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第三章 整式及其加减
小结与复习
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.下列各说法中，错误的是（
）
A.代数式
B.代数式
的意义是
的平方和
的意义是 5 与
的积
y
C. 的 5 倍与 的和的一半，用代数式表示为5x +
2
D.比 的 2 倍多 3 的数，用代数式表示为
2a -b
= 3 b =1
，
2.当a
时，代数式
的值是（
）
2
5
2
A.2
B.0
C.3
D.
3.下面的式子中正确的是（
）
+ 2b = 7ab
A.
B.5a
- 2a = 2a
- 6xy = -xy2
C.3a2
2
D.5xy2
2
96
4.代数式
的值一定不能是（
）
16- a
A.6
B.0
C.8
D.24
5.已知代数式
的值是 5，则代数式
的值是（
）
A.6
B.7
C.11
D.12
a
b
a
b
6.已知 是两位数， 是一位数，把 接写在 的后面，就成为一个三位数.这个三位数可表
示成（
A.10b + a
）
B.ba
C.100b + a
D.b +10a
7.一个代数式的 2 倍与
-2a +b的和是a + 2b
， 这个代数式是（
）
1
2
1
2
3
C. a
2
3
2
3
D. a
2
1
2
A.3a +b
B.
-
a
+
b
+
b
+
b
a
+b - a -1 + b+ 2
a,b
8.已知
两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式
的结果是
（
）
2b +3
2a -3
A.1
B.
C.
D.－1
9.在排成每行七天的日历表中取下一个3´3
方块（如图）.若所有日期数之和
为 189，则 的值为（
）
A.21
10.某商品进价为 a 元，商店将其进价提高 30%作为零售价销售，在销售旺季过后，商店又
以 8 折（即售价的 80%）的价格开展促销活动，这时一件商品的售价为（ ）
B.11
C.15
D.9
A. 元
B.
元
C.
元
D.
元
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
1
11.若
，a，b 互为倒数，则
的值是
．
2
12.若 a=2，b=20，c=200，则
．
13.如右图：
（1）阴影部分的周长是：
（2）阴影部分的面积是：
；
；
（3）当
，
时，阴影部分的周长是
，面积是
．
a - 2b
3(a
- 2b) 3(a + 2b)
= 4
+
14.当
时，代数式
的值是
．
a + 2b
4(a + 2b)
a - 2b
-6x - é4x -(x +5)ù =
15.去括号：
．
3
ë
2
û
16.一个学生由于粗心，在计算35- a
应为____________.
35- a
的值时，误将“ ”看成“ ”，结果得 ，则 的值
-
+
63
+ qx +1的值为 2005，则当
时，代数式
px + qx +1
的
17.当
时，代数式 px
3
3
值为__________.
18.已知甲、乙两种糖果的单价分别是 x 元/千克和 12 元/千克.为了使甲乙两种糖果分别销
售与把它们混合成什 锦糖后再销售收入保持不变，则由 20 千克甲种糖果和 y 千克乙种糖果
混合而成的什锦糖的单价应是
三、解答题（共 46 分）
19.（10 分）化简并求值.
元/千克.
（1）
（2）
，其中
，
；
，其中
.
20.（5 分）化简关于 的代数式
.当 为何值时，代数式的
值是常数？
21.（5 分）一个两位数，把它十位上的数字与个位数字对调，得到一个新的两位数.试说明
原来的两位数与新两位数的差一定能被 9 整除.
