基于Matlab双曲正割脉冲在一段级联光纤中传输仿真.doc

1 绪论
1.1 课题研究背景与意义
超连续（SC）谱指的是强短光脉冲在通过非线性介质(如光纤)时所形成的极大展宽光谱。超连续谱的产生是指当一束强高峰值功率的光脉冲通过光纤后，透射谱中出现许多新的频率成分，使光谱的宽度展宽远远大于入射脉冲的谱宽。该现象的产生是由于光纤中的自相位调制(SPM)，交叉相位调制(XPM)等非线性效应和色散以及啁啾等共同作用的结果，受激拉曼散射(SRS)也会引起光谱展宽。同其他用于光纤通信的超短脉冲光源相比，超连续谱具有连续宽带谱、稳定可靠、简单廉价等诸多优点，将在未来的 T bit/ s波分复用/光时分复用(WDM/ OTDM) 系统中扮演重要角色。利用光纤中的超连续 (SC) 谱展宽技术，能够在很宽的光谱范围内同时获得多个高重复率、多波长超短脉冲，是一种有效的超短脉冲光源产生方法。而超短脉冲光源是非线性光学、信息光电子超快光谱和多光子显微镜等诸多应用领域的关键器件，具有广阔的应用前景[1]。
近年来，光纤中的光谱超连续展宽技术已经成为当前热门的研究课题。SC
谱光源以其优越的性能在光谱检测、生物医学、高精密光学频率测量及波分复用光通信系统等方面有着重要的作用，主要有以下几个方面：波形和群速度测量、超高速WDM系统光源、实现无抽运的自频移、全光解复用。同时，利用SC谱光源还可以实现高分辨率的DCT。此外，SC谱在超短脉冲压缩、激光光谱学和传感技术方面也有大的应用潜力[2]。
1.2 本文的主要内容
以上是关于本课题的研究背景及意义，本文主要利用MATLAB进行模拟、分析研究双曲正割脉冲[3]在一段级联光纤中传输的光谱展宽特性。最后得到级联光纤中双曲正割脉冲展宽的规律。全文结构如下：
第一章 主要介绍课题背景、意义以及本文的内容；
第二章 主要讲脉冲在光纤中传输的基本特性，包括损耗、色散效应、非线
性效应等，然后介绍了光纤中的非线性传输方程——非线性薛定谔方程及其求解方法；
第三章 通过MATLAB进行模拟，分析在级联光纤中双曲正割脉冲光谱展宽特性，得出结论；
第四章 综合前文对全文进行总结。

2 光脉冲的传输及其求解模型
2.1 光纤的基本特性
最简单的光纤[4]是由折射率略低于纤芯的包层包裹着纤芯组成的，纤芯、包层折射率分别记做和,这样的光纤通常称为折射率阶跃光纤，以区别其他折射率从纤芯到芯边缘渐渐变小的折射率梯度光纤。图2-1给出了阶跃折射率光纤的横截面和折射率分布示意。描述光纤特性的两个参量是纤芯——包层相对折射率Δ，定义为
(2-1)
以及由下式定义的归一化频率
(2-2)
式中，，为纤芯半径，为光波波长。

图 2-1 阶跃折射率光纤的横截面和折射率分布示意图

参量V决定了光纤中能容纳的模式数量。在阶跃光纤中，如果V<2.405，则它只能容纳单模，满足这个条件的光纤称为单模光纤。单模光纤与多模光纤的主要区别在于纤径，对典型的多模光纤来说，其纤径=25µm—30µm；而的典型值约为310-3的单模光纤，要求<5µm。包层半径b的数值无太严格的限制，只要它大到足以把光纤模式完全封闭在内就满足要求，对单模和多模光纤，其标准值为b=62.5µm。除非特别说明，本文所致光纤均是单模光纤。
2.1.1 光纤损耗
光纤的一个重要参量是光信号在光纤内传输时功率的损耗。若是入射光纤的功率，传输功率
(2-3)
式中，是衰减系数，通常称为光纤损耗，L是光纤的长度。习惯上将光纤的损耗通过下式用dB/km来表示
(2-4)
显然，光纤损耗与光波长有关，图2-2中给出了单模石英光纤的损耗谱，它表明在1.55µm处最小损耗为0.2dB/km。显而易见，在较短波长处有较高的损耗，在可见区达10dB/km左右。然而值得注意的是，即使是10dB/km的损耗也仅仅对应与衰减常数，对于大多数材料，这也是一个惊人的低值。
2.1.2 光纤色散
当一束电磁波与电介质的束缚电子相互作用时，介质的响应通常与光波频率有关，这种特性称为色散[5]，它表明折射率对频率的依赖关系。由于不同频率分量对应于由 (c为光速)给定的不同的脉冲传输速度，因而色散在短脉冲传输中起关键作用。在数学上，光纤的色散效应可以通过在中心频率处展开成模传输常数的泰勒级数来解决
(2-5)
图2-2 单模光纤的损耗曲线

