资源描述
3.7 整式的除法
知识点 1 单项式除以单项式
单项式相除、把系数、同底数幂分别相除、作为商的因式、对于只在被除式里含有的字
母、则连同它的指数作为商的一个因式．
1．计算：
æ 3
ö
ø
ç
÷
(1) － x2y3 ÷(3x y)；
2
è
5
(2)(10a b c)÷(5a bc)；
4 3 2 3
(3)(2a＋b)÷(2a＋b).
2
4
知识点 2 多项式除以单项式
多项式除以单项式、先把这个多项式的每一项除以这个单项式、再把所得的商相加．
即(a＋b＋c)÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m(m≠0)．
2．计算：
(1)(6ab＋8b)÷(2b)；
(2)(21m－28m＋35m)÷(7m)；
2
3
探究
一 整式的乘除法的混合运算
æ 1 ö
ç
÷
计算：(1) 5a b÷ － ab ·(2ab )；
2
2
è
ø
3
(2)[x(3－4x)＋2x (x－1)]÷(－2x)．
2
1 / 6
[归纳总结] (1)对于单项式乘除的混合运算应注意运算顺序．
(2)多项式除以单项式所得商的项数等于被除式的项数．
(3)多项式除以单项式所得商的各项符号、当除式的系数为正数时、与被除式各项对应的
符号相同；当除式的系数为负数时、与被除式各项对应的符号相反．
探究
二 应用整式除法解决实际问题
教材补充题在 1610年、意大利天文学家伽利略观测到在土星的球状本体旁有奇怪
的附属物．在空间探测以前、从地面观测得知土星环有五个、其中包括三个主环(A环 、B环、
C 环)和两个暗环(D 环、E环)．其中 A环的内半径为 1.215×10 公里、外半径为 1.37×10
5
5
公里；B 环的内半径为 9.15×10 公里、外半径为 1.165×10 公里、环的宽度＝外半径－内
4
5
半径、则 A环的宽度是 B环的多少倍？
1
1
[反思] 小明做一多项式除以 a的作业时、由于粗心、误以为乘 a、结果得到 8a b－4a
4
3
2
2
＋2a .你知道正确的结果是多少吗？
2
2 / 6
一、选择题
1．计算 6m ÷(－3m )的结果是(
2
)
3
A．－3m B．－2m C．2m D．3m
2
2．已知(8a b )÷(28a b )＝ b 、则 m、n 的值为(
)
3
m
n
2
2
7
A．m＝4、n＝3 B．m＝4、n＝1
C．m＝1、n＝3 D．m＝2、n＝3
3
3．当 a＝ 时、代数式(28a －28a ＋7a)÷(7a)的值是(
)
3
2
4
A．6.25 B．0.25 C．－2.25 D．－4
4．已 知 6x y 与一个多项式的积为 24x y －18x y ＋2x·(6x y ) 、则这个多项式为(
)
3
5
3
7
5
5
3 3 2
A．4y －3x B．4xy －3x y
2
2
2
2
C．4y －3x ＋12x y D．4y －3x ＋6x y
2
2
4
2
2
3
5．2016·聊城地球的体积约为 10 立方千米、太阳的体积约为 1.4×10 立方千米、地
12 18
球的体积约是太阳体积的(
)
A．7.1×10 倍 B．7.1×10 倍
－6
－7
C．1.4×10 倍 D．1.4×10 倍
6
7
二、填空题
6．计算：(1)28m n p÷__________＝－4m n ；
2 2
6
4
3
(2)__________÷(xy) ＝－ xy z.
2
2
4
7．计算：3a ·a －2a ÷a ＝________.
7
3
2
2
8．已知 a＝1.6×10 、b＝4×10 、则 a ÷2b 的值为____________．
2
9
3
9．定义 a⊗b＝(a b＋ab＋ab )÷ab、其中 a、b 都不为零、则 2⊗(3⊗4)＝________．
2
2
三、解答题
10．计算：
(1)(21a －7a ＋14a)÷(7a)；
2
3
æ 2
ö æ 1
÷ ç
ö
ø
ç
÷
(2)(2ax) · － a4x3y3 ÷ － a5xy2 .
