【人教版】八年级上册数学《期末考试试题》含答案.docx

2020-2021 学年第一学期期末测试
人教版八年级数学试题
一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1
1.要使分式
有意义，则 x 的取值应满足(
)
x + 3
< -3
¹ -3
x
¹ 3
³ 3
A. x
B.
x
C.
x
D.
2.禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102 米，数 0.000000102 用科学记数法表示为(
)
10.2´10-7
1.02´10-7
1.02´10-5
D.
A.
B. 1.2´10-6
C.
3.下列运算中正确的是（
A. a +a ＝2a
）
B. 3a 2a ＝6a
6
5
5
10
3
2
C. a ÷a ＝a
D. （﹣2ab） ＝4a b
2 2 2
6
2
3
4.下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（
）
( )
( )
+ 6 + 9
A. 3 + = 3 + 3
B.
D.
+ 6 + 9 =
x x
a b
a
b
x2
a2
x
( )
( )( )
a a
- 2
C.
ax ay a x y
=
-
-
- 2 = + 2
5. x + kx +
16 是一个完全平方式，则 等于(
)
2
k
±8
±4
A.
B. 8
C.
D. 4
x +1
x - 4
a
6.若分式方程
= 2 +
无解，则a 的值为(
)
x - 4
A. 5
B. 4
C. 3
( )
2b a > b
宽为 的长方形，用剪刀沿它的所有对称轴剪开，把它分成四块，然后按
D. 0
( )
1
a
2 ,
7.图
是一个长为
( )
2
图
那样拼成一个正方形，则中间阴影部分的面积是（ ）
A. a -b2
B.
ab
2
精品试卷

( )
a +b 2
( )
a -b
C.
D.
2
8.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M 和
1
N，再分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP，并廷长交 BC 于点 D，
2
则下列说法中正确的个数是（
①AD 是∠BAC 的平分线
②∠ADC＝60°
）
③点 D 在 AB 的垂直平分线上
④若 AD＝2dm，则点 D 到 AB 的距离是 1dm
⑤S DAC：S DAB＝1：2
△
△
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)
x2 - 4 =
．
9.因式分解：
x - 2
10.若分式
的值为零，则 x 的值等于_____．
2x +1
10 = 2 ，10 = 3 ，则10
=
________．
11.已知
a
b
2a+3b
(
)2
m
n
m - 2 + n - 2018 = 0
m + n =
12.若实数 ， 满足
，则
______.
-1
0
13.如图，ÐAOB=30°，点P 在ÐAOB
OA OB 的对称点，连接CD
、
的内部，点 ，D 分别是点 P 关于
OA OB 分别于点 E 、 F ；若 PEF 的周长的为 10，则线段OP=
_____．
C
交
、
14.已知：如图△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线 BA 上找一点 D，使△ACD 为等腰三角形，则∠ACD
的度数为_____．
精品试卷

三、解答题(每小题 8 分共 16 分)
15.因式分解：
- 4axy + 4ay
（ ） ax
1
；（ ）
2
a b ab
-
．
．
2
2
3
3
1
1+ x
+ 2 =
16.（ ）解分式方程：
1
x - 2
2 - x
ÐA = ÐD
=
Ð
，AB DC ，求证： EBC
= ÐECB．
（ ）如图，
2
与
中， 与
AC BD
交于点 ，且
E
ABC
DCB
的
的
四、解答题(共 32 分，每题 8 分)
( ) ( ) ( )
x
+ 2 2﹣x x + 3 + x +1 (x﹣1)
+ x=2
2
17. 已知 x
(1)
，求
的值．
æ
5 ö x2 -9
-
¸
化简：ç1
，并从 ， ， 中选择一个合适的数求代数式的值．
±2 ±1 ±3
(2)
÷
+ 2
x + 3
è x
ø
18.为厉行节能减排，倡导绿色出行，我市推行“共享单车”公益活动．某公司在小区分别投放 、 两种
A B
5
不同款型 共享单车，其中 型车的投放量是 型车的投放量的 倍， 型车的成本单价比 型车高 元，
A
B
B
A
20
4
型、 型单车投放总成本分别为
B
元和
元，求 型共享单车的成本单价是多少元？
26400 A
A
30000
19.用四块完全相同 小长方形拼成的一个“回形”正方形．
（ ）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式：________；
1
3
a-b
+b = 2
=
（ ）利用（ ）中的结论．计算：a
， ab
，求
的值；
2
1
4
æ
1 ö2
（ ）根据（ ）的结论．若 x - 3x +1 = 0．求 x
-
的值．
3
1
2
ç
÷
è
x ø
20.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组
分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做
精品试卷

