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理论力学答案谢传峰版 修订版IBMT standardization office IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18稔力学1-3试画出图示各结构中构件AB的受力图1-4试画出两结构中构件ABCD的受力图FDFDX1-8在四连杆机构的ABCD的钱链B和C上分别作用有力Fi和F2,机构在图示位置平衡。试求二力Fi和F2之间的关系。解：杆AB,BC,CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1（解析法）假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如皆 由共点力系平衡方程，对B点有:Z6=0 7-FBCCOS45=0对C点有:IX=&C-巧 cos300=0解以上二个方程可得:片=孚尸2=163尸2解法2 几何法）分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封 闭的力多边形，如图所示。对B点由几何关系可知:约=/ccos45FAB45：对C点由几何关系可知:FCDFBCFlFBC=Fl cos30解以上两式可得：F1=1.63F22-3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。解：BC为二力杆（受力如图所示），故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能 使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体针为正）：国玖VI5a.sin（e+45-=0MFA=0.354a其中：tan=-o对BC杆有:3Fc=Fb=Fa=0.354 o A,C两点约束力的方向如图所示。2-4四连杆机构在图示位置平衡，已知0A=60cm,BC=40cm,作用在BC上力偶的力偶矩M2=IN mo试求作用在0A上力偶的力偶矩大小Mi和AB所受的力FAB。各杆重量不计。解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点“C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有：ZM=OFgBCsin30-M2=0对AB杆有：FB=FA 对0A杆有:ZM=0M1-FAOAO求解以上三式可得：M=3N.m,FAB=F0=FC=5N,方向如图所示。今沿其边作用大小均为F的力耳,？2，为，方向如图a,b2-6等边三角形板ABC,边长为a,解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为:-Fi+Fj2 2,_ 1 _,3；，F3=-Fi+-Fj先将力系向A点简化得（红色的）：FR=Fi+43Fj,MA=?Fak方向如左图所示。由于冗，而小 可进一步简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢不 变，其作用线距A点的距离4=，位置如左图所示。42-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：FR=-2Fi其作用线距A点的距离=心，位置如右图所示。4简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果?2-13图示梁AB 一端砌入墙内，在自由端装有滑轮，用以匀速吊起重物D。设重物重为P,AB长为斜绳与铅垂方向成戊角。试求固定端的约束力。法1 解:整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：*二0 Psina+FBx=OFy=0 FBy-P-Pcoscr=0选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程:Z/=FAx-FBX=Q1=0 FAy-FBy=O=。MA-FByl=0求解以上五个方程，可得五个未知量心，心y，4%，吊y，”A分别为:FAx=FBx=-Psina（与图示方向相反）项产为=2（1+95口）（与图示方向相同）MA=尸（1+cos。）/（逆时针方向）法2解：设滑轮半径为R。选择梁和滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程:Fx+Psina=0IX=。Fy-P-Pcosa=0RMA-P(l-R)-PcosaQ-R)-Psina-tan 20求解以上三个方程，可得及/叱心分别为:=-Psina（与图示方向相反）FAy=P(l+coscif)（与图示方向相同）MA=P(l+coscr)Z（逆时针方向）2-18均质杆AB重G,长/,放在宽度为a的光滑槽内，杆的B端作用着铅垂向下的力K如图所示。试求杆平衡时对水平面的倾角。