高中数学竞赛平面几何讲座第4讲--四点共圆问题.doc

第四讲 四点共圆问题“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材几何二册所介绍的两种（即P89定理和P93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用.1“四点共圆”作为证题目的例1给出锐角ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.(第19届美国数学奥林匹克)分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. 欲证M，N，P，Q四点共圆，须证MKKNPKKQ，即证(MC-KC)(MC+KC)(PB-KB)(PB+KB) 或MC2-KC2=PB2-KB2 . 不难证明 AP=AM，从而有AB2+PB2=AC2+MC2.故 MC2-PB2=AB2-AC2 =(AK2-KB2)-(AK2-KC2) =KC2-KB2. 由即得，命题得证.例2A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为OAB，OBC，OCA的外心.求证：O，O1，O2，O3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察OBC及其外接圆，立得OO2O1=OO2B=OCB.观察OCA及其外接圆，立得OO3O1=OO3A=OCA.由OO2O1=OO3O1O，O1，O2，O3共圆.利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.2以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面.(1)证角相等例3在梯形ABCD中，ABDC，ABCD，K，M分别在AD，BC上，DAMCBK.求证：DMACKB.（第二届袓冲之杯初中竞赛）分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM，有DABCMK.DAB+ADC180，CMK+KDC180.故C，D，K，M四点共圆CMDDKC.但已证AMBBKA，DMACKB.(2)证线垂直例4O过ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N(K与N不同).ABC 外接圆和BKN外接圆相交于B和M.求证：BMO=90.(第26届IMO第五题)分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得GMC=BAC=BNK=BMK.而COK=2BAC=GMC+BMK=180-CMK， COK+CMK=180C，O，K，M四点共圆. 在这个圆中，由 OC=OK OC=OKOMC=OMK. 但GMC=BMK， 故BMO=90.(3)判断图形形状例5四边形ABCD内接于圆，BCD，ACD，ABD，ABC的内心依次记为IA，IB，IC，ID.试证：IAIBICID是矩形.(第一届数学奥林匹克国家集训选拔试题)分析：连接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得AICB=90+ADB=90+ACB=AIDBA，B，ID，IC四点共圆.同理，A，D，IB，IC四点共圆.此时AICID=180-ABID =180-ABC，AICIB=180-ADIB=180-ADC，AICID+AICIB=360-(ABC+ADC)=360-180=270.故IBICID=90.同样可证IAIBICID其它三个内角皆为90.该四边形必为矩形.(4)计算例6正方形ABCD的中心为O，面积为19892.P为正方形内一点，且OPB=45，PA:PB=5:14.则PB=_(1989，全国初中联赛)分析：答案是PB=42.怎样得到的呢？连接OA，OB.易知O，P，A，B四点共圆，有APB=AOB=90. 故PA2+PB2=AB2=1989.由于PA:PB=5:14，可求PB.(5)其他例7设有边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积(须证明你的论断).(1978，全国高中联赛)分析：设EFG为正方形ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点至少必落在正方形的三条边上，所以不妨令F，G两点在正方形的一组对边上. 作正EFG的高EK，易知E，K，G，D四点共圆KDE=KGE=60.同理，KAE=60.故KAD也是一个正三角形，K必为一个定点. 又正三角形面积取决于它的边长，当KF丄AB时，边长为1，这时边长最小，而面积S=也最小.当KF通过B点时，边长为2，这时边长最大，面积S=2-3也最大.例8NS是O的直径，弦AB丄NS于M，P为ANB上异于N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交O于Q.求证：RSMQ.(1991，江苏省初中竞赛)分析：连接NP，NQ，NR，NR的延长线交O于Q.连接MQ，SQ. 易证N，M，R，P四点共圆，从而，SNQ=MNR=MPR=SPQ=SNQ. 根据圆的轴对称性质可知Q与Q关于NS成轴对称MQ=MQ. 又易证M，S，Q，R四点共圆，且RS是这个圆的直径(RMS=90)，MQ是一条弦(MSQ90)，故RSMQ.但MQ=MQ，所以，RSMQ.练习题1.O1交O2 于A，B两点，射线O1A交O2 于C点，射线O2A交O1 于D点.求证：点A是BCD的内心.(提示：设法证明C，D，O1，B四点共圆，再证C，D，B，O2四点共圆，从而知C，D，O1，B，O2五点共圆.)2.ABC为不等边三角形.A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2. (提示：设法证ABA1与ACA1互补造成A，B，A1，C四点共圆；再证A，A2，B，C四点共圆，从而知A1，A2都是ABC的外接圆上，并注意A1AA2=90.)3.设点M在正三角形三条高线上的射影分别是M1，M2，M3(互不重合).求证：M1M2M3也是正三角形.4.在RtABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证：PD丄QD. (提示：证B，Q，E，P和B，D，E，P分别共圆)5.AD，BE，CF是锐角ABC的三条高.从A引EF的垂线l1，从B引FD的垂线l2，从C引DE的垂线l3.求证：l1，l2，l3三线共点.(提示：过B作AB的垂线交l1于K，证：A，B，K，C四点共圆)第 4 页 共 4 页