分组分解．
- 2xy + y -16 = (x - y) -16 = (x - y + 4)(x - y - 4)
例如： x
2
2
2
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
- 4y - 2x + 4y
；
（1）分解因式 x
2
2
（2） ABC 三边 ， ， 满足 a - b - ac + bc = 0判断 ABC 的形状，并说明理由．
a b c
2
2
五、解答题(本题共 18 分，其中每 9 分)
ABC中， AB= AC
，点 D 在
ABC内， BD = BC，
=
ABC外，
ÐDBC 60
，点E 在
°
21.如图，在
BCE =150 ，ÐABE = 60 ．
Ð
°
°
（1）求Ð
（2）判断
（3）连接
ADB的度数；
ABE
形状并加以证明；
，若
，
DE = 8，求
的长．
AD
DE
DE ^ BD
的
22.阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，
a+b
+b+c
b
例如：a
，abc ，a + b ，…含有两个字母a ， 的对称式的基本对称式是
和 ab ，像a + b ，
2
2
2
2
( )( )
a + 2 b + 2
( )
a+b
+
， ab 表示，例如：a b
= a +b -2ab
2
等对称式都可以用
2
2
．
请根据以上材料解决下列问题：
1 1
(1)式子：①
，②
2
2
，③
+
，④ a b ab 中，属于对称式 是
(填序号)
a b
2
a b
-
2
+
a b
2
2
( )( )
+ a x +b =x2 + mx+ n．
(2)已知 x
①若 m=2，n=-4
，求对称式a + b 的值
2
2
b a
＝-4
②若 n
+
a b
，求对称式
的最大值
六、解答题(本题 12 分)
精品试卷

⊥
，ÐACB=90°，AC=BC
BE AD
．
23.已知： ABC 中，过 点作
B
^ AD
^ AD
AD=BF ；
如图 ，点 D 在 BC 的延长线上，连 AD ，作 BE
1
于 E ，交 AC 于点 F ．求证：
(1)
如图 ，点 D 在线段 BC 上，连 AD ，过 A作 AE
(2) 2
，且 AE=AD，连
交 AC 于 F ，连
BE
DE ，
问 BD与CF 有何数量关系，并加以证明；
如图 ，点 D 在
(3) 3
延长线上， AE=AD且 AE
，连接
、 AC 延长线交
于点 M ，若
BE
CB
^ AD
BE
DB
AC=3MC ，请直接写出
的值．
BC
的
精品试卷

答案与解析
一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1
有意义，则 的取值应满足(
x
)
1.要使分式
x + 3
¹ -3
x
¹ 3
³ 3
A. x
B.
x
< -3
C. x
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
+3 ¹ 0
根据分式有意义的条件是分母不等于零可得到x
，解不等式即可．
+3 ¹ 0
【详解】解：由题意得： x
，
¹ -3
解得： x
，
故选：C ．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．本题不难，
要注意审题．
2.禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102 米，数 0.000000102 用科学记数法表示为(
)
A. 10.2´10-7
B. 1.2´10-6
C.
1.02´10-7
D.
1.02´10-5
【答案】C
【解析】
【分析】
1 | a |<10
本题考查用科学记数法表示绝对值小于 1 的数，一般形式为a´10 ，其中
n
， 由原数左边起第
-n
一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
【详解】解：0.000000102 =1.02´10 ，
-7
故选：C ．
1 | a |<10
【点睛】科学计数法一般形式为 ´10 ，其中
．绝对值大于 10 时， 为正整数，绝对值小于 1
n
a
n
时， 为负整数．
n
3.下列运算中正确的是（
A. a +a ＝2a
）
B. 3a 2a ＝6a
6
5
5
10
3
2
C. a ÷a ＝a
D. （﹣2ab） ＝4a b
2 2 2
6
2
3
【答案】D
【解析】
精品试卷