2
è
ø è
5
2
1
11．已知 x－ y＝5、求式子[(x ＋y )－(x－y) ＋2y(x－y)]÷2y 的值．
2
2
2
2
12．已知一个长方形的面积为4a －6ab＋2a、若它的一边长为2a、则它的周长是多少？
2
3 / 6
13．光的速度大约为 3×10 米/秒、地球与太阳的距离大约为 1.5×10 米．那么、太阳
11
8
光从发出到照射到地球上需要多长时间？
[阅读理解题] 阅读下列材料：因为(x－1)(x＋4)＝x ＋3x－4、所以(x ＋3x－4)÷(x－
2
2
1)＝x＋4、这说明 x ＋3x－4 能被(x－1)整除、同时也说明多项式 x ＋3x－4 有一个因式为
2
2
(x－1)；另外、当 x＝1 时、多项式 x ＋3x－4 的值为 0.
2
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有一个因式为(x－1)、多项式能被(x
－1)整除、这之间存在着一种什么样的联系？
(2)探求规律：一般地、如果有一个关于字母x 的多项式 M、当 x＝k 时、M 的值为 0、那
么 M 与代数式 x－k 之间有何种关系？
(3)应用：已知 x－3 能整除 x ＋kx－15、求 k 的值．
2
详解详析
4 / 6
在学生学习了整式乘法和同底数幂的除法法则之后安排整式的除法、是对
整式乘法和同底数幂除法法则的复习、同时又在此基础上拓展学习了新的知
识．教材中对整式的除法较以前版本有所弱化、因此应适当控制运算的难度
1.掌握单项式除以单项式的运算法则；
知识
与技
能
2.掌握多项式除以单项式的运算法则；
3.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式以及简单的乘除混合运算
过程
教
明确单项式除以单项式、多项式除以单项式运算的算法、培养学生有条理
的分析能力
目
情
标
感、
经历单项式除以单项式的运算法则的探索过程、体会合情推理在数学学习
中的地位和作用、进一步感受转化思想的广泛应用
态度
与价
值观
单项式除以单项式的运算法则和多项式除以单项式的运算法则
理解单项式除以单项式的运算法则的导出过程
重点
易错
难点
在多项式除以单项式时容易漏项和出现符号错误
点
【预习效果检测】
1．[解析] 对于(1)(2)题直接根据单项式除以单项式法则运算即可．(3)中应把(2a＋b)
看成一个整体来运用单项式除以单项式法则计算、不可将(2a＋b) 展开．
2
æ 3 ö
1
5
ç
÷
·
－ ÷3 x y
＝－ .
2－2 3－1
y
解：(1)原式＝
è
ø
2
5
(2)原式＝(10÷5)a b c ＝2ab c.
4－3 3－1 2－1
2
(3)原式＝(2a＋b) ＝(2a＋b) ＝4a ＋4a b＋b .
4－2
2
2
2
2．[解析] 本例都可直接应用多项式除以单项式法则进行计算．
解：(1)原式＝6ab÷(2b)＋8b÷(2b)
＝3a＋4.
(2)原式＝21m ÷(7m)－28m ÷(7m)＋35m÷(7m)
3
2
＝3m －4m＋5.
2
【重难互动探究】
æ 1ö
ç ÷
例 1 解：(1)原式＝[5÷ － ×2]a2－1＋1·b1－1＋2＝－30a b .
2
2
è ø
3
(2)原式＝(3x－4x ＋2x －2x )÷(－2x)
2
2
3
＝2x ÷(－2x)－6x ÷(－2x)＋3x÷(－2x)
2
3
3
＝－x ＋3x－ .
2
2
例 2 解：根据环的宽度的算法、A 环的宽度为 1.37×10 －1.215×10 ＝1.55×10 (公
5
5
4
里)、B 环的宽度为 1.165×10 －9.15×10 ＝2.5×10 (公里)、则 A 环的宽度是 B 环宽度的
5
4
4
(1.55×10 )÷(2.5×10 )＝0.62(倍)．
4
4
【课堂总结反思】
5 / 6
2
æ1 ö
2
ç ÷
[反思] (8a b－4a＋2a)÷ a ＝32a b－16a＋8.
4
3
2
2
è ø
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] B 6m÷(－3m )＝[6÷(－3)]·(m ÷m)＝－2m.
