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《抛物线及其标准方程》教学设计
一、设计理念：
1、遵循新教材对圆锥曲线课程的设置，从生活实例和圆锥曲线知识本身的内在联系出发。
2、重视数学概念的发生、发展过程，在概念的形成过程中培养学生用类比的思想提出问题，猜想结论
3、重视学生的学习过程，在教学中充分体现“教师主导、学生主体”的教学理念，注重培养学生创新思维，独立思考、相互交流、合作探究的能力
二、设计思路：
1、以类比的思想出发，巩固旧知，引出新知
课本采取的是以二次函数表示抛物线引入，这里，采用了比较传统的类比椭圆和双曲线的定义出发，结合第二定义进行合理的猜想，引入几何画板，借助多媒体直观展示圆锥曲线的形成过程，进而给出定义。
类比求前两种曲线方程的步骤求抛物线标准方程
2、加强“数量关系”与“平面图形”的结合
根据抛物线的方程刻画图形，这里不是简单的要求学生记忆一次表示对称轴，符号决定开口，而是从X和Y的取值范围刻画图形。
3、重视课本思考题的设置，合理的增加探究题
这里除了课本的思考题外，增加了探讨“二次函数表示抛物线，那么抛物线是否表示二次函数？”的问题，加强学生对函数对应的本质的再次理解
三、学情分析：
1、学生已有的知识储备情况
抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.一是学生很早就认识了抛物线，二是学生有了探索圆锥曲线的基本方法和认知，这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用。不管从生活实例还是从二次函数的图像是抛物线等等出发，可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这节课的授课对象是我校高二的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法.
2、预计的学生在本节课学习中的难度及对策
1、坐标系的建立
对策：这里教师不作引导，由学生自己选择建系方式，再将学生的结果用投影仪展示出来，并进行归纳，预设出原点在焦点、在抛物线顶点和在准线与X轴交点这三种可能的方案，
2.求抛物线的方程
对策：全班分三组完成，求出不同建系方式下的抛物线方程.通过比较，明确第2种建系方式所得的抛物线方程最简洁，并把这个方程叫做抛物线的标准方程.
3.明确抛物线标准方程的四种形式
对策：从以上推导出的一种形式的抛物线进行数形结合分析，先从形得角度出发求焦点坐标和准线方程，再从数的角度出发通过研究未知量X和Y的取值范围刻画抛物线图形，进而得出结论：一次决定对称轴，符号决定开口。最后分组口答剩余三种图形对应的方程或方程对应的图形。
4.两个思考题的探究
思考一：

对策：引导学生从抛物线定义及其标准方程的形式上进行解答
思考二：
二次函数表示的图形是抛物线，那么以上四种抛物线的图形是否都表示二次函数呢？
对策：引导学生从函数的实质，即对应关系的角度进行分析，从而加深对函数的理解

四、教学目标及分解
据对教材和学情的分析，遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点和难点设置为：
教学目标：
1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程；
2.掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程；
3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用
4.感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美.
教学重点:
1.掌握抛物线的定义与相关概念；
2.掌握抛物线的标准方程；
教学难点:
1、从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义；
2、结合抛物线的标准方程刻画抛物线图形；
3、根据图形写出标准方程。

五、教学基本流程：
生活中抛物线的直观感受-----数学中由圆锥曲线的第二定义引发的猜想--------类比椭圆双曲线得出抛物线定义----类比求曲线方程一般步骤求抛物线标准方程------从数和形的角度深入分析抛物线四种基本形式-------课堂练习------新旧知识的对比引发两个对抛物线的思考题 -------课后作业
六、教学过程设计
教学过程
设计说明

一、课堂导入
1.生活中的抛物线：
（1）重庆菜园坝大桥，长江大桥
（2）篮球赛中投篮的照片，节日里的烟花

2.数学中的抛物线：
一元二次函数的图像是一条抛物线.