【分析】
根据整式运算即可求出答案．
【详解】A.a +a =2a ，故 A 错误；
5
5
5
B. 3a 2a =6a ，故 B 错误；
3
2
5
C.a 6÷a =a 4，故 C 错误；
2
故选 D.
【点睛】此题考查整式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则
4.下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（
）
( )
( )
+ 6 + 9
3 a + b = 3a + 3b
6
x
9
A.
B.
D.
+
+ =
x x
x
2
2
( )
( )( )
a a
- 2
- ay = a x - y
- 2 = + 2
C. ax
a
【答案】C
【解析】
【分析】
因式分解的概念：把一个多项式在一个范围内分解，化为几个整式乘积的形式，这种式子变形叫做因式分
解，据此逐一进行分析判断即可.
( )
【详解】A.
3 a + b = 3a + 3b
，整式乘法，故不符合题意；
( )
x x
+ 6 + 9 ，不是因式分解，故不符合题意；
B.
C.
D.
+ 6 + 9 =
x
2
x
( )
-
=
- ，是因式分解，符合题意；
ax ay a x y
( )( )
a
- 2 ¹ + 2 - 2 ，故不符合题意，
a
2
a
故选 C.
5. x + kx +
16 是一个完全平方式，则 等于(
)
2
k
±8
A.
B. 8
C. ±4
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
( )
± b = a ± 2ab + b
根据完全平方公式： a
2
2 ，即可得出结论．
2
【详解】解：∵ x + kx + 是完全平方式，
16
2
精品试卷

( )
+ kx +16 = x + kx + 4 = x ± 4 = x ±8x + 4
∴ x
2
2
2
2
2
2
= ±8
解得：k
故选 A．
【点睛】此题考查的是根据完全平方式，求一次项中的参数，掌握两个完全平方公式的特征是解决此题的
关键．
x +1
x - 4
a
6.若分式方程
= 2 +
无解，则a 的值为(
)
x - 4
A. 5
B. 4
C. 3
D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】
解分式方程，用含 的式子表示 ，根据分式方程无解，得到 -4=0，得到关于 的方程，即可求解．
a
x
x
a
x +1
x - 4
a
【详解】解：
= 2 +
，
x - 4
方程两边同时乘以（ -4）得
x
( )
x +1= 2 x - 4 + a ，
\x = 9 - a ，
由于方程无解，
\x - 4 = 0
，
\9 - a - 4 = 0 ，
\a = 5，
故选： ．
A
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求字母的取值，解题关键是熟练解分式方程．
( )
1
( )
2b a > b
的长方形，用剪刀沿它的所有对称轴剪开，把它分成四块，然后按
a
2 ,
7.图
是一个长为
宽为
( )
2
图
那样拼成一个正方形，则中间阴影部分的面积是（ ）
精品试卷

a -b2
A.
C.
B. ab
2
( )
a +b 2
( )
a -b
2
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形列出算式，再进行化简即可．
【详解】阴影部分的面积 S＝（a＋b） −2a•2b＝a ＋2ab＋b −4ab＝（a−b） ，
2
2
2
2
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能根据图形列出算式是解此题的关键．
8.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC 于点 M 和
1
N，再分别以 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP，并廷长交 BC 于点 D，
2
则下列说法中正确的个数是（
①AD 是∠BAC 平分线
②∠ADC＝60°
）
的
③点 D 在 AB 的垂直平分线上
④若 AD＝2dm，则点 D 到 AB 的距离是 1dm
⑤S DAC：S DAB＝1：2
△
△
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
①根据作图的过程可以判定 AD 是∠BAC 的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC 的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点 D 在
AB 的中垂线上；
④作 DH⊥AB 于 H，由∠1=∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，推出 DC=DH 即可解决问题；
精品试卷