3
2
3
2
2．A 3.B
4．[解析] C 根据已知条件转化为多项式除以单项式来求解．
[24x y－18xy＋2x·(6xy)]÷6xy
3 3 2
3 7
5 5
3 5
＝(24x y－18x y＋72xy)÷6xy
3 5
3 7
5 5
7 6
＝4y－3x＋12x y.
4
2
2
5．B
æ 3
ö
ø
ç
÷
6．[答案] (1)(－7mn p) (2) － x3y4z
4 2
è
4
[解析] 根据“除式＝被除式÷商式”“被除式＝商式×除式”计算、28m n p÷(－4mn)
6 4 2 2
3
3
3
＝－7mn p、(xy)·(－ xy z)＝xy·(－ xy z)＝－ xyz.
4 2
2
2
2 2
2
3 4
4
4
4
7．[答案] a5
8．[答案] 3.2×1014
9．[答案] 11
[解析] a⊗b＝(a b＋ab＋ab)÷ab＝a＋1＋b.
2
2
故2⊗(3⊗4)＝2⊗(3＋1＋4)＝2⊗8＝2＋8＋1＝11.
16
10．(1)3a－a＋2 (2) axy
2
4
5
11．解：原式＝(4xy－2y)÷2y＝2x－y.
2
1
∵x－ y＝5、
2
æ 1 ö
ç
÷
∴原式＝2 x－ y ＝10.
è
ø
2
(
)
12．解：长方形的另一边长为 4a2－6ab＋2a ÷2a＝2a－3b＋1、所以长方形的周长为
2(2a－3b＋1＋2a)＝8a－6b＋2.
13．解：设太阳光从发出到照射到地球上需要t秒、
则 t·3×10 ＝1.5×10 .
8
11
解得t＝500.
答：太阳光从发出到照射到地球上需要500秒．
[数学活动]
解：(1)若多项式有一个因式为(x－1)、则x－1＝0、即x＝1时、多项式的值为0；若多
项式有一个因式为(x－1)、则多项式必能被(x－1)整除．
(2)多项式M能被(x－k)整除．
(3)由x－3＝0得x＝3、且x－3能整除x＋kx－15、
2
∴当x＝3时、多项式x＋kx－15的值为0、
2
即3＋3k－15＝0、
2
∴k＝2.
6 / 6
在学生学习了整式乘法和同底数幂的除法法则之后安排整式的除法、是对
整式乘法和同底数幂除法法则的复习、同时又在此基础上拓展学习了新的知
识．教材中对整式的除法较以前版本有所弱化、因此应适当控制运算的难度
1.掌握单项式除以单项式的运算法则；
知识
与技
能
2.掌握多项式除以单项式的运算法则；
3.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式以及简单的乘除混合运算
过程
教
明确单项式除以单项式、多项式除以单项式运算的算法、培养学生有条理
的分析能力
目
情
标
感、
经历单项式除以单项式的运算法则的探索过程、体会合情推理在数学学习
中的地位和作用、进一步感受转化思想的广泛应用
态度
与价
值观
单项式除以单项式的运算法则和多项式除以单项式的运算法则
理解单项式除以单项式的运算法则的导出过程
重点
易错
难点
在多项式除以单项式时容易漏项和出现符号错误
点
【预习效果检测】
1．[解析] 对于(1)(2)题直接根据单项式除以单项式法则运算即可．(3)中应把(2a＋b)
看成一个整体来运用单项式除以单项式法则计算、不可将(2a＋b) 展开．
2
æ 3 ö
1
5
ç
÷
·
－ ÷3 x y
＝－ .
2－2 3－1
y
解：(1)原式＝
è
ø
2
5
(2)原式＝(10÷5)a b c ＝2ab c.
4－3 3－1 2－1
2
(3)原式＝(2a＋b) ＝(2a＋b) ＝4a ＋4a b＋b .
4－2
2
2
2
2．[解析] 本例都可直接应用多项式除以单项式法则进行计算．
解：(1)原式＝6ab÷(2b)＋8b÷(2b)
＝3a＋4.
(2)原式＝21m ÷(7m)－28m ÷(7m)＋35m÷(7m)
3
2
＝3m －4m＋5.
2
【重难互动探究】
æ 1ö
ç ÷
例 1 解：(1)原式＝[5÷ － ×2]a2－1＋1·b1－1＋2＝－30a b .