解:选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：、M-n ND 一-G-cosa-Fdcosa=0乙 Au cosa 2二 Nj）cosa-G-F=0求解以上两个方程即可求得两个未知量N。，其中：1a=arccos-2(尸+G)Q J(2F+G)/未知量不一定是力。2-27如图所示，已知杆46长为乙 重为R/端用一球较固定于地面上，方端用绳索W 拉住正好靠在光滑的墙上。图中平面水火与。彩夹角为。，绳与轴公的平行线夹角为，已知=0.7%,c=0.4孤tana=45,尸=200N。试求绳子4的拉力及墙的约束力。解：选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程：=0 P-ctLna-FBC cosd-C-FBC sin-ctancif=0y 2FBC=60.6N=0 P -FB c 一%sin 6 a=0 线=100N由Z Fy=0和Z工=可求出产廿鼠。平衡方程=。可用来校核。思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？D2-29图示正方形平板由六根不计重量的杆支撑，连接处皆为钱链。已知力方作用在平面BDEH内,并与对角线切成45。角,OA=AD.试求各支撑杆所受的力。解：杆1,2,3,4,5,6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程：-COS45=00=0 一线cos45/cos450cos450 =0 6-?拉）MBH=4-cos45-a-F6cos45-a=0 4-2（受压）MAD=。R +%cos45 a-7/sin45 a=（）Fi=/1 2（受压）MD=0 Fi-a+F2-a-F sin 450-a=0 g一 2,（受拉），M巾=0 F2 a+F a-Fcos450-a=0%=0本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本 题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避 免求解联立方程。2-31如图所示，欲转动一置于V形槽中的棒料，需作用一力偶，力偶矩M=1500N-cmo已知棒料重尸二 400N,直径。=25皿。试求棒料与V形槽之间的静摩 擦因数人。解：取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：yF=。五i+pcos45-N2=0 工一夕sin45。+乂=。=0（耳+尸2）-加二。J I 2补充方程：F2-fsN2五个方程，五个未知量可得方程:2M-42pDfs+2M=0解得0.223,人2=4.491。当九=4.491 时有：N、=/（1一人2）6Q+於2）0即棒料左侧脱离V型槽，与题意不符，故摩擦系数八=0223。2-33均质杆力以长40cm,其中/端靠在粗糙的铅直墙上，并用绳子切保持平衡，如图所 示。设8C=15cm,AO=25cm,平衡时。角的最小值为45。试求均质杆与墙之间的静摩 擦因数工。解:当夕=45时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:斗=。2MA=0FN Tsin8=0Fs+T cos。一=0_ _ ABT cos ACC sin a-T sin ACcosa-p-sin a=02附加方程：Fs=FN四个方程，四个未知量厂N，4,7,fs,可求得 SMG o2-35在粗糙的斜面上放着一个均质棱柱体，4方为支点，如图所示。若A5=5C=AC,人和夕于斜面间的静摩擦因数分别为九和九，试求物体平衡时斜面与水平面所形成的最 大倾角a。解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a,重为P,列平衡方程IX=。MB=o 二0口 D I D a AFNR a-Pcosa-Psma=0他 2 273-FNA,a+P cos a,F P sin CL 产0NA 2 2 百FA+FB-Psina=0如果棱柱不滑动，则满足补充方程七=FNA时处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量%/泌，七，/NB,其中:tana=亚外+九）启-九+2百(1)当物体不翻倒时尸独2,贝 J：2,MR=0 2Q 尸 2a=0 Fy=-FZ%=FAXFBXF=O由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：ZX取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:2C=。FBX a+FBy Q-注 sin 450 Q=0 Bx代入公式可得：口 _ F3-24均质杆力内可绕水平轴力转动，并搁在半径为的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子力。