资源描述
1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝( )
A．0 B．2x
C．6 D．9
解析：选C.∵f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
2．已知函数f(x)＝，则f′(－3)＝( )
A．4 B.
C．－ D．－
解析：选D.∵f′(x)＝－，∴f′(－3)＝－.
3．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
解析：∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.
答案：10ln10
4．求下列函数的导数：
(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝；(3)y＝lgx－ex.
解：(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.
(2)y′＝＝.
(3)y′＝(lgx)′－(ex)′＝－ex.
一、选择题
1．下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3x·log3e D．(x2cosx)′＝－2xsinx
解析：选B.′＝1－，(3x)′＝3xln3，
(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx.
2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
解析：选B.由y′＝3x2－6x在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.
3．函数y＝的导数是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.y′＝()′
＝
＝＝.
4．函数y＝x3cosx的导数是( )
A．3x2cosx＋x3sinx B．3x2cosx－x3sinx
C．3x2cosx D．－x3sinx
解析：选B.y′＝(x3cosx)′
＝3x2·cosx＋x3(－sinx)
＝3x2cosx－x3sinx，故选B.
5．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1 B．－2
C．2 D．0
解析：选B.由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，从题中可知f′(x)为奇函数，
故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2，故选B.
6．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
解析：选B.∵f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，
∴f′(x)＝f′(－1)x－2.
∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2.
∴f′(－1)＝－1.
二、填空题
7．令f(x)＝x2·ex，则f′(x)等于________．
解析：f′(x)＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝ex(2x＋x2)．
答案：ex(2x＋x2)
8．一物体的运动方程是s(t)＝，当t＝3时的瞬时速度为________．
解析：∵s′(t)＝－，∴s′(3)＝－＝－.
答案：－
9．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′()＝，则a＝________，b＝________.
解析：∵f′(x)＝2ax－bcosx，
f′(0)＝－b＝1得b＝－1，
f′()＝πa＋＝，得a＝0.
答案：0 －1
三、解答题
10．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝ln(8x)；
(2)f(x)＝(＋1)(－1)．
解：(1)因为f(x)＝ln(8x)＝ln8＋lnx，
所以f′(x)＝(ln8)′＋(lnx)′＝.
(2)因为f(x)＝(＋1)(－1)
＝1－＋－1＝－＋＝，
所以f′(x)＝
＝－(1＋)．
11．设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b的值．
解：由f(x)＝a·ex＋blnx，
∴f′(x)＝a·ex＋，
根据题意应有，
解得，所以a，b的值分别是1,0.
12．已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．
解：由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
把f(x)，f′(x)代入方程x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1中得：
x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0
要使方程对任意x恒成立，
则需有a＝b，b＝2c，c－1＝0，
解得a＝2，b＝2，c＝1，
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
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