初中数学弧长与扇形的面积经典题.doc

弧长与扇形面积　
一．选择题（共12小题）
1．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长（　　）
A．2π B．π C． D．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则阴影部分图形的面积为（　　）
A．4π B．2π C．π D．
4．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．+ B．+π C．﹣ D．2+
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（　　）
A．π B．4π C．π D．π

6．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．如图，在矩形ABCD中，CD=1，∠DBC=30°．若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣

8．如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．

8 9 10
9．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π B．π C．π D．π
10．如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（　　）
A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm
11．如图，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（　　）
A．3π B． C． D．4π
12．如图，水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6cm，且OA与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至点A再一次接触地面，如图（乙）所示，则O点移动了（　　）cm．
A．11π B．12π C．10π+ D．11π+

二．填空题（共8小题）
13．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是　　　　　　．
14．如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　　　　　　（结果保留π）．

15．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为　　　　　　．
16．为美化小区环境，决定对小区的一块空地实施绿化，现有一长为20m的栅栏，要围成一扇形绿化区域，则该扇形区域的面积的最大值为　　　　　　．
17．如图，某实践小组要在广场一角的扇形区域内种植红、黄两种花，半径OA=4米，C是OA的中点，点D在上，CD∥OB，则图中种植黄花（即阴影部分）的面积是　　　　　　（结果保留π）．
18．如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为　　　　　　．

19．如图，矩形ABCD中，BC=2AB=4，AE平分∠BAD交边BC于点E，∠AEC的分线交AD于点F，以点D为圆心，DF为半径画圆弧交边CD于点G，则的长为　　　　　　．
20．（2015•安岳县二模）如图，在直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（﹣1，1），D（1，1）．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中弧AA1、弧A1A2、弧A2A3、弧A3A4…所在圆的圆心依次是点B、C、D、A循环，则点A2015坐标是　　　　　　．
三．解答题（共10小题）
21．已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，．请求出：
（1）∠AOC的度数；
（2）线段AD的长（结果保留根号）；
（3）求图中阴影部分的面积．

22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．

24．如图1是一个供滑板爱好者滑行使用的U型池，图2是该U型池的横截面（实线部分）示意图，其中四边形AMND是矩形，弧AmD是半圆．
（1）若半圆AmD的半径是4米，U型池边缘AB=CD=20米，点E在CD上，CE=4米，一滑板爱好者从点A滑到点E，求他滑行的最短距离（结果可保留根号）；
（2）若U型池的横截面的周长为32米，设AD为2x，U型池的强度为y，已知U型池的强度是横截面的面积的2倍，当x取何值时，U型池的强度最大？

25．如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？

26．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′．
（1）求证：△ADC≌△ADC′；
（2）求在旋转过程中点C扫过路径的长．（结果保留π）

27．（2012•义乌市模拟）已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）求图中阴影部分的面积．

28．某机械厂有大量直角三角形铁板余料，已知∠ACB=90°，AC=5cm，∠B=30°现将这种三角形余料进行加工裁剪成扇形（如图甲）和半圆形（如图乙、丙）的零件垫片，图甲中D为切点，图乙中C、D为切点，图丙中D、E为切点．
（1）分别求出三种情形下零件垫片的面积；
（2）哪种裁剪方式可使余料再利用最好．