拉在销钉力上，杆重16N,AB=3r,AC=2r o试求绳的拉力 BN2解：取杆AB为研究对象，设杆重为P,受力如图所示。列平衡方程:A-MG 4M V3r-p-cos60=0 2F-sin 60=03+Nicos600-P=0%=6.93(N)FAX=6(N)FAy=12.5(N)取圆柱c为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:2己二。A1cos300-rcos300=0 T=6.93(N)注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对 销钉的作用力。3-27均质杆力夕和 以完全相同，力和方为钱链连接，。端靠在粗糙的墙上，如图所示。设静摩擦因数 二0-353。试求平衡时。角的范围。解：取整体为研究对象，设杆长为L,重为P,受力如图所示。列平衡方程：z%=。(1)取杆BC为研究对象,FN-2Lsin0-2P-cos0=0受力如图所示。列平衡方程:2 tan 0/Lsine+P：cos。aicose=0 Fs=PFNFN补充方程：工4九网,将式和式代入有：tan9?即。10。23-30如图所示机构中，已知两轮半径量尺二10。机，各重尸=9N,杆/。和 以重量不计。轮与地面间的静摩擦因数工=。2,滚动摩擦系数5=。.1。机。今在夕。杆中点加一垂直力Fo试求：平衡时尸的最大值5ax；当b二41ax时，两轮在和点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：以砥=0 优4=。FSD _ FSE=0FND+FNE-F-2P=a由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力尸，以及B和C处的约束力演MDFNDFNE取轮A为研究对象，受力如图所示，设/AC的作用线与水平面交于F点，列平衡方程:2 方=。取轮B为研究对象,FSD R M)=0(FND-P)R-MD=O受力如图所示，设弓的作用线与水平面交于G点，列平衡方龊=ME-FSE.R=0ZG=0 ME+(P-FNE)-Rtn0=O解以上六个方程，可得：1 3FND=p+P FNE=P+FFSD=FSE=MD=ME=；FR若结构保持平衡，则必须同时满足：MD SFND,MEBFNE,FSD/SFND,FSE fsFNE即:F min4b43p p4P 4fspR-5 R-3B因此平衡时产的最大值&-=。36,止匕时:FSD=FSE=0.091(A),MD=ME=0.91(-cm)3-35试用简捷的方法计算图中所示桁架1,2,3杆的内力。解:由图可见杆桁架结构中杆CF,FG,EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象,受力如图所示，列平衡方程:EMc=o为cos。6+FH 4-FG-3=0%14.58(n0(受拉)1=0一 F、sin F3 FH 0为二-31.3（受拉）0+司 cos。-FQ-Q 约=41.67（受压）3-38如图所示桁架中，力比双 为正八角形的一半，AAAMGCGB各杆相交但不连接。试求杆理的内力。解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：F-FCD=0 几。=尸（受压）取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:Z玲=。IX=。FBC COS45-FCD-FCG COS。=0FBC sin 45+FCGsin=0tan二上型其中：2+V2,解以上两个方程可得:FBC=0.586 尸（受压）3-40试求图中所示桁架中杆1和2的内力。解:取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:EMA=OFB-2a-F-2a-F=0 FB=2.5F用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：7 一MC=0 FB-a+F-a-F3a=Q F2=-F（受拉）FX=U 2/片=0 片=耳（受拉）4-L力铅垂地作用于杆/。上，A=680,CO】=5001。在图示位置上杠杆水平，杆。与龙垂直。试求物体M所受的挤压力时的大小。解：1.选定由杆OA,0,DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的 主动力为广，时。2.该系统的位置可通过杆0A与水平方向的夹角夕完全确定，有一个自由度。选参数夕为 广义坐标。3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆0A有一个微小的转角加，相应的各点的虚 位移如下：6rA OA-39?5rB OB-30?5rc=OC dO代入可得：SrA=3Q8rESrD OyD 39,SrB=Sr(j4,由虚位移原理工所（月）=有:F-6rA-FM-6rE(3QF-FM3rE=0对任意频w0有：%=30/，物体所受的挤压力的方向竖直向下。4-4如图所示长为/的均质杆力以，其力端连有套筒，又可沿铅垂杆滑动。