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初三部分难题解析
试卷三 旋转
24.（2012•铁岭）已知△ABC是等边三角形．
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．       
①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？______（填“是”或“否”），∠BOE=______度；
②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；
（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=AB′，AC=AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．

（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD与△ACE全等；根据三角形的内角和等于180°求出∠ABD与∠AEC的度数，再根据旋转角为20°求出∠BAE的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可；
②先利用“边角边”证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠AEC，再利用四边形ABOE的内角和等于360°推出∠BOE+∠DAE=180°，再根据等边三角形的每一个角都是60°得到∠DAE=60°，从而得解；
（2）先求出B′C′∥BC，证明△AB′C′是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的度数，然后分0°＜θ≤30°与30°＜θ＜180°两种情况求解．
【解析】
（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，△ABC是等边三角形，
∴AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE=20°，
在△ABD与△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∵θ=20°，
∴∠ABD=∠AEC=（180°-20°）=80°，
又∵∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°，
∴在四边形ABOE中，∠BOE=360°-80°-80°-80°=120°；

②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，
∴AB=AD=AC=AE，
∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，
∴∠BAD=∠CAE=θ，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°，
∴∠AEC+∠ABO+∠BAD=180°，
∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°，
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，
∴∠DAE+∠BOE=180°，
又∵∠DAE=60°，
∴∠BOE=120°；

（2）如图，∵AB=AB′，AC=AC′，
∴==，
∴B′C′∥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴△AB′C′是等边三角形，
根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），
=180°-（∠OBC+∠ACB+∠ACE），
=180°-（∠OBC+∠ACB+∠ABD），
=180°-（∠ACB+∠ABC），
=180°-（60°+60°），
=60°，
当0°＜θ＜30°时，∠BOE=∠BOC=60°，
当30°＜θ＜180°时，∠BOE=180°-∠BOC=180°-60°=120°．

练习册P90
3.如图，已知AB为圆O的直径，AD切圆O于点A,弧EC=弧CB，则下列结论不一定正确的是（）
解析：∵AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A， ∴BA⊥DA，故A正确； ∵EC=CB， ∴∠EAC=∠CAB， ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠ACO， ∴∠EAC=∠ACO， ∴OC∥AE，故B正确； ∵∠COE是CE所对的圆心角，∠CAE是CE所对的圆周角， ∴∠COE=2∠CAE，故C正确； 只有当AE=CE时OD⊥AC，故本选项错误． 故选D．

P90
8．（4分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（　　）

A．
2
B．
8
C．
2
D．
2
来源试卷：
浙江省嘉兴市2013年中考数学试题解析版
考点分析：
圆
答案解析：
考点：
垂径定理；勾股定理；圆周角定理．3718684
分析：
先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．
解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，
∴AC=AB=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r﹣2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，
∴AE=2r=10，
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴BE===6，
在Rt△BCE中，
∵BE=6，BC=4，
∴CE===2．
故选D．

点评：
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
P91
13.如图,AB是圆O的弦,AB长为8,P是圆O上一个动点(不与A,B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD长为？
解：因为OC⊥AP
所以AC=CP(垂径定理)
因为OD⊥BP
所以DP=BD
所以CD是△BP的中位线
所以CD=AB/2=4

P92
19.如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1）。过点P（0，－7）的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有（　）条.

A．1　　　   B．2　　　   C．3　　　   D．4　

试题分析：当CD与OB垂直时（如图1），弦CD最短，由P（0，-7），B（0，-4）得BP=3，连接BD，在△BPD中，由勾股定理得PD=4，由垂径定理得CD=8，在⊙B中最长的弦为直径长度为10，又因为CD长为整数，所以CD可取值为8、9（两条）、10，所以共有这样的弦4条。整数值有3个（如图2）.

P95
14.如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（　　）

A．
cm
B．
cm
C．
cm
D．
4cm
考点：
圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
分析：
连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．
解答：
解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），
∴=，
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
∴△AOF≌△OED，
∴OE=AF=AC=3cm，
在Rt△DOE中，DE==4cm，
在Rt△ADE中，AD==4cm．
故选A．
点评：
本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．