3.圆锥曲线第二定义中对e讨论的不完全：
平面内与一定点的距离和一条定直线距离的比是常数e的点轨迹。对e=1表示的图形的猜想

通过生活中的抛物线使学生直观感受抛物线在生活中的存在，普遍以及赋予生活的美感

通过对第二定义中e的分析，顺理成章的分析e=1表示的图形，从而借助多媒体展示

二、抛物线的定义
1.抛物线的画法
几何画板演示e在三种不同取值下表示的图形，尤其e=1的时候让学生体会运动的点和不变量的关系从而引出抛物线的定义
2.抛物线的定义
问题1：你能给抛物线下个定义吗？
抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不过）的距离相等的点的集合叫作抛物线.
问题2：为什么定点不能在定直线上？若点在直线上，则轨迹为过定点垂直于直线的直线.
3.抛物线的相关概念：
定点：抛物线的焦点.
定直线：抛物线的准线.
设，焦点到准线的距离.
抛物线的顶点：抛物线的对称轴与抛物线的交点

通过作图，尤其在e=1的时候让学生体会运动的点和不变量之间的关系，从而引出抛物线的定义

三、抛物线的方程
1.方程推导
（1）建系

请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐标系.
（2）推导
问题3：以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好？分三组分别求取相应的抛物线方程

提示：设，先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来，再来求抛物线的方程.
三种建系方式下的抛物线方程分别为：，，.不难得出，第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好.

：焦点到准线的距离.

3.抛物线的四种标准方程
问题4：你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？
具体要求：以顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程.学生先独立思考，再小组合作交流.

教材只给出了一种建系方式，但学生在建系时可能不只一种.这里，不仅通过对圆锥曲线一般建系遵循的对称和简洁来分析，并且大胆让学生自己建系，并提前设置三种建系方式，进行分组求解，最后让学生展示结果，通过对比得出最简单形式即抛物线的标准方程。

对于左边抛物线标准方程及其图形，分别从数和形的两个角度对应分析，加强对P的几何意义的理解

这里做两种引导：
第一种是从形到数的引导：学生通过求曲线方程步骤对另外三种图形对应的抛物线标准方程进行求解，这里为了节约时间采取分组求解；
第二种引导是由数到形的引导：让学生根据标准方程中X和Y的取值范围从而确定抛物线的对称轴和开口，进而总结求焦点坐标和准线方程最快速的方法。

    抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐标轴上的抛物线的方程，一共有四种形式.
4.例题分析
例1：抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标
和准线方程
变式
求下列抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程：

5.思考探究

对策：引导学生从抛物线定义及其标准方程的形式上进行解答
思考二：
二次函数表示的图形是抛物线，那么以上四种抛物线的图形是否都表示二次函数呢？
对策：引导学生从函数的实质，即对应关系的角度进行分析，从而加深对函数的理解

这里我要求的是准确刻画出抛物线的图形，然后再口答出焦点坐标和准线方程，通过变式的探究，加深对标准方程的认识，进而总结出结论：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先求出抛物线的标准形式

四、课堂小结
问题5：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获.
1.知识内容：（1）抛物线的定义：
（2）抛物线的标准方程：
①焦点在轴正半轴：；
②焦点在轴负半轴：；
③焦点在轴正半轴：；
④焦点在轴负半轴：.
2.学习方法与过程：类比椭圆的研究方法与过程.
3.学习中用到的数学思想和方法：（1）直接法；（2）待定系数法；（3）类比的思维方法；（4）数形结合思想.
培养学生梳理知识点，总结知识内容，建构知识体系的能力.

五、课后延伸
1.课后作业
书，P76，A组，2题，3题，4题.
2.课后思考
请你思考如何用抛物线的定义来证明一元二次函数的图像是一条抛物线？
3.课后延展
（1）抛物线型桥梁
通过图片展示南京秦淮河三山桥，湖北宜昌西陵长江大桥，宁波明州大桥这三座抛物线型桥梁.
提出问题：抛物线型拱桥有哪些特点？有哪些优点?在桥梁的设计上利用了抛物线的哪些特征？
（2）卫星.
提出问题：我们知道卫星天线是根据抛物线原理来制造的.在制造卫星时利用了抛物线的哪些性质？
对此感兴趣或者学有余力的学生，可以在课后收集相关资料进行学习，并作进一步的探讨.

是对这节课所学方法的巩固和对初中所学相关内容的同化，也是为下节课作好铺垫.
感受抛物线的广泛应用和文化价值，激发学生学习数学的兴趣和研究问题的热情.