初中数学九大几何模型-初中几何九大模型-初中九大几何模型.docx

初中数学九大几何模型一、手拉手模型-旋转型全等D（1）等边三角形OOCDEBECAAB图 1图 2【条件】：OAB 和OCD 均为等边三角形；【结论】：OACOBD；AEB=60；OE 平分AEDD（2）等腰直角三角形DOOCEECABAB图 1图 2【条件】：OAB 和OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：OACOBD；AEB=90；OE 平分AEDD（3）顶角相等的两任意等腰三角形OO【条件】：OAB 和OCD 均为等腰三角形；且COD=AOBCDEE【结论】：OACOBD；AEB=AOB；COE 平分AEDBABA图 1图 2 OO二、模型二：手拉手模型-旋转型相似（1）一般情况D【条件】：CDAB，CDE将OCD 旋转至右图的位置CABAB【结论】：右图中OCDOABOACOBD；D延长 AC 交 BD 于点 E，必有BEC=BOAOOCB（2）特殊情况ECD【条件】：CDAB，AOB=90将OCD 旋转至右图的位置AAB【结论】：右图中OCDOABOACOBD；延长 AC 交 BD 于点 E，必有BEC=BOA；BD OD OB=AC OC OA=tanOCD；BDAC；12+ BC = AB2 + CD=AC BD连接 AD、BC，必有AD2；S22BCDA三、模型三、对角互补模型（1）全等型-90CD【条件】：AOB=DCE=90；OC 平分AOBOEB图 11= S+ S= OC【结论】：CD=CE；OD+OE= 2 OC；S2DCEOCDOCE2AM证明提示：C作垂直，如图 2，证明CDMCEN过点 C 作 CFOC，如图 3，证明ODCFECDON图 2EB当DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）：A以上三个结论：CD=CE；OE-OD= 2 OC；C1M- S= OCS2ADOCEOCD2CBONED图 4OEFB图 3 （2）全等型-120【条件】：AOB=2DCE=120；OC 平分AOB3= S+ S=OC2【结论】：CD=CE；OD+OE=OC；SDCEOCDOCE4证明提示：可参考“全等型-90”证法一；如右下图：在 OB 上取一点 F，使 OF=OC，证明OCF 为等边三角形。AACCFFOEBOEF B（3）全等型-任意角【条件】：AOB=2，DCE=180-2；CD=CE；【结论】：OC 平分AOB；OD+OE=2OCcos；= S+ S= OC sin cosS2DCEOCDOCE当DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如右下图）：原结论变成：；。可参考上述第种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。ACDAOBECOBED 对角互补模型总结：常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；A初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；注意 OC 平分AOB 时，CCDE=CED=COA=COB 如何引导？DOEB四、模型四：角含半角模型 90（1）角含半角模型 90-1【条件】：正方形 ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DF+BE；CEF 的周长为正方形 ABCD 周长的一半；也可以这样：【条件】：正方形 ABCD；EF=DF+BE；DFDF【结论】：EAF=45； AABCBCEGE（2）角含半角模型 90-2【条件】：正方形 ABCD；EAF=45；【结论】：EF=DF-BE；AAADDDCFCFCFEBEBEB （3）角含半角模型 90-3【条件】：RtABC；DAE=45；+ CE = DE【结论】： BD2（如图 1）22+ CE = DE若DAE 旋转到ABC 外部时，结论BD2仍然成立（如图 2）22AAFBDEC BCDFEAABCABCDEDE（4）角含半角模型 90变形DADF【条件】：正方形 ABCD；EAF=45；【结论】：AHE 为等腰直角三角形；证明：连接 AC（方法不唯一）DAC=EAF=45，HHFGGBCBCEEDAH=CAE，又ACB=ADB=45；DA AC=AH AEDAHCAE，AHEADC，AHE 为等腰直角三角形模型五：倍长中线类模型ADAD（1）倍长中线类模型-1【条件】：矩形 ABCD；BD=BE；DF=EF；FFBCEH BHE【结论】：AFCF模型提取：有平行线 ADBE；平行线间线段有中点 DF=EF；可以构造“8”字全等ADFHEF。 （2）倍长中线类模型-2【条件】：平行四边形 ABCD；BC=2AB；AM=DM；CEAB；【结论】：EMD=3MEA辅助线：有平行 ABCD，有中点 AM=DM，延长 EM，构造AMEDMF，连接 CM 构造等腰EMC，等腰MCF。（通过构造 8 字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）FAAMMDDEEBCBC模型六：相似三角形 360旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360旋转模型-倍长中线法【条件】：ADE、ABC 均为等腰直角三角形；EF=CF；【结论】：DF=BF；DFBF辅助线：延长 DF 到点 G，使 FG=DF，连接 CG、BG、BD，证明BDG 为等腰直角三角形；C突破点：ABDCBG；C难点：证明BAO=BCGGFFDDABABE（2）相似三角形（等腰直角）360旋转模型-补全法C【条件】：ADE、ABC 均为等腰直角三角形；EF=CF；CG【结论】：DF=BF；DFBFF辅助线：构造等腰直角AEG、AHC；D辅助线思路：将 DF 与 BF 转化到 CG 与 EF。FADBABEEH （3）任意相似直角三角形 360旋转模型-补全法【条件】：OABODC；OAB=ODC=90；BE=CE；【结论】：AE=DE；AED=2ABO辅助线：延长 BA 到 G，使 AG=AB，延长 CD 到点 H 使 DH=CD，补全OGB、OCH 构造旋转模H型。