29．如图1至图5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．
阅读理解：
（1）如图1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB=c时，⊙O恰好自转1周；
（2）如图2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2=n°，⊙O在点B处自转周．
实践应用：
（1）在阅读理解的（1）中，若AB=2c，则⊙O自转　　　　　　周；若AB=l，则⊙O自转　　　　　　周．在阅读理解的（2）中，若∠ABC=120°，则⊙O在点B处自转　　　　　　周；若∠ABC=60°，则⊙O在点B处自转　　　　　　周；
（2）如图3，∠ABC=90°，AB=BC=c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A﹣B﹣C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转　　　　　　周．
拓展联想：
（1）如图4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由；
（2）如图5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数．
30．某课题小组对课本的习题进行了如下探索，请逐步思考并解答：
（1）如图1，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传动轮中心的距离是10m，求这条传送带的长　　　　　　．
（2）改变图形的数量；
如图2、将传动轮增加到3个，每个传动轮的直径是3m，每两个传动轮中心的距离是10m，求这条传送带的长　　　　　　．
（3）改变动态关系，将静态问题升华为动态问题：
如图3，一个半径为1cm的⊙P沿边长为2πcm的等边三角形△ABC的外沿作无滑动滚动一周，求圆心P经过的路径长？⊙P自转了多少周？
（4）拓展与应用
如图4，一个半径为1cm的⊙P沿半径为3cm的⊙O外沿作无滑动滚动一周，则⊙P自转了多少周？

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）
1．（2015•兰州）如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（　　）

A． B． C． D．
考点：
弧长的计算；矩形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
OP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1，再由走过的角度代入弧长公式即可．
解答：
解：∵PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，
∴四边形ONPM是矩形，
又∵点Q为MN的中点，
∴点Q为OP的中点，
则OQ=1，
点Q走过的路径长==．
故选A．
点评：
本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点Q运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式．

2．（2015•义乌市）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长（　　）

A．2π B．π C． D．
考点：
弧长的计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质．菁优网版权所有
分析：
连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．
解答：
解：连接OA、OC，
∵∠B=135°，
∴∠D=180°﹣135°=45°，
∴∠AOC=90°，
则的长==π．
故选B．

点评：
本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式L=．

3．（2015•自贡）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则阴影部分图形的面积为（　　）

A．4π B．2π C．π D．
考点：
扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．菁优网版权所有
专题：
数形结合．
分析：
连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
解答：
解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=（垂径定理），
故S△OCE=S△ODE，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°（圆周角定理），
∴OC=2，
故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．
故选：D．

点评：
此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，另外要熟记扇形的面积公式．

4．（2015•泰安）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．+ B．+π C．﹣ D．2+
考点：
扇形面积的计算；菱形的性质；切线的性质．菁优网版权所有
分析：
设AD与圆的切点为G，连接BG，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式求得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积．
解答：
解：设AD与圆的切点为G，连接BG，
∴BG⊥AD，
∵∠A=60°，BG⊥AD，
∴∠ABG=30°，
在直角△ABG中，BG=AB=×2=，AG=1，
∴圆B的半径为，
∴S△ABG=×1×=
在菱形ABCD中，∠A=60°，则∠ABC=120°，
∴∠EBF=120°，
∴S阴影=2（S△ABG﹣S扇形ABG）+S扇形FBE=2（﹣）+=+．
故选A．

点评：
此题主要考查了菱形的性质以及切线的性质以及扇形面积等知识，正确利用菱形的性质和切线的性质求出圆的半径是解题关键．

5．（2015•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（　　）

A．π B．4π C．π D．π
考点：
扇形面积的计算．菁优网版权所有
分析：
首先证明OE=OC=OB，则可以证得△OEC≌△BED，则S阴影=半圆﹣S扇形OCB，利用扇形的面积公式即可求解．
解答：
解：∵∠COB=2∠CDB=60°，
又∵CD⊥AB，
∴∠OCE=30°，CE=DE，
∴OE=OC=OB=2，OC=4.1
S阴影==．
故选D．
点评：
本题考查了扇形的面积公式，证明△OEC≌△BED，得到S阴影=半圆﹣S扇形OCB是本题的关键．

6．（2015•东莞）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
考点：
扇形面积的计算．菁优网版权所有
分析：
由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=，计算即可．
解答：
解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD的弧长=6，
∴S扇形DAB==×6×3=9．
故选D．
点评：
此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB=．