⑤利用 度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
30
【详解】解：①根据作图的过程可知，AD 是∠BAC 的平分线，故①正确；
②如图，∵在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠ ＝ °．
CAB 60
又∵AD 是∠BAC 的平分线，
1
∴∠ ＝∠ ＝ ∠
＝ °，
CAB 30
1
2
2
∴∠ ＝ °﹣∠ ＝ °，即∠ ＝ °．故②正确；
3 90 2 60 ADC 60
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴ ＝ ，
AD BD
∴点 在
D
中垂线上．故③正确；
AB
④作 DH⊥AB 于 H，
的
∵∠ ＝∠ ， ⊥ ， ⊥ ，
1 2 DC AC DH AB
∴ ＝
，
DC DH
1
2
在 △
中， ＝
CD
＝
AD 1dm
，
Rt ACD
∴点 到
D
的距离是 1dm；故④正确，
AB
⑤在 Rt△ACB 中，∵∠B＝30°，
∴ ＝
，
AB 2AC
1
2
1
∴S
：S
＝
• ： • • ＝ ： ；故⑤正确．
AC CD AB DH 1 2
△DAC
△DAB
2
综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有 个．
5
故选： ．
D
【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图 基本作图．解题时，需要熟悉等腰
-
三角形的判定与性质．
二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)
9.因式分解： x - 4 =
．
2
精品试卷

【答案】(x+2)(x-2)
【解析】
(x + 2)( x - 2)
【详解】解： x2 - 4 = x - 2 =
；
2
2
故答案为(x + 2)(x - 2)
x - 2
10.若分式
的值为零，则 x 的值等于_____．
2x +1
【答案】2
【解析】
根据题意得：x﹣2=0，解得：x=2．此时 2x+1=5，符合题意，故答案为 2．
10 = 2 ，10 = 3 ，则10
= ________．
11.已知
2a+3b
a
b
【答案】108
【解析】
【分析】
根据同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用计算即可．
【详解】解：10
2a+3b
10 •10
=
=
=
2a
3b
( )
2
( )
3
10 • 10
a
b
2 ´33
2
=108
故答案为：108．
【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用是解决此题的关键．
(
)
- 2 + n - 2018 = 0
2
12.若实数m ， n 满足 m
，则m-1
+ =
______.
n
0
【答案】1.5
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列式求出 m，n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得：
m-2 = 0，n -2018= 0，
精品试卷

m = 2，n = 2018
∴
1
3
2
+ n = +1=
∴ m-1
0
；
2
3
故答案为 .
2
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0 时，这几个非负数都为0，解题的关键是利用非负
性正确求值.
13.如图，ÐAOB=30°
Ð
，点 在 AOB的内部，点C ，D 分别是点 关于OA、OB 的对称点，连接CD
P
P
=
交OA、OB 分别于点 、 ；若 PEF 的周长的为 10，则线段OP _____．
E
F
【答案】10
【解析】
【分析】
连接OD
，OC ，根据对称得出DDOC
是等边三角形，进而得出答案．
【详解】解：连接OD ，OC ，
∵ D 、C 分别是点 关于直线OA、OB 的对称点，
P
= DF
=
， PE CE ，
\ÐDOF = ÐPOF , ÐCOA = ÐPOA , DO = OP = OC ， PF
\ÐDOC = 2ÐAOB = 60° ，CD=CE+EF+DF=PE+EF+PF=10，
\DDOC
是等边三角形，
\OP = OD = CD =10 ．
故答案为：10．
【点睛】本题依据轴对称的性质，得出DDOC是等边三角形是解题关键．
14.已知：如图△ABC 中 ，∠ ＝50°，∠ ＝90°，在射线
上找一点 ，使△ 为等腰三角形，则∠ACD
D ACD
B
C
BA
的度数为_____．
精品试卷