2
2
è ø
3
(2)原式＝(3x－4x ＋2x －2x )÷(－2x)
2
2
3
＝2x ÷(－2x)－6x ÷(－2x)＋3x÷(－2x)
2
3
3
＝－x ＋3x－ .
2
2
例 2 解：根据环的宽度的算法、A 环的宽度为 1.37×10 －1.215×10 ＝1.55×10 (公
5
5
4
里)、B 环的宽度为 1.165×10 －9.15×10 ＝2.5×10 (公里)、则 A 环的宽度是 B 环宽度的
5
4
4
(1.55×10 )÷(2.5×10 )＝0.62(倍)．
4
4
【课堂总结反思】
5 / 6
2
æ1 ö
2
ç ÷
[反思] (8a b－4a＋2a)÷ a ＝32a b－16a＋8.
4
3
2
2
è ø
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] B 6m÷(－3m )＝[6÷(－3)]·(m ÷m)＝－2m.
3
2
3
2
2．A 3.B
4．[解析] C 根据已知条件转化为多项式除以单项式来求解．
[24x y－18xy＋2x·(6xy)]÷6xy
3 3 2
3 7
5 5
3 5
＝(24x y－18x y＋72xy)÷6xy
3 5
3 7
5 5
7 6
＝4y－3x＋12x y.
4
2
2
5．B
æ 3
ö
ø
ç
÷
6．[答案] (1)(－7mn p) (2) － x3y4z
4 2
è
4
[解析] 根据“除式＝被除式÷商式”“被除式＝商式×除式”计算、28m n p÷(－4mn)
6 4 2 2
3
3
3
＝－7mn p、(xy)·(－ xy z)＝xy·(－ xy z)＝－ xyz.
4 2
2
2
2 2
2
3 4
4
4
4
7．[答案] a5
8．[答案] 3.2×1014
9．[答案] 11
[解析] a⊗b＝(a b＋ab＋ab)÷ab＝a＋1＋b.
2
2
故2⊗(3⊗4)＝2⊗(3＋1＋4)＝2⊗8＝2＋8＋1＝11.
16
10．(1)3a－a＋2 (2) axy
2
4
5
11．解：原式＝(4xy－2y)÷2y＝2x－y.
2
1
∵x－ y＝5、
2
æ 1 ö
ç
÷
∴原式＝2 x－ y ＝10.
è
ø
2
(
)
12．解：长方形的另一边长为 4a2－6ab＋2a ÷2a＝2a－3b＋1、所以长方形的周长为
2(2a－3b＋1＋2a)＝8a－6b＋2.
13．解：设太阳光从发出到照射到地球上需要t秒、
则 t·3×10 ＝1.5×10 .
8
11
解得t＝500.
答：太阳光从发出到照射到地球上需要500秒．
[数学活动]
解：(1)若多项式有一个因式为(x－1)、则x－1＝0、即x＝1时、多项式的值为0；若多
项式有一个因式为(x－1)、则多项式必能被(x－1)整除．
(2)多项式M能被(x－k)整除．
(3)由x－3＝0得x＝3、且x－3能整除x＋kx－15、
2
∴当x＝3时、多项式x＋kx－15的值为0、
2
即3＋3k－15＝0、
2
∴k＝2.
6 / 6
在学生学习了整式乘法和同底数幂的除法法则之后安排整式的除法、是对
整式乘法和同底数幂除法法则的复习、同时又在此基础上拓展学习了新的知
识．教材中对整式的除法较以前版本有所弱化、因此应适当控制运算的难度
1.掌握单项式除以单项式的运算法则；
知识
与技
能
2.掌握多项式除以单项式的运算法则；
3.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式以及简单的乘除混合运算
过程
教
明确单项式除以单项式、多项式除以单项式运算的算法、培养学生有条理
的分析能力
目
情
标
感、
经历单项式除以单项式的运算法则的探索过程、体会合情推理在数学学习
中的地位和作用、进一步感受转化思想的广泛应用
态度
与价
值观
单项式除以单项式的运算法则和多项式除以单项式的运算法则
理解单项式除以单项式的运算法则的导出过程
重点
易错
难点
在多项式除以单项式时容易漏项和出现符号错误
点
【预习效果检测】
1．[解析] 对于(1)(2)题直接根据单项式除以单项式法则运算即可．(3)中应把(2a＋b)
看成一个整体来运用单项式除以单项式法则计算、不可将(2a＋b) 展开．
2
æ 3 ö
1
5
ç
÷
·
－ ÷3 x y
＝－ .