7．（2015•新疆）如图，在矩形ABCD中，CD=1，∠DBC=30°．若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
考点：
扇形面积的计算．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
先由矩形的性质可得：∠BCD=90°，然后根据CD=1，∠DBC=30°，可得BD=2CD=2，然后根据勾股定理可求BC=，然后由旋转的性质可得：BE=BD=2，然后再根据扇形的面积公式及三角形的面积公式计算扇形DBE的面积和三角形BCD的面积，然后相减即可得到图中阴影部分的面积．
解答：
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∵CD=1，∠DBC=30°，
∴BD=2CD=2，
由勾股定理得BC==，
∵将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，
∴BE=BD=2，
∵S扇形DBE===，
S△BCD=•BC•CD==，
∴阴影部分的面积=S扇形DBE﹣S△BCD=﹣．
故选B．
点评：
此题主要考查了矩形的性质，扇形的面积和三角形的面积计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=．

8．（2015•攀枝花）如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
考点：
扇形面积的计算；勾股定理的逆定理；圆周角定理；解直角三角形．菁优网版权所有
分析：
由AC=2，AE=，CE=1，根据勾股定理的逆定理可判断△ACE为直角三角形，然后由sinA=，可得∠A=30°，然后根据圆周角定理可得：∠COB=60°，然后由∠AEC=90°，可得AE⊥CD，然后根据垂径定理可得：，进而可得：∠BOD=∠COB=60°，进而可得∠COD=120°，然后在Rt△OCE中，根据sin∠COE=，计算出OC的值，然后根据扇形的面积公式：S扇形DAB=，计算即可．
解答：
解：∵AE2+CE2=4=AC2，
∴△ACE为直角三角形，且∠AEC=90°，
∴AE⊥CD，
∴，
∴∠BOD=∠COB，
∵sinA==，
∴∠A=30°，
∴∠COB=2∠A=60°，
∴∠BOD=∠COB=60°，
∴∠COD=120°，
在Rt△OCE中，
∵sin∠COE=，
即sin60°=，
解得：OC=，
∴S扇形DAB===．
故选D．
点评：
此题考查了扇形的面积公式，勾股定理的逆定理，圆周角定理及解直角三角形等知识，解题的关键是：据勾股定理的逆定理判断△ACE为直角三角形．

9．（2015•包头）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π B．π C．π D．π
考点：
扇形面积的计算；勾股定理的逆定理；旋转的性质．菁优网版权所有
分析：
根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．
解答：
解：∵AB=5，AC=3，BC=4，
∴△ABC为直角三角形，
由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，
∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积==，
故选：A．
点评：
本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．

10．（2015•长沙模拟）如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（　　）

A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm
考点：
弧长的计算；平行四边形的性质；旋转的性质．菁优网版权所有
分析：
将平行四边形旋转180°后，点D所转过的路径是以线段BD为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可．
解答：
解：将▱ABCD绕其对称中心O旋转180°，点D所转过的路径为以BD为直径的半圆，
∴其长度为==2πcm．
故选：C．
点评：
本题考查了利用弧长公式求弧长，本题中所涉及的圆弧恰好是半圆，所以其长度可以是圆周长的一半．

11．（2015•杭州模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（　　）

A．3π B． C． D．4π
考点：
弧长的计算；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由垂径定理求得线段OD的长也就是点D所经过圆弧路径的半径，然后求得路径的圆心角，利用弧长的计算公式计算即可．
解答：
解：∵D为AC的中点，AC=AO=6，
∴OD⊥AC，
∴AD=AO，
∴∠AOD=30°，OD=3，
同理可得：∠BOE=30°，
∴∠DOE=150°﹣60°=90°
∴点D所经过路径长为：==．
故选C．

点评：
本题考查了垂径定理、解直角三角形、弧长的计算等知识，解决本题的关键是根据题意确定点运动的路径是什么．

12．（2015•余姚市模拟）如图，水平地面上有一面积为30πcm2的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6cm，且OA与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至点A再一次接触地面，如图（乙）所示，则O点移动了（　　）cm．