忽略摩擦及套筒 重量，试求图示两种情况平衡时的角度夕。解：4a1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角夕完全确定，有一个自由度。选参数夕为广义 坐标。由几何关系可知:h=tane杆的质心坐标可表示为：ZQ=-COS gtan 9 23.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度阴，则质心C的虚位移：Szc=-电+,sing 第sin2 24.由虚位移原理汇所（石）=有：-P&C=尸(-M+sing)电=0sin2 6 2对任意59 w。有：-F-sin6=0sin2 6 2即杆AB平衡时：6=arcsin(-)3解:4b1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角夕完全确定，有一个自由度。选参数夕为广义坐标。由几何关系可知：RZ八 sing杆的质心坐标可表示为：R sin/9-cose 23.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度加，则质心C的虚位移：8zc=-cos8 39 Hsine-SOsin2 6 24.由虚位移原理工所（月）=有:RP-5zc=-P -scos夕 dsin 夕）电=0sin2 6 2对任意9 wO有:与一cos 夕+sin9=0sin2 6 2即平衡时夕角满足：27?cos-Zsin3=0oa4-5被抬起的简化台式打字机如图所示。打字机和搁板重P,弹簧原长为3,试求系统在。角保持平衡时的弹簧刚度系数值。解：1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力百，入，且百=入，将弹簧力视 为主动力。此时作用在系统上的主动力有百，死，以及重力尸。2.该系统只有一个自由度，选定夕为广义坐标。由几何关系可知：工与=zB=a-sin O3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移加，则质心的虚位移为：3z(j 应人=5ZB=a cos 3-39 l=2asin 弹簧的长度 2,在微小虚位移刀下:81=6zcos S3 24.由虚位移原理汇(月)=有:P Sz(j F-Sl=(Pa-cos 9Fa cos)(5=0F2 k(2a sin)其中 2 2,代入上式整理可得:0 02Pcos9 ka(2sin0 cos)=0由于“w。，对任意QwO可得平衡时弹簧刚度系数为:7 2尸cosek=-Q-a(2sin 0 cos)4-6复合梁力的一端砌入墙内，方点为活动较链支座，。点为钱链，作用于梁上的力片二5左N,凡二4左N,工=3左N,以及力偶矩为/=2左N加的力偶，如图所示。试求固定端力处的约束力。解：解除A端的约束，代之以%，人,并将其视为主动力，此外系统还受到主动力的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移“弘和梁AC的转角。为 广义坐标。1.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移&A ，A=，丽二,如图所示。由虚 位移原理*(月)=有：FAX 烝 A=对任意品A二0可得：入x=2.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移&A=O，A。，丽二,如下图所示。由 虚位移原理汇所(6)=有：-Ay,A+g*+F2,3y/2 F3,+M,80 0(1)由几何关系可得各点的虚位移如下:血=双=WAa2=B0=Jyc=代入式：(f+召+次-凡+京)应=0对任意小A WO可得：工，=4(&V),方向如图所示。3.在不破坏约束的前提下给定一组虚位移&A=，A=。，丽如上图所示。由 虚位移原理汇所=有：-MA+F1dy1+F2dy2-F3dy3+M-39=0有几何关系可得各点的虚位移如下：力=2&p Sy、=yc=3&p80 Bep 今 2 SO Sep代入式：(MA+2 巧+F2 3F3+M)&p=0对任意演二可得:MA=7(kN-m),逆时针方向。4-7图示结构上的载荷如下：q=2kN,m、力耳二4左N；力工二12kN,其方向与水平成 6。角；以及力偶，其力偶矩为=18左相。试求支座处的约束力。解：将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷厂3,大小为64。1.求支座B处的约束力解除B点处的约束，代之以力丹，并将其视为主动力，系统还受到主动力月，鸟，乙，河 的作用，如图所示。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。系统 有一个自由度，选转角夕为广义坐标。给定虚位移加,由虚位移原理汇3y（月）=有：FB SrB cos45-SO+F2 dy2 cosl50-F3 Sy3=Q 各点的虚位移如下：SrB=672 SOdy2 3 80为 2=9 89代入式整理可得:6FB+M-F2-3F3)-39=0对任意QW。