【答案】70°或 40°或 20°
【解析】
【分析】
分三种情况：①当 AC＝AD 时，②当 CD′＝AD′时，③当 AC＝AD″时，分别根据等腰三角形的性质和三角
形内角和定理求解即可.
【详解】解：∵∠B＝50°，∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°－50°＝40°，
如图，有三种情况：
1
180 40
①当 AC＝AD 时，∠ACD＝
＝70°；
2
②当 CD′＝AD′时，∠ACD′＝∠BAC＝40°；
1
③当 AC＝AD″时，∠ACD″＝ ∠BAC＝20°，
2
故答案为 70°或 40°或 20°
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨
论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题(每小题 8 分共 16 分)
15.因式分解：
（1） ax
- 4axy + 4ay2 ；（2）
．
2
b ab3
-
a
3
( )( )
ab a +b a -b
；（2）
( )
- 2y
2
【答案】（1）a x
【解析】
【分析】
（1）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可；
（2）先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
2
- 4axy + 4ay2
详解】解：（1）ax
精品试卷

(
= a x
)
2
- 4xy + 4y2
( )
- 2y
2
= a x
（2）
a
3
b ab
-
3
( )
=
-
b
ab a
2
2
( )( )
+b a -b
= ab a
【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．
1
1+ x
2 - x
+ 2 =
16.（1）解分式方程：
．
x - 2
DCB
ÐA = ÐD
=
Ð
，AB DC ，求证： EBC
= ÐECB．
（2）如图，
与
中， 与
AC BD
交于点 ，且
E
ABC
2
3
=
【答案】（1） x
；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据解分式方程的一般步骤解方程即可；
（2）利用 AAS 证出△ABE≌△DCE，从而得出 EB=EC，然后根据等边对等角即可得出结论．
1
1+ x
2 - x
+ 2 =
【详解】解：（1）
x - 2
( ) ( )
1+ 2 x - 2 = - 1+ x
1+ 2x - 4 = -1- x
2
=
解得 x
3
2
3
=
经检验： x
是原方程的解；
（2）在△ABE 和△DCE 中
ìÐA = ÐD
ï
ÐAEB = ÐDEC
AB = DC
í
ï
î
∴△ABE≌△DCE
∴EB=EC
精品试卷

ÐEBC = ÐECB
∴
【点睛】此题考查的是解分式方程、全等三角形的判定及性质和等腰三角形的性质，掌握解分式方程的一
般步骤、全等三角形的判定及性质和等边对等角是解决此题的关键．
四、解答题(共 32 分，每题 8 分)
( ) ( ) ( )
+ 2 ﹣x x + 3 + x +1 (x﹣1)
2
17.(1)已知 2
+ x=2 ，求 x
的值．
x
5
x2 -9
æ
ö
÷
ø
1-
¸
(2)化简：ç
，并从±2，±1，±3 中选择一个合适的数求代数式的值．
+ 2
x + 3
è x
1
x
=1
，当 时，
【答案】（1）原式= x2 + x + 3 ，把 x2
+ x = 2
代入得；原式
=
2 + 3 = 5
；（2）原式
=
x + 2
1
=
原式
．
3
【解析】
【分析】
（1）先进行整式运算，再代入求值；
（2）先进行分式计算，根据题意选择合适的值代入求解．
【详解】解：（1）原式= + 4 + 4 - - 3 + -1
x
2
x
x
2
x x2
= x2 + x + 3，
+ x = 2
把 x2
代入得，
原式
= 2 + 3 = 5；
x + 2
5
x + 3
æ
ç
ö
（2）原式=
x - 3
-
´
÷
+ 2 x + 2 (x - 3)(x + 3)
è x
ø
x + 3
=
´
x + 2 (x - 3)(x + 3)
1
=
，
x + 2
由分式有意义条件得 当 为-2，±3 时分式无意义，
x
1
∴当 x
=1时，原式
=
．
3
【点睛】（1）整体代入求值是一种常见的化简求值的方法，要熟练掌握；
（2）遇到分式化简求值时，要使选择的值确保原分式有意义．
18.为厉行节能减排，倡导绿色出行，我市推行“共享单车”公益活动．某公司在小区分别投放 、 两种
A B
5
不同款型的共享单车，其中 型车的投放量是 型车的投放量的 倍， 型车的成本单价比 型车高 20 元，
A
B
B
A
4
型、 型单车投放总成本分别为 30000 元和 26400 元，求 型共享单车的成本单价是多少元？
A
B
A
【答案】A 型共享单车的成本单价是 200 元
精品试卷