A．11π B．12π C．10π+ D．11π+
考点：
弧长的计算；扇形面积的计算．菁优网版权所有
分析：
根据题意可知点O移动的距离正好是灰色扇形的弧长，所以先根据扇形的面积求得扇形的圆心角的度数，再根据弧长公式求得弧长，即点O从开始到移动到OB与直线垂直移动的距，然后通过一次旋转，点A再一次接触地面，利用弧长公式即可求得移动的距离．
解答：
解：设扇形的圆心角为n，则=30π
∴n=300°
∵扇形的弧长为=10π
∴点O从开始到移动到OB与直线垂直，移动的距离10πcm．
∵∠AOB=360﹣300=60°，
则△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=6cm，
则A在图乙中最后一个图形的位置旋转到A与直线接触，O移动的距离是：=π，
则OO点移动了11π．
故选A．
点评：
本题考查了扇形的面积公式和弧长公式，解决本题要牢记扇形的面积公式和弧长公式．要会从题意中分析得到点O移动的路线是关键．

二．填空题（共8小题）
13．（2015•天水）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是　4π　．

考点：
弧长的计算；等边三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．
解答：
解：弧CD的长是=，
弧DE的长是：=，
弧EF的长是：=2π，
则曲线CDEF的长是：++2π=4π．
故答案为：4π．
点评：
本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．

14．（2015•安顺）如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　3﹣π　（结果保留π）．

考点：
扇形面积的计算；平行四边形的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
过D点作DF⊥AB于点F．可求▱ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积=▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．
解答：
解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD=2，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2，
∴阴影部分的面积：
4×1﹣﹣2×1÷2
=4﹣π﹣1
=3﹣π．
故答案为：3﹣π．

点评：
考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积=▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积．

15．（2015•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为　+　．

考点：
扇形面积的计算．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．
解答：
解：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE==π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
=﹣﹣（π﹣×1×）
=π﹣π+
=+．
故答案为：+．

点评：
本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=．

16．（2015•雅安）为美化小区环境，决定对小区的一块空地实施绿化，现有一长为20m的栅栏，要围成一扇形绿化区域，则该扇形区域的面积的最大值为　25m2　．

考点：
扇形面积的计算．菁优网版权所有
分析：
首先设扇形区域的半径为xm，则扇形的弧长为（20﹣2x）cm，该扇形区域的面积为ycm2，则可得函数：y=x（20﹣2x）=﹣x2+10x=﹣（x﹣5）2+25，继而求得答案．
解答：
解：设扇形区域的半径为xm，则扇形的弧长为（20﹣2x）cm，该扇形区域的面积为ycm2，
则y=x（20﹣2x）=﹣x2+10x=﹣（x﹣5）2+25，
∴该扇形区域的面积的最大值为25m2．
故答案为：25m2．
点评：
此题考查了扇形的面积计算以及二次函数最值问题．注意根据题意得到函数的解析式是关键．

17．（2015•鄂尔多斯）如图，某实践小组要在广场一角的扇形区域内种植红、黄两种花，半径OA=4米，C是OA的中点，点D在上，CD∥OB，则图中种植黄花（即阴影部分）的面积是　π﹣2　（结果保留π）．

考点：
扇形面积的计算．菁优网版权所有
分析：
连接OD，根据直角三角形的性质求出∠ODC的度数，根据扇形面积公式和三角形面积公式得到答案．
解答：
解：连接OD，
∵C是OA的中点，OA=OD，
∴OC=OD=2，CD=2，
∴∠ODC=30°，则∠DOA=60°，
种植黄花（即阴影部分）的面积=扇形AOD的面积﹣△DOC的面积
=﹣×2×2
=π﹣2，
故答案为：π﹣2．