可得：入=18.6 左N,方向如图所示。2.求固定端A处的约束力解除A端的约束，代之以入尸尸2加人，并将其视为主动力，系统还受到主动力与，尸2,后，/的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移/，力和梁AC的转角夕为广义 坐标。2a.求在不破坏约束的前提下给定一组虚位移风工伪4=庭二,此时整个结构平移，如 上图所示。由虚位移原理工所（与）=有：-SXA+F1-3X1+F2-6X2 cosl20=0各点的虚位移如下:代入式整理可得：（乃Lx+巧。.5七）%=。对任意苏A N 可得：FAx=2（kN,方向如图所示。2b.求 Fy在不破坏约束的前提下给定一组虚位移风=。，万人/。,宓=0,此时梁AC向上平 移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理汇所（月）=有：FAy _3 a3+&2cos30-M-S0=0(3)各点的虚位移如下：今2=a3=JaC=今A加=；今2=今A3。代入式整理可得:1 C 1(FAy-万0+飞-0一不)今A=0对任意方A W 可得：/Ay=3.8 左N,方向如图所示。2c.求 MA在不破坏约束的前提下给定一组虚位移 与=。,力人=。,电工。，此时梁AC绕A点转 动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理所（月）=有:-MA.M+石.西+丘属2cos 12 0。=0各点的虚位移如下:5xx=3d96x2&C=6 9代入 4 式整理可得:(-MA+3F1-3F2)-39=0对任意w。可得：MA=-24 kN，ni,顺时针方向。4-8设桁架有水平力耳及铅垂力工作用其上，且AD=DC=CE=BE=DK=KE,。=30。试求杆1,2和3所受的力。解：假设各杆受拉，杆长均为a。1.求杆1受力去掉杆1,代之以力身，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角夕为广义坐标，如 上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转 动，因此有防工无方，打,才衣，且：SrD=a。S9,drK=y3a-39滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。三角形BEK绕B点旋转外,石石，且：Sr=Srjj=a 80对刚性杆CD和杆CE,由于与工方，打上庵，因此其=。由虚位移原理 汇所（月）=0有：（巧+d cos60+月五 cos60=0代入各点的虚位移整理可得：(n+26)“窈=0对任意加。可得：p、T（受压）。2.求杆2受力去掉杆2,代之以力巴，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角夕为广义坐标，如 上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有rKAKf 且：STK=V36Z-80同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转打,方左，且：6r=a 89 8r=3丫口=a,39杆AD绕A点转动 防 工才方，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示，且：SrD SrE=a-39同理可知3忆=。由虚位移原理汇所（月）=有:石 6rD cosl20+乃 cosl50+e应 cosl20=0代入各点的虚位移整理可得：（石 彭=0P 泣对任意的工0可得：2 6（受压）。3.求杆3受力去掉杆3,代之以力鸟，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角e为广义坐标，如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，SrD AD,5rK AK?且：=a 彭，rK=V36Z SO同理可知B点不动，SrE V BE 且:6rE=SrD=a SOSr(j=0由虚位移原理工所（月）=有:F-3rD cos60+SrE cosl50+乌 SrK cosl20=0代入各点的虚位移整理可得:（用一2公七）39=0P二正区 对任意工。可得：3 6（受拉）。4-L2杆长2b,重量不计，其一端作用铅垂常力方，另一端在水平滑道上运动，中点连接弹簧，如图所示。弹簧刚度系数为k,当二0时为原长。不计滑块的重量和摩擦，试求平衡位置V,讨论此平衡位置的稳定性。解:F大小和方向不变，常力也是有势力。取杆和弹簧构成的系统为研究对象。该系统为保守系统，有一个自由度，选夕为广义坐标，如图所示。取e=。出重执能於售 刖玄纬春 任意位置的势能为：V=垮单+VF1 7=k(b cosg)F(2b 2 cosg)=g k?(1-cosS)2-2Fb(l-cosS)由平衡条件嗡=可得:bkb(l cosg)-2F sin 9=0有：sin9=0和左伏1-cosS)2户=。