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第十章章末综合检测
(学生用书为活页试卷 解析为教师用书独有)
(检测范围：第十章)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2013·洛阳模拟)将3个不同的小球放入4个不同盒子中，则不同放法种数有 ( )
A．81 B．64
C．12 D．14
解析 B 根据分步乘法计数原理，共有4×4×4＝64(种)．
2．在1,2,3,4,5这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 ( )
A．36个 B．24个
C．18个 D．6个
解析 B 各位数字之和为奇数必须3个数字都是奇数或两个偶数1个奇数，前者有A＝6个，后者有C·A＝18个，共24个．
3．在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有 ( )
A．3项 B．4项
C．5项 D．6项
解析 C Tr＋1＝C()24－rr＝C ，当r＝0,6,12,18,24时，x的幂指数为整数，共5项，故选C.
4．(2013·合肥模拟)从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为
( )
A. B.
C. D.
解析 A 由题意知：k有3种可能，b有3种可能，共有9种可能．所求事件应满足k<0，b>0，共2种可能，故直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为.
5．四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 ( )
A. B．1－
C. D．1－
解析 B
如图，根据几何概型的概率公式得概率为P＝＝＝1－.
6．设随机变量Y的分布列为：
Y
－1
2
3
P
m
则“≤Y≤”的概率为 ( )
A. B.
C. D.
解析 C ∵＋m＋＝1，∴m＝，
∴P＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝.
7．一批花生种子，如果播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是，那么每1粒发芽的概率为 ( )
A. B.
C. D.
解析 D 设每1粒发芽的概率为p，则由n次独立重复试验恰有k次发生的概率公式，得Cp2(1－p)＝，所以p＝.故选D.
8．已知C＝C＋C，则m，n的值为 ( )
A．m＝7，n＝12 B．m＝7，n＝11
C．m＝6，n＝11 D．m＝6，n＝12
解析 D ∵C＋C＝C，∴n＝12，m＝6.
9．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为 ( )
A. B.
C. D.
解析 B 设第一次抽到中奖券为事件A，第二次抽到中奖券记为事件B，则两次都抽到中奖券为事件AB.则P(A)＝；P(AB)＝＝；
P(B|A)＝＝＝.
10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是 ( )
A. B.
C. D.
解析 C 基本事件为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，∴n＝10，不相克的事件数为m＝10－5＝5，∴＝＝.
11．(2013·衡阳模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ<4)＝0.84，则P(ξ<－2)＝ ( )
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
解析 A ∵随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，μ＝1，∴P(ξ<－2)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ<4)＝0.16.
12．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 ( )
A．85 B．56
C．49 D．28
解析 C 由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只去一个，其选法有C·C＝42种；另一类是甲、乙都去，其选法有C·C＝7种，所以共有42＋7＝49种选法．
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
13．若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝
______________________________________________________________.
解析 Tr＋1＝Cx9－rx－r(－a)r＝(－a)rCx9－2r.令9－2r＝3，得r＝3，∴x3的系数为－a3C＝－84，∴a3＝1，∴a＝1.
【答案】 1
14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
解析 依题意得即
由此解得y＝0.4.
【答案】 0.4
15．(2013·中山模拟)某射击爱好者一次击中目标的概率为p，在某次射击训练中向目标射击3次，记X为击中目标的次数，且D(X)＝，则p＝________.
解析 由题意X～B(3，p)．
∴D(X)＝3p(1－p)＝.即(2p－1)2＝0，∴p＝.
【答案】
16．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x、y，则满足复数x＋yi的实部大于虚部的概率是________．
解析 试验结果共有36种情况．当x＝6时，y有5种情况；当x＝5时，y有4种情况；当x＝4时，y有3种情况；当x＝3时，y有2种情况；当x＝2时，y有1种情况．所以P＝＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)(1)在(1＋x)n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n等于多少？
(2)n的展开式中奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大的项．
解析 (1)由已知，得C＝C⇒n＝7.
(2)由已知，得C＋C＋C＋…＝128,2n－1＝128，n＝8，而展开式中二项式系数最大的项是T4＋1＝C(x)4·4＝70x4.
18．(12分)一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法？
(2)某人想得到一张中国移动卡和一张中国联通卡，供自己今后选择使用，共有多少种不同的取法？
解析 (1)任取一张手机卡，可以从10张不同的中国移动卡中任取一张，或从12张不同的中国联通卡中任取一张，每一类办法都能完成这件事，故应用分类加法计数原理，有10＋12＝22(种)取法．
(2)从移动、联通卡中各取一张，则要分两步完成：先从移动卡中任取一张，再从联通卡中任取一张，故应用分步乘法计数原理，有10×12＝120(种)取法．
19．(12分)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ>0)＝.
(1)求文娱队的人数；
(2)写出ξ的概率分布并计算E(ξ)．
解析 设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队共有(7－x)人，那么只会一项的人数是(7－2x)人．
(1)∵P(ξ>0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝，
∴P(ξ＝0)＝，即＝，
∴＝，∴x＝2.
故文娱队共有5人．
(2)P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
20．(12分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为质量超过505克的产品数量，求ξ的分布列；
(3)从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的质量超过505克的概率．
解析 (1)质量超过505克的产品数量是40×(0.05×5＋0.01×5)＝12(件)．
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(3)由(1)的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的质量超过505克，其频率为0.3，可见从流水线上任取一件产品，其质量超过505克的概率为0.3，令η为任取的5件产品中质量超过505克的产品数，则η～B(5,0.3)，故所求的概率为
P(η＝2)＝C×(0.3)2×(0.7)3＝0.308 7.
21．(12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是.
(1)求小球落入A袋中的概率P(A)；
(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中的小球个数，试求ξ＝3的概率和ξ的数学期望E(ξ)．
解析 (1)记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，而小球落入B袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故：P(B)＝3＋3＝，
从而P(A)＝1－P(B)＝1－＝.
(2)显然，随机变量ξ～B，
故P(ξ＝3)＝C×3×＝.
ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
3
4
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝3.
22．(14分)在2012年春运期间，一名大学生要从广州回到济南老家有两种选择，即坐火车或汽车．已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到．若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票．
(1)求这名大学生先去买火车票的概率；
(2)若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，求ξ的均值．
解析 (1)设先去买火车票的概率为P(A)，先去买汽车票的概率为P(B)，
则由条件可知解得
即先去买火车票的概率为0.75.
(2)该大学生先买火车票且买到的概率为0.75×0.6＝0.45，
∴该大学生买汽车票的概率为1－0.45＝0.55.
设该大学生购买车票所花费钱数为ξ，可得ξ的分布列如下：
ξ
120
280
P
0.45
0.55
∴该大学生购买车票所花费钱数的均值：
E(ξ)＝120×0.45＋280×0.55＝208.
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