pH= 7 ．
7
+
﹣
【解答】解：由题意可得：该溶液的 PH 值为﹣lg10 =7
7
﹣
故答案为：7
13．（4 分）已知
，那么
，
=
．
【解答】解：因为
所以| |=
．
故答案为 ．
14．（4 分）计算（lg2） +lg2•lg50+lg25= 2 ．
2
【解答】解：原式=2 lg5+lg2•（1+lg5）+（lg2） =2 lg5+lg2（1+lg5+lg2）
2
=2 lg5+2 lg2=2；
故答案为 2．
15．（4 分）设 A，B 是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集
合 A 中的任意一个元素 x，在集合中 B 都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就
称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射，设 f：x→ 是从集合 A 到集
合 B 的一个映射．①若 A={0，1，2}，则 A∩B= {0，1} ；②若 B={1，2}，则
A∩B= {1}或∅ ．
【解答】解：①根据题意，A={0，1，2}，
通过对应关系 f：x→ ，B={0，1， }，
所以 A∩B={0，1}；
②根据题意，B={1，2}时，
过对应关系 f：x→ ，得
A={1}或{4}或{1，4}；
所以 A∩B={1}或∅．
故答案为：{0，1}，{1}或∅．
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
三、解答题（共 4 小题，满分 32 分）
16．（8 分）已知向量 =（1，0）， =（1，1）， =（﹣1，1）．
（Ⅰ）λ 为何值时， +λ 与 垂直？
（Ⅱ）若（m +n ）∥ ，求 的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵向量 =（1，0）， =（1，1）， =（﹣1，1）．
∴ =（1+λ，λ），
∵ +λ 与 垂直，∴（
解得 λ=﹣1，
）• =1+λ+0=0，
∴λ=1 时， +λ 与 垂直．
（Ⅱ）∵
=（m，0）+（n，n）=（m+n，n），
又（m +n ）∥ ，
∴（m+n）×1﹣（﹣1×n）=0，∴ =﹣2．
∴若（m +n ）∥ ，则 =﹣2．
17．（8 分）已知函数 f（x）=x﹣ ．
（Ⅰ）判断 f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）=x﹣ 的定义域是 D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），
任取 x∈D，则﹣x∈D，
且 f（﹣x）=﹣x﹣ =﹣（x﹣ ）=﹣f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数；
（Ⅱ）证明：设 x ，x ∈（0，+∞），且 x ＜x ，
1
2
1
2
则 f（x ）﹣f（x ）=（x ﹣ ）﹣（x ﹣ ）
1
2
1
2
=（x ﹣x ）+（ ﹣ ）
1
2
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
=
；
∵0＜x ＜x ，∴x x ＞0，
1
2
1 2
x ﹣x ＜0，x x +1＞0，
1
2
1 2
∴
＜0，
即 f（x ）＜f（x ），
1
2
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
18．（8 分）已知函数 f（x）=sin + sin cos ．
2
（Ⅰ）求 f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若 x∈[ ，π]，求 f（x）的最大值与最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）=sin + sin cos
2
=
+ sinx
= sinx﹣ cosx+
=sin（x﹣ ）+ ，
由 T=
=2π，
知 f（x）的最小正周期是 2π；
（Ⅱ）由 f（x）=sin（x﹣ ）+ ，
且 x∈[ ，π]，
∴ ≤x﹣ ≤
，
∴ ≤sin（x﹣ ）≤1，
∴1≤sin（x﹣ ）+ ≤ ，
∴当 x=
时，f（x）取得最大值 ，
x=π 时，f（x）取得最小值 1．
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
19．（8 分）已知函数 f（x）=1﹣
（Ⅰ）求 a 的值；
（a＞0 且 a≠1）是定义在 R 上的奇函数．
（Ⅱ）若关于x 的方程|f（x）•（2 +1）|=m 有 1 个实根，求实数m 的取值范围．
x
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣
∴f（0）=0，即 1﹣ =0，∴a=2；
（a＞0 且 a≠1）是定义在R 上的奇函数，
（Ⅱ）设 h（x）=|f（x）•（2 +1）|，g（x）=m，如图所示，
x
m=0 或 m≥1，两函数图象有一个交点，
∴关于 x 的方程|f（x）•（2 +1）|=m 有 1 个实根时，实数 m 的取值范围是 m=0
x
或 m≥1．
四、阅读与探究（共 1 小题，满分 8 分）
20．（8 分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x ﹣ 的图象，写出图象特征，