2F即：9=0和cos9=1kb也就是：y=。和y=八版F 两个平衡位置。为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数:d2V 2一?=kb-2F)bcos0-k仔 cos29 dO2当夕=0时，d2V d0=-2Fb 0即y=?F*b F 是稳定平衡位置；2.当cos8=l 生且湿74尸时，kbA 0即y Jgkb F 是不稳定平衡位置。4-15半径为厂的半圆住在另一半径为A的半圆柱上保持平衡，如图所示。试讨论对无滑动的滚动扰动的稳定性。解:/取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半圆心连 线与y轴夹角夕为广义坐标。作用在半圆柱上的主 动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中h=-o由于半圆柱作纯滚动，有：37rj3r=9R(1)取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为:4-KV=mgz(j=mg(R+r)cos/9-cos(jff+夕)37r代入（1 式有:4r R+rV=mg(R-r)cos-cos(-9)37r rdV 4 R+y=sin(-夕)一sin 9dO 37r r由平衡条件把=0可得夕=0为平衡位置。势能V的二阶导数:ded2V/4(1?+)R+r n 口.-=mg(R+r)-cos(-9)cos6rldO1 3%r r由上式可得当尺（/1,9=0是稳定的。努力学习吧!动力学1-3解:运动方程：y=1 tan0，其中6=后。将运动方程对时间求导并将0=30代入得W _ Ik _ 41k cos2 0 cos2 0 321k2 sme _ 8而左2*Icos3 0 9I-6证明：质点做曲线运动,所以质点的加速度为：=q+%,设质点的速度为y,由图可知:3。=上=所以：v a vyo将匕=C，4 nv2p代入上式可得v3a cp证毕1-7证明:因为v2P=-为所以:_ V3an=asin。=x证毕1-10解：设初始时，绳索AB的长度为3时刻/时的长度为s,则有关系式:=L 一 丫0，并且 512=l2+X2将上面两式对时间求导得:s=-v0,2ss-2xx由此解得：-胆(a)式可写成：丘=-将该式对时间求导得:xx+x1=-svG=VQ(b)将(a)式代入(b)式可得：4=工=日二=雪(负号说明滑块A的加速度向上)x -J取套筒A为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有:ma=歹+心+mg将该式在羽丁轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：mx=mg-Fcosffmy=一方 sin。+FN其中:cos 0=X,sin 0=v 0将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得:F=m(g+解：设B点是绳子AB与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以以二旗，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等，即：VB=VACOS0(a)因为2三(b)将上式代入（a 式得到A点速度的大小为:xvA=coRG-R2(c)由于力=-兑，（c 式可写成：JCG-R2=CDRX，将该式两边平方可得:X2(X2 一 R?)=2R22将上式两边对时间求导可得:2xx(x2-R2)-2xx3=2a)2R2xx将上式消去2,后，可求得:._ G2H41X=(X2-R2)2(d)由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为 屋=2R，x2-R2 2取套筒A为研究对象，受力如图所示,根据质点矢量形式的运动微分方程有:ma-F+FN+mg将该式在羽y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：mx=-FcosOmy=Fsind FN-mg其中:smO=-,cosO=._ CD2R4XX=(X2-7?2)2j=。xx将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得F _ ma)2R4x2(x2-/?2)1FN=mg-mco2R5x(x2-R2)1-13解：动点：套筒A；B动系：0C杆;定系：机座；运动分析：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理va=ve+vr有：va COS(P=Ve因为AB杆平动，所以Va=U，由此可得：ycos0=Ve，0C杆的角速度为力二9，OA=,所以刃=睫 OA cos I当=45时，0C杆上C点速度的大小为:解：动点：销子M动系1：圆盘动系2：0A杆定系：机座;运动分析:绝对运动：曲线运动相对运动：直线运动牵连运动：定轴转动根据速度合成定理有匕2=匕2+匕2由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即嗔2=叭1，由上两式可得:匕1+匕1=匕2+匕2将（a 式在向在x轴投影，可得:-velsin30=-ve2sin300+vr2 cos 30由此解得:1 。