22．（6 分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第 5 个图形有多少颗黑色棋子？
（2）第几个图形有 2013 颗黑色棋子？请说明理由．
23．（6 分）观察下面的变形规律：
1
＝1－1
1
1 1
＝ －
1
1 1
＝ －
；
；
；…
1´2
2 2´3 2 3 3´4 3 4
解答下面的问题：
1
＝_____________；
（1）若 n 为正整数，请你猜想
n(n +1)
（2）证明你猜想的结论；
1
1
1
1
+
+
+ +
（3）求和：
．
1´2 2´3 3´4
2 011´2 012
24．（7 分）一种蔬菜 千克，不加工直接出售每千克可卖 元；如果经过加工质量减少了
x
y
20％，价格增加了40％，
问：（1） 千克这种蔬菜加工后可卖多少钱；
x
（2）如果这种蔬菜1000 千克，不加工直接出售每千克可卖1.50 元，问加工后原1000 千
克这种蔬菜可卖多少钱？比加工前多卖多少钱？
25．（7 分）任意写出一个各数位不含零的三位数，任取三个数字中的两个，组合成所有可
能的两位数（有 6 个）.求出所有这些两位数的和，然后将它除以原三位数的各个数位上的
数之和.例如，对三位数223，取其两个数字组成所有可能的两位数：22，23，22，23，32，
32.它们的和是 154.三位数 223 各数位上的数的和是 7，154¸7 = 22
.再换几个数试一试，
你发现了什么？请写出你按上面方法的探索过程和所发现的结果，并运用代数式的知识 说
明所发现的结果的正确性.
第三章 整式及其加减检测题参考答案
一、选择题
1
(5
)
1.C 解析：选项 C 中运算顺序表达错误，应写成
x + y .
2
2a -b 2´3-1 5
得
= 3 b =1
，
=
2.D 解析：将 a
代入代数式
，故选 D.
2
2
2
3.D 解析：A、B 不是同类项，不能合并；C 结果应为 .
4.B
5.C 解析：因为
，所以
，从而
.
6.C 解析：两位数的表示方法：十位数字×10 个位数字；三位数的表示方法：百位数字
×100 十位数字×10 个位数字 ． 是两位数， 是一位数，依据题意可得 扩大了 100 倍，
所以这个三位数可表示成100b + a
．
7.D
解析：这个代数式的 2 倍为
，所以这个代数式为
3
1
a + b
.
2
2
8.B
解析： 由数 轴可知
，且
， 所以
，故
a + b - a -1 + b +2 =a +b -( a -1) +( b +2) =a +b -a 1+ +b 2+ =2 b 3+
.
9.A 解析：日历的排列是有一定规律的，在日历表中取下一个3×3 方块，
当中间的数是 的话，它上面的数是
左边的数是 ，右边的数是
，下面的数是
，
，
左边最上面的数是
，最下面的数是
，最下面的数是
，
右边最上面的数是
若所有日期数之和为 189，
则
.
，即
，解得：
，故选 A．
10.D 解析：依题意可得：
（元），故选 D．
二、填空题
11.7
解 析 ： 因 为 a，b
互 为 倒 数 ， 所 以
. 则
1
2
1
2
.
12.622 解析：因为
，
将
代入可得
（2） （3）46，77
.
13.（1）
解析：阴影部分的面积是：
.
15
4
a 2b
-
+
=
a 2b 1
= 4
14.
解析：因为
，所以
，
a + 2b
a - 2b 4
3(a - 2b) 3(a + 2b) 3
1
3 15
+
= ´4 + 3´ = 3+ =
故
.
4(a + 2b)
a - 2b
4
4
4 4
-6x3 -4x2 + x +5
15.
-6x3 -[4x2 -(x +5)]= -6x3 -(4x2 - x -5) = -6x3 -4x2 + x +5
解析：
.
1 6.7 解析：由题意可知
，故
.所以
.
+ qx +1
+ + =
= p q 1 2005 ，所 以
17.－2003
解析：因为当
时，px
，
3
+ qx +1
- + =
= p q 1
所以当
时， px
.
3
20x +12y
18.
解析：此题要根据题意列出代数式．先求出 20 千克甲种糖果和 千克乙种
20 + y
糖果的总价钱，即
元，混合糖果的质量是
千克，由此我们可以求出 20
20x +12y
（元/千克）．
20 + y
千克甲种糖果和 千克乙种糖果混合而成的什锦糖的单价应为
三、解答题
19.解：（1）对原式去括号，合并同类项得，
(
) (
)
2 2x -3y - 3x + 2y +1 = 4x -6y -3x - 2y -1= x -8y -1
.
x = 2, y = -0.5
将
代入得
.