2
并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．
阅读材料：
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合
百般好，隔裂分家万事休．
在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析
式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的
例子．
对于函数 y= ，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：
（1）在函数 y= 中，由 x≠0，可以推测出，对应的图象不经过 y 轴，即图象与
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
y 轴不相交；由 y≠0，可以推测出，对应的图象不经过 x 轴，即图象与 x 轴不相
交．
（2）在函数 y= 中，当 x＞0 时 y＞0；当 x＜0 时 y＜0，可以推测出，对应的图
象只能在第一、三象限；
（3）在函数 y= 中，若 x∈（0，+∞）则 y＞0，且当 x 逐渐增大时 y 逐渐减小，
可以推测出，对应的图象越向右越靠近 x 轴；若 x∈（﹣∞，0），则 y＜0，且当
x 逐渐减小时 y 逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近 x 轴；
（4）由函数 y= 可知 f（﹣x）=﹣f（x），即 y= 是奇函数，可以推测出，对应
的图象关于原点对称．
结合以上性质，逐步才想出函数 y= 对应的图象，如图所示，在这样的研究中，
我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特
殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，
传播研究数学的成果．
【解答】解：（1）在 y=x ﹣ 中，x≠0，可以推测出：对应的图象不经过 y 轴，
2
即与 y 轴不相交，
（2）令 y=0，即 x ﹣ =0，解得 x=±1，可以推测出，对应的图象与 x 相交，
2
交点坐标为（1，0）和（﹣1，0），
（3）在 y=x ﹣ 中，当 0＜x＜1 时， ＞1＞x ，则 y＜0，当 x＞1 时， ＜1
2
2
＜x ，则 y＞0，可以推测出：对应的图象在区间（0，1）上图象在 x 轴的下方，
2
在区间（1，+∞）上图象在 x 轴的上方，
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
（4）在 y=x ﹣ 中，若 x∈（0，+∞），则
2
当 x 逐渐增大时 逐渐减小，x ﹣ ，逐渐增大，即 y 逐渐增大，所以原函数
2
在（0，+∞）是增函数，
可以推测出：对应的图象越向右逐渐升高，是单调递增的趋势，
（5）由函数 y=x ﹣ 可知 f（﹣x）=f（x），即函数为偶函数，可以推测出：对
2
应的图象关于 y 轴对称
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
y 轴不相交；由 y≠0，可以推测出，对应的图象不经过 x 轴，即图象与 x 轴不相
交．
（2）在函数 y= 中，当 x＞0 时 y＞0；当 x＜0 时 y＜0，可以推测出，对应的图
象只能在第一、三象限；
（3）在函数 y= 中，若 x∈（0，+∞）则 y＞0，且当 x 逐渐增大时 y 逐渐减小，
可以推测出，对应的图象越向右越靠近 x 轴；若 x∈（﹣∞，0），则 y＜0，且当
x 逐渐减小时 y 逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近 x 轴；
（4）由函数 y= 可知 f（﹣x）=﹣f（x），即 y= 是奇函数，可以推测出，对应
的图象关于原点对称．
结合以上性质，逐步才想出函数 y= 对应的图象，如图所示，在这样的研究中，
我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特
殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，
传播研究数学的成果．
【解答】解：（1）在 y=x ﹣ 中，x≠0，可以推测出：对应的图象不经过 y 轴，
2
即与 y 轴不相交，
（2）令 y=0，即 x ﹣ =0，解得 x=±1，可以推测出，对应的图象与 x 相交，
2
交点坐标为（1，0）和（﹣1，0），
（3）在 y=x ﹣ 中，当 0＜x＜1 时， ＞1＞x ，则 y＜0，当 x＞1 时， ＜1
2
2
＜x ，则 y＞0，可以推测出：对应的图象在区间（0，1）上图象在 x 轴的下方，
2
在区间（1，+∞）上图象在 x 轴的上方，
拼搏的你，背影很美！

努力的你，未来可期！
（4）在 y=x ﹣ 中，若 x∈（0，+∞），则
2
当 x 逐渐增大时 逐渐减小，x ﹣ ，逐渐增大，即 y 逐渐增大，所以原函数
2
在（0，+∞）是增函数，
可以推测出：对应的图象越向右逐渐升高，是单调递增的趋势，
（5）由函数 y=x ﹣ 可知 f（﹣x）=f（x），即函数为偶函数，可以推测出：对
2
应的图象关于 y 轴对称
拼搏的你，背影很美！