八1%=tan3。（匕2 f）=OM tan30M-例）=贵 3-9 =-0.4m/5ve2=OM02=0.23%=%=7ve2+K2=0.529m/.y1-17解：动点：圆盘上的C点;动系：CM杆;定系：机座;运动分析：绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动（平行于01A杆）；牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理有将（a 式在垂直于01A杆的轴上投影以及在01C轴上投影得:va cos 30=ve cos 3。,va sin30=vr sin 30Ve=RO)Va=RCOVeCDy-OjC=0.5 2R根据加速度合成定理有将（b 式在垂直于01A杆的轴上投影得-aa sin 30=a；cos 30+a；sin 30-ac其中：4=R2,a&=2Ra)；,ac 2Gl由上式解得：4=且=旦22R 12d C C I1-19解：由于ABM弯杆平移，所以有A M f A M取：动点：滑块M；动系：0C摇杆;定系：机座;运动分析:绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动;牵连运动：定轴转动。根据速度合成定理可求得:VM=vA=va=V2ve=0b =2V2m/s,vr=bco=2mzsU=逑琦必O.A 1.5根据加速度合成定理；+；=；+；+r 十 分 a a C c 1将上式沿与方向投影可得:Q：cos 45-sin 45=Q：+ar a d c Lx由于 a：=g：/=,a=ab=Im/s2,ac=2covr=8m/s2,根据上式可得:al=+772=15.23 m/s2%=生=10.16 rad/s2a 3,I1-20解：取小环M为动点，OAB杆为动系运动分析绝对运动：直线运动;相对运动：直线运动;牵连运动：定轴转动。由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示,其中：rcov。=OMco=-=2ra)e cos60根据速度合成定理：.二.+匕可以得到：=tan-2rco tan 600=2y3rco，匕=-=4r(va e r COS60加速度如图所示，其中:ae=OM?cos60=2r之ac=2covr=8n2/根据加速度合成定理:将上式在元轴上投影，可得：4 cos。=一4 cosS+a。,由止匕求得：4=14921-21解：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。取：动点：汽车B；L/%动系：汽车A Ox，y，）；定系：路面。运动分析绝对运动：圆周运动;相对运动：圆周运动;牵连运动：定轴转动（汽车A绕。做定轴转动）求相对速度，根据速度合成定理几=V+vrdel将上式沿绝对速度方向投影可得：Va=-Ve+Vr因此 vr=ve+va其中：va=vB,ve=a)RB,G=KA由止匕可得：v=-vA+%=ni/s7?4 93求相对加速度，由于相对运动为圆周运动,相对速度的大小为常值，因此有:24=Q：=1.78m/s2RB1-23质量为加销钉M由水平槽带动，使其在半径为的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速v向上运动，不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉M上的约束力。解：销钉M上作用有水平槽的约束力方和圆槽的约束力方。（如图所示）。由于销钉M的运动是给定的，所以先求销钉的加速度，在利用质点运动微分方程求约束力。取销钉为动 点，水平槽为动系。由运动分析可知销钉的速度图如图所示。根据速度合成定理有va=ve+vr由此可求出：匕=1=O再根据加速度合成定理有：COS0 COS0由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以=0,并且上式可写成:=ar因为：=且=!,所以根据上式可求出：Q；=：tane=立吧 r rcos 0 rcos 0根据矢量形式的质点运动微分方程有:ma1+a=F+FO+mg将该式分别在水平轴上投影：sin。+a：cos。）=Fo cos/9由此求出:mv2 rcos4 01-24图示所示吊车下挂一重物M,绳索长为/,初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均加速度沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角。的关系式。