资源描述
课后作业(五十一) 抛物线
一、选择题
1．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
2．(2013·中山调研)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B．1 C. D.
3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8 C．8 D．16
4．(2012·全国课标卷)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )
A. B．2 C．4 D．8
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2
二、填空题
6．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
7．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点．其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
8．(2012·陕西高考)如图8－7－2所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
图8－7－2
三、解答题
图8－7－3
9．如图8－7－3所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
10．(2013·韶关质检)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程．
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
图8－7－4
11．(2013·汕尾模拟)如图8－7－4所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解析及答案
一、选择题
1．
【解析】 因为椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，
所以抛物线y2＝2px的焦点为(2，0)，则p＝4.
【答案】 D
2．
【解析】 ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
【答案】 C
3．
【解析】 由题意，直线l的方程为x＝－2，焦点F为(2，0)，
设A点的坐标为(－2，n)，则＝－，解得n＝4，
又PA⊥l，由(4)2＝8x，得x＝6.
∴|PF|＝x＋＝8.
【答案】 B
4．
【解析】 设C：－＝1.
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，
联立－＝1和x＝－4
得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的实轴长为4.
【答案】 C
5．
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且两点在抛物线上，
∴
①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
又线段AB的中点的纵坐标为2，∴y1＋y2＝4，
又直线的斜率为1，∴＝1，∴2p＝4，p＝2，
∴抛物线的准线方程为x＝－＝－1.
【答案】 B
二、填空题
6．【解析】 由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离．
故点P的轨迹是以点(0，3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，
所以其标准方程为x2＝12y.
【答案】 x2＝12y
7．【解析】 ∵y2＝4x的焦点为F(1，0)，又直线l过焦点F且倾斜角为60°，
故直线l的方程为y＝(x－1)，将其代入y2＝4x
得3x2－10x＋3＝0.∴x＝或x＝3.
又点A在x轴上方，∴xA＝3.∴yA＝2.
∴S△OAF＝×1×2＝.
【答案】
8．
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py，
得p＝1.
∴x2＝－2y.
当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，
将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，
∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2 m.
【答案】 2
三、解答题
9．
【解】 (1)由得x2－4x－4b＝0.(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，
解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，
故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.
将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2，1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
10．
【解】 (1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，
从而有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，∴p＝4，
从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4，4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)
＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，
所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
11．
【解】 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
∵点P(1，2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得
y＝4x1， ①
y＝4x2， ②
∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．
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