（2）对原式去括号，合并同类项得 ，
( )
(
)
(
)
- 3a - 4ab + éa - 2 2a + 2ab ù = -3a + 4ab+ a - 2 2a + 2ab
2
2
2
2
ë
û
= -3a + 4ab+ a - 4a - 4ab = -2a - 4a
2
2
2
.
-2 - 4 = -2´(-2) - 4´(-2) = -2´ 4 + 8 = 0
a
将 a
= -2
代入得 a
2
2
.
20.解：将
去括号，得
，
合并同类项，得
.
若代数式的值是常数，则
故当 时，代数式的值是常数.
，解得
.
21. 解：设原来的两位数是
，则调换位置后的新数是
．
．
∴
∴ 这个数一定能被 9 整除．
22.解：（1）第 1 个图形需棋子 6 颗，
第 2 个图形需棋子 9 颗，
第 3 个图形需棋子 12 颗，
第 4 个图形需棋子 15 颗，
第 5 个图形需棋子 18 颗，
…
第 n 个图形需棋子
颗．
答：第 5 个图形有 18 颗黑色棋子．
（2）设第 n 个图形有 2013 颗黑色棋子，
根据（1）得
，解得
，
所以第 670 个图形有 2013 颗黑色棋子．
1
1
－
23.（1）解：
；
n n +1
1
1
n +1
n
n +1- n
1
－
＝
－
=
=
=
左边，
（2）证明：右边=
n n +1 n(n +1) n(n +1) n(n +1) n(n +1)
所以猜想成立．
1 1 1 1 1
1
1
1- + - + - + +
-
（3）解：原式=
2 2 3 3 4
2 011 2 012
1
2 011
=1-
=
．
2 012 2 012
24.解：（1） 千克这种蔬菜加工后质量为
千克，价格为
元．
故 千克这种蔬菜加工后可卖
（ 元）．
（2）加工后可卖 1.12×1000 ×1.5=1680 （元），
（元），
比加工前多卖 180 元．
57 + 75+ 78+87 +58+85
= 22;
25.解：举例 1：三位数 578：
5+ 7 +8
12+ 21+13+ 31+ 23+32
= 22;
举例 2：三位数 123：
1+ 2 + 3
猜 想：所有可能的两位数的和除以这几个数字的和恒等于22．
证明如下：
(
)
100a +10b +c a,b,c ¹ 0
设三位数为
，则
所有的两位数是
故
．
10a + b +10b + a +10a + c +10c + a +10b + c +10c + b
a + b + c
(
)
22 a + b + c
22a + 22b + 22c
a + b + c
=
=
= 22.
a + b + c
( )
(
)
(
)
- 3a - 4ab + éa - 2 2a + 2ab ù = -3a + 4ab+ a - 2 2a + 2ab
2
2
2
2
ë
û
= -3a + 4ab+ a - 4a - 4ab = -2a - 4a
2
2
2
.
-2 - 4 = -2´(-2) - 4´(-2) = -2´ 4 + 8 = 0
a
将 a
= -2
代入得 a
2
2
.
20.解：将
去括号，得
，
合并同类项，得
.
若代数式的值是常数，则
故当 时，代数式的值是常数.
，解得
.