解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物M为动点。根据质点相对运 动微分方程有mar=F mg+Fe将上式在切向量方向投影有ma=mlO=-mg sin3+Fe cos 0因为尸=ma=ma,0=g.%.=0-,所以上式可写成e e dt 60 dt d。.d3m/e而=-mg sinO macosO整理上式可得lOdd-gsinOdO+acosOdO将上式积分：I.万。=gcos3+asm0+c其中。为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度匕=/心 上式可写成2=gcosO+asinO+c 初始时8=0，系统静止，Va=Ve=。，根据速度合成定理可知匕=。，由此确定=-g。重物相对速度与摆角的关系式为：v；=2/g(cos6 l)+asin 例1-26水平板以匀角速度/绕铅垂轴。转动，小球M可在板内一光滑槽中运动（如图7-Ro时的相解：取小球为动点，板为动系，小球在水平面的受力如图所示（铅垂方向的力未画出）。根据质点相对运动微分方程有：“r=2歹+用将上式在匕上投影有 ma；=机=F cos0r dt e因为臬=样小,也=幺空，包 cose,所以上式可写成 dt dR dt dtmvr cosO1-=mRco2 cos。r dR整理该式可得:将该式积分有:为工2A2+c 2 r 2初始时H=%,匕=0,由此确定积分常数c=因此得到相对速度为匕二N R2-母）1-27重为P的小环M套在弯成冷=片形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴x以匀角速度/转动，如图所示。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。解：取小环为动点，金属丝为动系，根据题意，相对平衡位置为4=0,因为金属丝为曲线，所以匕=0,因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。小环受力如图所示。其 中凡乙，尸分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。根据质点相对运动微分方程有:F+E+P=O其中：Fey2,将上式分别在轴上投影有 gP-FsinO=0Fe-FcosO=(以为tan。=一电，y=-y =2y 因止匕 dx x Ax xtan。(b)由（a 式可得tan。p下e(c)将臬=丁加和式小）代入式（。,并利用孙=/g,可得:x=3(4 2、c CO再由方程（a 中的第一式可得F=P sinO2-1解：当摩擦系数/足够大时，平台AB相对地面无滑动，此时摩擦力方乃取整体为研究对象，受力如图,系统的动量：尸二加2匕将其在x轴上投影可得：px=m2vr=m2bt根据动量定理有:=m2b=F cos)根据动量定理有:=(m+mx-mJ2 sin =-F=-kx dt系统的运动微分方程为:(m+mx+kx=mJ co2 sincot2-4 取提起部分为研究对象，受力如图(a)所示，提起部分的质量为根=小匕提起部 分的速度为v，根据点的复合运动可知质点并入的相对谅唐为，方向向下，大小为v(如图a所示)。A(a)(b)根据变质量质点动力学方程有:dv、dm、/、m=F(0+mg+vr=F(t)+(pvt)g+vvpv dt dt将上式在y轴上投影有:m=F(0-(pvt)g-vrpv=F(t)p(vgt-v2)dt由于处=0，所以由上式可求得：F(t)=p(vgt+v2)o dt再取地面上的部分为研究对象，由于地面上的物体没有运动，并起与提起部分没有相 互作用力，因此地面的支撑力就是未提起部分自身的重力，即：FN=Q vt)pg2-5 将船视为变质量质点，取其为研究对象受力如图。根据变质量质点动力学方程有:dv dmm=F+mg+FN+vr dt dt船的质量为：m=m。一qt，水的阻力为将其代入上式可得:/x dv-qt)-jv+mg+FN-qvr at将上式在x轴投影：（人/）曳=介式匕）。应用分离变量法可求得 dtfIn匕一力0-ln(m0-qt)+c q由初始条件确定积分常数：c=ln vr-In加0,并代入上式可得:q夕匕2-8图a所示水平方板可绕铅垂轴z转动，板对转轴的转动惯量为1,质量为用的质点沿半径为R的圆周运动，其相对方板的速度大小为（常量）。圆盘中心到转轴的距离为质点在方板上的位置由0确 定。初始时，0=0，方板的角速度为零，求方板的角速度与。角的关系。图b图a解：取方板和质点为研究对象，作用在研究对象上的外力对转轴z的力矩为零，因此系统对z轴的动量矩守恒。下面分别计算方板和质点对转轴的动量矩。设方板对转轴的动量矩为乙，其角速度为，于是有Ly JCD 设质点M对转轴的动量矩为人，取方板为动系，质点M为动点，其牵连速度和相对速度分别为，匕。相对速度沿相对轨迹的切线方向，牵连速度垂直于0M连线。质点M相对惯性参考系的绝对速度%=叭+吗。它对转轴的动量矩为L2=L2(mvJ=L2(mve)+L2(mvr)其中：L2(mve)=mr2co=m(Z+7?cos)2+(Hsin0)20L