【解析】
【分析】
设 型共享单车的成本单价是 元，则 型共享单车的成本单价是（ ＋ ）元，然后根据题意列出分式方
A x B x 20
程，即可求出结论．
【详解】解：设 型共享单车的成本单价是 元，则 型共享单车的成本单价是（ ＋ ）元
A x B x 20
30000 5 26400
= •
根据题意可得
x
4 x + 20
= 200
解得： x
经检验： x
= 200是原方程的解．
答： 型共享单车的成本单价是
A
元．
200
【点睛】此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
19.用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．
（ ）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式：________；
1
3
a-b
+b = 2
=
（ ）利用（ ）中的结论．计算：a
， ab
，求
的值；
2
1
4
æ
1
ö2
（ ）根据（ ）的结论．若 x - 3x +1 = 0．求 x
-
的值．
3
1
ç
÷
2
è
x ø
2
( ) ( )
æ
1 ö
+ b - a -b = 4ab
a -b =
-
=
5
【答案】（ ） a
1
2
2
；（ ）
2
或 ；（ ） x
1
è
-1
3 ç
÷
x ø
【解析】
【分析】
（ ）图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去中间空白正方形的面积，也等于 个长为 ，宽为 的
1 4 a b
长方形的面积，即可得出结论；
3
+b = 2
=
（ ）将a
， ab
代入（ ）中等式即可；
1
2
4
1
x + = 3
x
（ ）将 x - 3x +1 = 0的两边同时除以 并整理可得
，然后根据（ ）中等式可得
1
3
x
2
精品试卷

1
1
1
æ
ö
2
æ
ö
2
x +
- x -
= 4x • ，从而得出结论．
ç
è
÷ ç
÷
x ø è
x ø
x
【详解】解：（1）图中大正方形的边长为a+b，中间空白正方形的边长为a-b，所以阴影部分的面积为：
( ) ( )
- a -b 2 ；阴影部分也是由 4 个长为 a，宽为 b 的长方形组成，所以阴影部分的面积为：4ab
a + b
2
( ) ( )
+ b - a -b = 4ab
∴ a
2
2
( ) ( )
+ b - a -b = 4ab
故答案为： a
2
2
；
3
4
+b = 2
=
（2）将a
， ab
代入（1）中等式，得
3
( )
2 - a - b = 4´
2
2
4
-b =
解得： a
-1 或 1；
1 2
æ
ö
（3）∵ x
-
有意义的条件为：x≠0
ç
÷
è
x ø
将 x2 - 3x +1 = 0的两边同时除以 x,得
1
x -3+ = 0
x
1
+ = 3
∴ x
x
1
1
1
æ
ö
2
æ
ö
2
+
- x -
= 4x •
由（1）中等式可得 x
ç
÷ ç
÷
è
x ø è
x ø
x
1
+ = 3
将 x
代入，得
x
1
æ
ö
2
3 - x -
= 4
2
ç
÷
è
x ø
1 2
æ
ö
-
= 5
变形，得 x
ç
÷
è
x ø
【点睛】此题考查的是利用阴影部分的不同求法推导等式，掌握阴影部分的面积的不同求法和等式的变形
及应用是解决此题的关键．
20.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组
分解法、拆项法、字相乘法等等，将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做
分组分解．
- 2xy + y -16 = (x - y) -16 = (x - y + 4)(x - y - 4)
例如： x
2
2
2
精品试卷

