浙江省桐乡市茅盾中学高三数学适应性考试试题-理-新人教A版.doc

茅盾中学2013届高三适应性考试
柱体的体积公式

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
锥体的体积公式

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
球的表面积公式
S=4πR2
球的体积公式

其中R表示球的半径

参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A，B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
Pn(k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…，n)
台体的体积公式
V=
其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，
h表示台体的高
数学（理科）试题卷

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若P=，Q=，则 （ ）
A． B． C． D．
2．如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该几何体
的俯视图可以是（ ）

A. B. C. D.
3．一个算法的程序框图如右，则其输出结果是（ ）
A.0 B.
C. D.
4．已知命题，命题，
则下列说法正确的是( )
A．p是q的充要条件
B．p是q的充分不必要条件
C．p是q的必要不充分条件
D．p是q的既不充分也不必要条件

5.由直线上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为( )
A． B． C． D．
6 已知，则下列函数的图象错误的是

7. 假如清华大学给某市三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为（ ）
(A) 10 (B) 15 (C) 21 (D) 30
8．函数在轴右侧的零点按横坐标从小到大依次记为，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、
9 已知点是的重心，点是内一点，若，则的取值范围是（ ）
A． B．　 C． D．
10．棱长为2的正方体在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x轴、y轴上移动，则点到原点O的最远距离为（ ）
A． B． C．5 D．4
二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11. 。
12．点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内，若点P(x，y)到直线y=kx-1(k>0)的最大距离为2，则k= ．
13．某校田径队有名实力相当的短跑选手，来自高一、二、三年级的人数分别为现从中选派人参加米接力比赛，且所选派的人中，高一、二年级的人数之和不超过高三年级的人数，记此时选派的高三年级的人数为则____.
14.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为 。
15．已知点P是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则双曲线的离心率
为 。
16．若，且
是常数，则等于 。A
B
O
E
D
C
(第17题)

17．已知圆心角为120° 的扇形AOB半径为，C为 中点．点D，E分别在半径OA，OB上（不含端点）．若CD2＋CE2＋DE2＝2，则OD＋OE的取值范围是 ．

三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）如图,A是单位圆与x轴正半轴的交点,点B,P在单位圆上,且B(,,(),.设四边形OAQP的面积为S,
(1)求;
(2)求=的单调递增区间.

19．（本题满分14分）数列的首项为，前项和是，存在常数使对任意正整数都成立。
（Ⅰ）设数列是等差数列，若，且，求的值；
（Ⅱ）设，且对任意正整数都成立，求的取值范围。

20． (本小题满分14分)
如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD;
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.

21．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C
上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交
于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB
的面积；若不存在，请说明理由．

22．（本题满分15分）已知函数，。
（Ⅰ）对任意，使得是函数在区间上的最大值，试求最大的实数．
（Ⅱ）若，对于区间上的任意两个不相等的实数、，且,都有成立，求的取值范围．

理科数学 答案:

因，所以，解得． ……………………7分
（Ⅱ）当时，，所以
所以，
当时，由得，
, 即…………………9分
所以，又
即数列是公比为的等比数列，
所以，即， …………………11分
，……………………12分
当时
且的值随的增大而减小，即，
所以，，即的取值范围是；……………………14分
解法一：因为 PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，
所以 平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，
过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,
又
在Rt△ESO中，cos∠ESO=
即所求二面角的余弦值为
解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以
E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），
所以 设平面AEF的一法向量为
则 因此
距离d＝<1.
因为点M(m，n)∈C，所以＋n2＝1<m2＋n2，于是0<m2≤3.
∵|AB|＝2＝2，∴S△OAB＝·|AB|·d＝
＝≤＝.上式等号成立当且仅当1＝m2⇒m2＝∈(0,3]，
因此当m＝±，n＝±时等号成立．
所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为，，和，此时对应的诸三角形的面积均达到最大值.

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