点评：
本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．

18．（2015•兰州二模）如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为　12π　．

考点：
弧长的计算；旋转的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
O点运动的路径是：旋转的路程=以BO为半径的半圆的弧长+平移的路线是的长，计算即可．
解答：
解：的长是：=2π；
以BO为半径的半圆的弧长是：10π．
则点O所经过的路线长为10π+2π=12π．
故答案是：12π．
点评：
本题考查了弧长的计算公式，理解O运动的路线是关键．

19．（2015•张家港市模拟）如图，矩形ABCD中，BC=2AB=4，AE平分∠BAD交边BC于点E，∠AEC的分线交AD于点F，以点D为圆心，DF为半径画圆弧交边CD于点G，则的长为　（2﹣）π　．

考点：
弧长的计算；等腰直角三角形；矩形的性质．菁优网版权所有
分析：
先由矩形的性质得出，∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=BC=4，AD∥BC，根据AE平分∠BAD得到∠BAE=∠EAD=45°，那么△ABE是等腰直角三角形，于是AB=BE=2，AE=AB=2．再由∠AEC的分线交AD于点F，∠AEF=∠CEF，由AD∥BC，得出∠CEF=∠AFE，等量代换得到∠AEF=∠AFE，那么AF=AE=2，DF=AD﹣AF=4﹣2，然后根据弧长的计算公式即可求出的长．
解答：
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=BC=4，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD交边BC于点E，
∴∠BAE=∠EAD=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE=2，AE=AB=2．
∵∠AEC的分线交AD于点F，
∴∠AEF=∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠CEF=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE=2，
∴DF=AD﹣AF=4﹣2，
∴的长为：=（2﹣）π．
故答案为（2﹣）π．
点评：
本题考查了矩形的性质，角平分线定义，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，弧长的计算，求出DF=4﹣2是解题的关键．

20．（2015•安岳县二模）如图，在直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（﹣1，1），D（1，1）．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中弧AA1、弧A1A2、弧A2A3、弧A3A4…所在圆的圆心依次是点B、C、D、A循环，则点A2015坐标是　（1，4031）　．

考点：
弧长的计算．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
先分别求出A1的坐标是（﹣1，﹣3），A2的坐标是（﹣5，1），A3的坐标是（1，7），A4的坐标是（9，﹣1），从中找出规律，依规律计算即可．
解答：
解：从图中可以看出A1的坐标是（﹣1，﹣3）
A2的坐标是（﹣5，1）
A3的坐标是（1，7）
A4的坐标是（9，﹣1）
2015÷4=503…3
∴点A2015的坐标是A3的坐标循环后的点．
依次循环则A2015的坐标在x轴上的是1，
y轴上的坐标是可以用n=（1+2n）（n为自然数）表示．
那么A2015实际上是当n=2015时的数，所以（1+2×2015）=4031．
A2015的坐标是（1，4031），
故答案为：（1，4031）．
点评：
本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解，发现规律，理解“正方形的渐开线”是解答此题的关键．

三．解答题（共10小题）
21．（2015•温州模拟）已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，．请求出：
（1）∠AOC的度数；
（2）线段AD的长（结果保留根号）；
（3）求图中阴影部分的面积．

考点：
扇形面积的计算；圆周角定理；切线的性质．菁优网版权所有
分析：
（1）∠AOC与∠B是同弧所对的圆心角与圆周角，因而∠AOC=2∠B；
（2）在Rt△OAD中，根据三角函数就可以求出AD的值；
（3）阴影部分的面积是△OAD与扇形OAC的面积差，可据此来求阴影部分的面积．
解答：
解：（1）∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°；

（2）∵∠AOC=60°，AO=CO，
∴△AOC是等边三角形；
∵OH=，
∴AO=4；
∵AD与⊙O相切，
∴AD=；

（3）∵S扇形OAC==π，S△AOD=×4×4=8；
∴．
点评：
本题主要考查了圆心角与同弧所对的圆周角的关系．不规则图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．

22．（2015•山西模拟）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．
（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．