转化 AE 与 DE 到 CG 与 BH，难点在转化AED。OGDDABBEECC（4）任意相似直角三角形 360旋转模型-倍长法【条件】：OABODC；OAB=ODC=90；BE=CE；【结论】：AE=DE；AED=2ABO辅助线：延长 DE 至 M，使 ME=DE，将结论的两个条件转化为证明AMDABO，此为难点，将AMDABC 继续转化为证明ABMAOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在O证明ABM=AODODADABECBEC模型七：最短路程模型M（1）最短路程模型一（将军饮马类）A总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，B最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；特点：动点在直线上；起点，终点固定lB l1AAPAAAABPl1BQll2l2QQPPA+PQ+BQPA+PQ+BQBBB（2）最短路程模型二（点到直线类 1）【条件】：OC 平分AOB；M 为 OB 上一定点；P 为 OC 上一动点；Q 为 OB 上一动点；【问题】：求 MP+PQ 最小时，P、Q 的位置？辅助线：将作 Q 关于 OC 对称点 Q，转化 PQ=PQ，过点 M 作 MHOA，A则 MP+PQ=MP+PQ MH(垂线段最短）AHQPOPQBM（3）最短路程模型二（点到直线类 2）【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）5+PA【问题】：n 为何值时，PB最小？55求解方法：x 轴上取 C(2,0),使 sinOAC=；过 B 作 BDAC，交 y 轴于点 E，即为51所求；tanEBO=tanOAC= ，即 E（0，1）2yyAAPDEBBxOCx （4）最短路程模型三（旋转类最值模型）【条件】：线段 OA=4，OB=2；OB 绕点 O 在平面内 360旋转；【问题】：AB 的最大值，最小值分别为多少？【结论】：以点 O 为圆心，OB 为半径作圆，如图所示，将问题转化为B“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。最大值：OA+OB；最小值：OA-OBAO最小值位置最大值位置【条件】：线段 OA=4，OB=2；以点 O 为圆心，OB，OC 为半径作圆；点 P 是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；【结论】：若 PA 的最大值为 10，则 OC= 6 ；若 PA 的最小值为 1，则 OC= 3 ；若 PA 的最小值为 2，则 PC 的取值范围是 0PC2BCAOP【条件】：RtOBC，OBC=30；OC=2；OA=1；点 P 为 BC 上动点（可与端点重合）；OBC 绕点 O 旋转1【结论】：PA 最大值为 OA+OB=1 + 2 3 ；PA 的最小值为 OB = OA = 3 - 12如下图，圆的最小半径为 O 到 BC 垂线段长。CPCPBOABOA 模型八：二倍角模型【条件】：在ABC 中，B=2C；辅助线：以 BC 的垂直平分线为对称轴，作点 A 的对称点 A，连接 AA、BA、CA、则 BA=AA=CA(注意这个结论）此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。AABCBCAAED模型九：相似三角形模型A（1）相似三角形模型-基本型平行类：DEBC；EDEDBCBCBCA字型8字型A字型AD AE DE=AB AC BC结论：(注意对应边要对应）AAE（2）相似三角形模型-斜交型【条件】：如右图，AED=ACB=90；【结论】：AEAB=ACADEDCCBB斜交型斜交型DAAE【条件】：如右图，ACE=ABC；【结论】：AC2=AEABEB斜交型CBC双垂型第四个图还存在射影定理：AEEC=BCAC；BC2=BEBA；CE2=AEBE； （3）相似三角形模型-一线三等角型【条件】：（1）图：ABC=ACE=CDE=90；（2）图：ABC=ACE=CDE=60；EA（3）图：ABC=ACE=CDE=45；C图（1）DB【结论】：ABCCDE；ABDE=BCCD；一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。AAEEBC图（2）DBCD图（3）（4）相似三角形模型-圆幂定理型【条件】：（2）图：PA 为圆的切线；【结论】：（1）图：PAPB=PCPD；ADPCB2（2）图：PA =PCPB;（3）图：PAPB=PCPD；图（1）以上结论均可以通过相似三角形进行证明。APPACBBCD图（2）图（3）（3）相似三角形模型-一线三等角型【条件】：（1）图：ABC=ACE=CDE=90；（2）图：ABC=ACE=CDE=60；EA（3）图：ABC=ACE=CDE=45；C图（1）DB【结论】：ABCCDE；ABDE=BCCD；一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。AAEEBC图（2）DBCD图（3）（4）相似三角形模型-圆幂定理型【条件】：（2）图：PA 为圆的切线；【结论】：（1）图：PAPB=PCPD；ADPCB2（2）图：PA =PCPB;（3）图：PAPB=PCPD；图（1）以上结论均可以通过相似三角形进行证明。APPACBBCD图（2）图（3）（3）相似三角形模型-一线三等角型【条件】：（1）图：ABC=ACE=CDE=90；（2）图：ABC=ACE=CDE=60；EA（3）图：ABC=ACE=CDE=45；C图（1）DB【结论】：ABCCDE；ABDE=BCCD；一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。AAEEBC图（2）DBCD图（3）（4）相似三角形模型-圆幂定理型【条件】：（2）图：PA 为圆的切线；【结论】：（1）图：PAPB=PCPD；ADPCB2（2）图：PA =PCPB;（3）图：PAPB=PCPD；图（1）以上结论均可以通过相似三角形进行证明。APPACBBCD图（2）图（3）