21. 解：设原来的两位数是
，则调换位置后的新数是
．
．
∴
∴ 这个数一定能被 9 整除．
22.解：（1）第 1 个图形需棋子 6 颗，
第 2 个图形需棋子 9 颗，
第 3 个图形需棋子 12 颗，
第 4 个图形需棋子 15 颗，
第 5 个图形需棋子 18 颗，
…
第 n 个图形需棋子
颗．
答：第 5 个图形有 18 颗黑色棋子．
（2）设第 n 个图形有 2013 颗黑色棋子，
根据（1）得
，解得
，
所以第 670 个图形有 2013 颗黑色棋子．
1
1
－
23.（1）解：
；
n n +1
1
1
n +1
n
n +1- n
1
－
＝
－
=
=
=
左边，
（2）证明：右边=
n n +1 n(n +1) n(n +1) n(n +1) n(n +1)
所以猜想成立．
1 1 1 1 1
1
1
1- + - + - + +
-
（3）解：原式=
2 2 3 3 4
2 011 2 012
1
2 011
=1-
=
．
2 012 2 012
24.解：（1） 千克这种蔬菜加工后质量为
千克，价格为
元．
故 千克这种蔬菜加工后可卖
（ 元）．
（2）加工后可卖 1.12×1000 ×1.5=1680 （元），
（元），
比加工前多卖 180 元．
57 + 75+ 78+87 +58+85
= 22;
25.解：举例 1：三位数 578：
5+ 7 +8
12+ 21+13+ 31+ 23+32
= 22;
举例 2：三位数 123：
1+ 2 + 3
猜 想：所有可能的两位数的和除以这几个数字的和恒等于22．
证明如下：
(
)
100a +10b +c a,b,c ¹ 0
设三位数为
，则
所有的两位数是
故
．
10a + b +10b + a +10a + c +10c + a +10b + c +10c + b
a + b + c
(
)
22 a + b + c
22a + 22b + 22c
a + b + c
=
=
= 22.
a + b + c
( )
(
)
(
)
- 3a - 4ab + éa - 2 2a + 2ab ù = -3a + 4ab+ a - 2 2a + 2ab
2
2
2
2
ë
û
= -3a + 4ab+ a - 4a - 4ab = -2a - 4a
2
2
2
.
-2 - 4 = -2´(-2) - 4´(-2) = -2´ 4 + 8 = 0
a
将 a
= -2
代入得 a
2
2
.
20.解：将
去括号，得
，
合并同类项，得
.
若代数式的值是常数，则
故当 时，代数式的值是常数.
，解得
.
21. 解：设原来的两位数是
，则调换位置后的新数是
．
．
∴
∴ 这个数一定能被 9 整除．
22.解：（1）第 1 个图形需棋子 6 颗，
第 2 个图形需棋子 9 颗，
第 3 个图形需棋子 12 颗，
第 4 个图形需棋子 15 颗，
第 5 个图形需棋子 18 颗，
…
第 n 个图形需棋子
颗．
答：第 5 个图形有 18 颗黑色棋子．
（2）设第 n 个图形有 2013 颗黑色棋子，
根据（1）得
，解得
，
所以第 670 个图形有 2013 颗黑色棋子．
1
1
－
23.（1）解：
；
n n +1
1
1
n +1
n
n +1- n
1
－
＝
－
=
=
=
左边，
（2）证明：右边=
n n +1 n(n +1) n(n +1) n(n +1) n(n +1)
所以猜想成立．
1 1 1 1 1
1
1
1- + - + - + +
-
（3）解：原式=
2 2 3 3 4
2 011 2 012
1
2 011
=1-
=
．
2 012 2 012
24.解：（1） 千克这种蔬菜加工后质量为
千克，价格为
元．
故 千克这种蔬菜加工后可卖
（ 元）．
（2）加工后可卖 1.12×1000 ×1.5=1680 （元），
（元），
比加工前多卖 180 元．
57 + 75+ 78+87 +58+85
= 22;
25.解：举例 1：三位数 578：
5+ 7 +8
12+ 21+13+ 31+ 23+32
= 22;
举例 2：三位数 123：
1+ 2 + 3
猜 想：所有可能的两位数的和除以这几个数字的和恒等于22．
证明如下：
(
)
100a +10b +c a,b,c ¹ 0
设三位数为
，则
所有的两位数是
故
．
10a + b +10b + a +10a + c +10c + a +10b + c +10c + b
a + b + c
(
)
22 a + b + c
22a + 22b + 22c
a + b + c
=
=
= 22.
a + b + c
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