考点：
扇形面积的计算；弧长的计算．菁优网版权所有
分析：
（1）根据垂径定理求得PD⊥AB，然后根据30°角的直角三角形的性质求得OA=2OD，进而求得OF=OP，根据三角形中位线的性质求得OD=BC，从而求得OA=2，然后根据弧长公式即可求得劣弧PC的长；
（2）求得OF和PF，然后根据S阴影=S扇形﹣S△OPF即可求得．
解答：
解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，
∴PD⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD，
∵PF⊥AC，
∴∠OPF=30°，
∴OF=OP，
∵OA=OC，AD=BD，
∴BC=2OD，
∴OA=BC=2，
∴⊙O的半径为2，
∴劣弧PC的长===π；
（2）∵OF=OP，
∴OF=1，
∴PF==，
∴S阴影=S扇形﹣S△OPF=﹣×1×=π﹣．
点评：
本题考查了垂径定理的应用，30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，弧长公式以及扇形的面积公式等，求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键．

23．（2014•滕州市校级模拟）如图，半圆O的直径AB=20，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长．
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

考点：
扇形面积的计算；旋转的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题；探究型．
分析：
（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；
（2）根据S阴影=S扇形O′A′P′+S△O′PB直接进行计算即可．
解答：
解：（1）∵∠OBA′=45°，O′P=O′B，
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴PB=BO，
∴AP=AB﹣BP=20﹣10；

（2）阴影部分面积为：
S阴影=S扇形O′A′P′+S△O′PB=×π×100+10×10×=25π+50．
点评：
本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是根据旋转的性质得出S阴影=S扇形O′A′P′+S△O′PB．

24．（2013秋•大悟县期末）如图1是一个供滑板爱好者滑行使用的U型池，图2是该U型池的横截面（实线部分）示意图，其中四边形AMND是矩形，弧AmD是半圆．
（1）若半圆AmD的半径是4米，U型池边缘AB=CD=20米，点E在CD上，CE=4米，一滑板爱好者从点A滑到点E，求他滑行的最短距离（结果可保留根号）；
（2）若U型池的横截面的周长为32米，设AD为2x，U型池的强度为y，已知U型池的强度是横截面的面积的2倍，当x取何值时，U型池的强度最大？

考点：
弧长的计算；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
应用题．
分析：
（1）将U型池滑道的平面展开图为长方形，根据弧长的公式和勾股定理可以求出滑行的最短距离．
（2）根据等量关系“U型池的强度是横截面的面积的2倍”，列出函数关系式，求出U型池的强度最大时的x值．
解答：
解：（1）如图是滑道的平面展开图
在Rt△EDA中，半圆AmD的弧长=4π，ED=20﹣4=16（2分）
滑行的最短距离（3分）

（2）∵AD为2x∴半圆AmD的半径为x，则半圆AmD的弧长为πx
∴32=2x+2AM+πx
∴（）（4分）
∴y=（5分）
∴当时，U型池强度最大
所以当时，U型池强度最大（6分）
注：（）中无自变量范围不扣分．

点评：
求滑行的最短距离，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键．同时考查了二次函数的最值问题．

25．（2014秋•兴化市校级月考）如图，一只狗用皮带系在10×10的正方形狗窝的一角上，皮带长为14，在狗窝外面狗能活动的范围面积是多少？

考点：
扇形面积的计算．菁优网版权所有
分析：
根据题干可知，狗能活动的范围面积是以半径为14的圆面积的和以半径为4的圆的面积的，据此求解．
解答：
解：狗能活动的范围面积=π×142+π×42=147π+8π=155π．
答：在狗窝外面狗能活动的范围面积是155π．
点评：
本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是找出狗的活动范围，找准对应量，根据相应公式求解．

26．（2012•常熟市校级二模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′．
（1）求证：△ADC≌△ADC′；
（2）求在旋转过程中点C扫过路径的长．（结果保留π）

考点：
弧长的计算；