2－2 3－1
y
解：(1)原式＝
è
ø
2
5
(2)原式＝(10÷5)a b c ＝2ab c.
4－3 3－1 2－1
2
(3)原式＝(2a＋b) ＝(2a＋b) ＝4a ＋4a b＋b .
4－2
2
2
2
2．[解析] 本例都可直接应用多项式除以单项式法则进行计算．
解：(1)原式＝6ab÷(2b)＋8b÷(2b)
＝3a＋4.
(2)原式＝21m ÷(7m)－28m ÷(7m)＋35m÷(7m)
3
2
＝3m －4m＋5.
2
【重难互动探究】
æ 1ö
ç ÷
例 1 解：(1)原式＝[5÷ － ×2]a2－1＋1·b1－1＋2＝－30a b .
2
2
è ø
3
(2)原式＝(3x－4x ＋2x －2x )÷(－2x)
2
2
3
＝2x ÷(－2x)－6x ÷(－2x)＋3x÷(－2x)
2
3
3
＝－x ＋3x－ .
2
2
例 2 解：根据环的宽度的算法、A 环的宽度为 1.37×10 －1.215×10 ＝1.55×10 (公
5
5
4
里)、B 环的宽度为 1.165×10 －9.15×10 ＝2.5×10 (公里)、则 A 环的宽度是 B 环宽度的
5
4
4
(1.55×10 )÷(2.5×10 )＝0.62(倍)．
4
4
【课堂总结反思】
5 / 6
2
æ1 ö
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[反思] (8a b－4a＋2a)÷ a ＝32a b－16a＋8.
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3
2
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è ø
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] B 6m÷(－3m )＝[6÷(－3)]·(m ÷m)＝－2m.
3
2
3
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2．A 3.B
4．[解析] C 根据已知条件转化为多项式除以单项式来求解．
[24x y－18xy＋2x·(6xy)]÷6xy
3 3 2
3 7
5 5
3 5
＝(24x y－18x y＋72xy)÷6xy
3 5
3 7
5 5
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＝4y－3x＋12x y.
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5．B
æ 3
ö
ø
ç
÷
6．[答案] (1)(－7mn p) (2) － x3y4z
4 2
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4
[解析] 根据“除式＝被除式÷商式”“被除式＝商式×除式”计算、28m n p÷(－4mn)
6 4 2 2
3
3
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＝－7mn p、(xy)·(－ xy z)＝xy·(－ xy z)＝－ xyz.
4 2
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2
2 2
2
3 4
4
4
4
7．[答案] a5
8．[答案] 3.2×1014
9．[答案] 11
[解析] a⊗b＝(a b＋ab＋ab)÷ab＝a＋1＋b.
2
2
故2⊗(3⊗4)＝2⊗(3＋1＋4)＝2⊗8＝2＋8＋1＝11.
16
10．(1)3a－a＋2 (2) axy
2
4
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11．解：原式＝(4xy－2y)÷2y＝2x－y.
2
1
∵x－ y＝5、
2
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∴原式＝2 x－ y ＝10.
è
ø
2
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)
12．解：长方形的另一边长为 4a2－6ab＋2a ÷2a＝2a－3b＋1、所以长方形的周长为
2(2a－3b＋1＋2a)＝8a－6b＋2.
13．解：设太阳光从发出到照射到地球上需要t秒、
则 t·3×10 ＝1.5×10 .
8
11
解得t＝500.
答：太阳光从发出到照射到地球上需要500秒．
[数学活动]
解：(1)若多项式有一个因式为(x－1)、则x－1＝0、即x＝1时、多项式的值为0；若多
项式有一个因式为(x－1)、则多项式必能被(x－1)整除．
(2)多项式M能被(x－k)整除．
(3)由x－3＝0得x＝3、且x－3能整除x＋kx－15、
2
∴当x＝3时、多项式x＋kx－15的值为0、
2
即3＋3k－15＝0、
2
∴k＝2.
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