利用这种分组的思想方法解决下列问题：
- 4y - 2x + 4y
；
（1）分解因式 x
2
2
（2） ABC 三边 ， ， 满足 a - b - ac + bc = 0判断 ABC 的形状，并说明理由．
a b c
2
2
(
)( )
x + 2y - 2 x - 2y
【答案】（1）
；（2） ABC 是等腰三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，先将原多项式分组，分别因式分解后再利用提公因式法因式分解即可；
（2）先将等式左侧因式分解，再根据两式相乘等于0，则至少有一个式子的值为 0 和三角形的三边关系即
可得出结论．
- 4y - 2x + 4y
【详解】解：（1） x
2
2
( )
(
)
- 4y - 2x - 4y
= x
2
2
( )( ) ( )
+ 2y x - 2y - 2 x - 2y
= x
(
= x
)( )
+ 2y - 2 x - 2y
（2） ABC 是等腰三角形，理由如下
∵ a - b - ac + bc = 0
2
2
( )
(
)
a -b - ac -bc = 0
∴
2
2
( )( ) ( )
+ b a - b - c a - b = 0
∴ a
(
)( )
a + b - c a - b = 0
∴
∵ ， ， 是△ABC 的三边
a b c
+b -c > 0
-b = 0
= b
∴ a
∴ a
∴ a
∴ ABC 是等腰三角形
【点睛】此题考查的是用分组法因式分解和因式分解的应用，掌握因式分解的各个方法是解决此题的关键．
五、解答题(本题共 18 分，其中每 9 分)
ABC中， AB= AC
ABC内， BD = BC，Ð
ABC外，
，点 D 在
DBC = 60°，点E 在
21.如图，在
精品试卷

BCE =150 ， ABE = 60 ．
Ð
Ð
°
°
ADB
（1）求Ð
（2）判断
（3）连接
度数；
ABE的形状并加以证明；
的
，若
，
DE = 8，求
的长．
AD
DE
DE ^ BD
【答案】(1) 150°;(2) △ABE 是等边三角形,理由见解析;(3)4
【解析】
【分析】
（1）首先证明△DBC 是等边三角形，推出∠BDC=60°，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB=∠ADC 即可
解决问题．
（2）结论：△ABE 是等边三角形．只要证明△ABD≌△EBC 即可．
（3）首先证明△DEC 是含有 30 度角的直角三角形，求出 EC 的长，理由全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，
∴△DBC 是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，
在△ADB 和△ADC 中，
ì
AB AC
=
ï
= AD
íAD
，
ï
DB = DC
î
1
∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB= （360°﹣60°）=150°．
2
（2）解：结论：△ABE 是等边三角形．
理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE，
△ABD 和△EBC 中，
ì =
AB EB
ï
ÐADB = ÐBCE =150°
ÐABD = ÐCBE
í
，
ï
î
∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE，∵∠ABE=60°，∴△ABE 是等边三角形．
精品试卷

（3）解：连接 DE．
∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，
1
∴∠EDC=30°，∴EC= DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4．
2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30 度角的直角三角形的性质等
知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．
22.阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，
a+b
+b+c
b
例如：a
，abc ，a + b ，…含有两个字母a ， 的对称式的基本对称式是
和 ab ，像a + b ，
2
2
2
2
( )( )
a + 2 b + 2
( )
a+b
+
， ab 表示，例如：a b
= a +b -2ab
2
等对称式都可以用
2
2
．
请根据以上材料解决下列问题：
1 1
(1)式子：①
，②
2
，③
，④ a2b ab2 中，属于对称式的是
+
(填序号)
a b
2
-
a2 b
2
+
a b
( )( )
+ a x +b =x2 + mx+ n．
(2)已知 x
①若 m=2，n=-4
，求对称式a + b 的值
2
2
b a
+
a b
＝-4
②若 n
，求对称式
的最大值
【答案】（1）①③④；（2）①12，②-2．
【解析】
【分析】
（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择，
（2）已知(x + a)(x + b) = x2 + mx + n
．则m a b， =
= +
，
n ab
= 2 n = 4
，利用整式变形可求出a + b 的值；
2
2
① m
② n
，