这里
(2-6)
各阶色散都和折射率有关，一阶色散和二阶色散可由下面式子得到：
(2-7)
(2-8)
式中，是群折射率，是群速度[6]，脉冲包络以群速度运动。参量表示群速度色散，和脉冲展宽有关。这种现象称群速度色散（GVD）,是GVD参量。
图2-3给出了熔石英的参量随波长的变化关系。值得注意的是，在波长1.27附近趋于零，对更长的波长则变为负值。=0处的波长称为零色散波长。然而，还应该注意的是，在=附近的脉冲传输要求在方程(2-5)中包含三次项，系数称为三阶色散（TOD）参量。这种高阶色散效应能在线性和非线性区引起超短光脉冲的畸变，只有在脉冲波长趋近于且差别只有几纳米时才需要考虑。
在光纤光学的文章中，通常用色散参数D来代替，它们之间的关系式为：
(2-9)
波导色散[7]对D（或）的影响依赖于光纤设计参数，如纤芯半径和纤芯包
层折射率差光纤的这种特性可以用来把零色散波长移到有最小损耗的1.55附近。这种色散位移光纤在光通信系统中已有应用。根据在1.55处D是否为零，色散位移光纤可以分别称为零色散位移光纤和非零色散位移光纤，这些光纤已经商用。

图2-3 熔融石英中和随波长的变化曲线

图2-4 单模光纤中测得的色散参量D虽波长的变化曲线

根据色散参量或D的符号，光纤中的非线性效应[8]表现出显著不同的特征。因为若波长<，光纤表现出正常色散（>0，见图2-4）。在正常色散区，光脉冲的较高的频率分量（蓝移）比较低的频率分量（红移）传输得慢。相比之下，<0的所谓的反常色散区情况正好相反。由图2-4可以看出，当光波长超过零色散波长（）时，石英光纤表现为反常色散。由于在反常色散区通过色散和非线性效应之间平衡，光线能维持光孤子[9]，使得人们在非线性效应得研究中，对反常色散区特别感兴趣。
色散的一个重要特性是，由于群速度失配，不同波长下的脉冲在光纤内以不同的速度传输，这一特性导致了走离效应，它涉及到两个或更多个交叠脉冲的非线性现象的描述中起了重要的作用。更准确地说，当传输得较快的脉冲完全通过传输得较慢的脉冲后，两光脉冲之间的互作用将停止。两脉冲之间的分离程度由走离参量确定，定义为
(2-10)
式中，，分别为两脉冲的中心波长，在这些波长处的由方程(2-7)计算。对脉宽为的脉冲，可以定义走离长度为
(2-11)
对熔石英，在波长=0.532处，利用方程(2-10)计算图2-3中给出的随的变化。在正常色散区（>0）,长波长脉冲传输得快，反常色散区的情况恰好相反。例如，=1.06处的一脉冲和=0.532处的一脉冲共同传输，它们将以约80ps/m的速度彼此分离开来，对于=20ps的脉冲，其对应的走离长度仅为25cm。群速度失配在涉及到交叉相位调制这种非线性效应是起很重要的作用。
2.1.3 光纤的非线性特性
在高强度电磁场中任何电介质对光的响应都会变成非线性，光线也不例外。
从其基能级看，介质非线性响应的起因与施加到它上面的场的影响下束缚电子的非谐振运动有关，结果导致电偶极子[10]的极化强度P对于电场E是非线性的，但满足通常的关系式
(2-12)
因为分子是对称结构，因而对石英玻璃等于零。所以光纤通常不显示二阶非线性效应，然而电四极矩和磁偶极矩能产生弱的二阶非线性效应，纤芯中的缺陷和色心在一定的条件下也对二次谐波的产生影响。
光纤中的最低阶非线性效应起源于三阶电极化率，它是引起诸如三次谐波产生，四次混频以及非线性折射等现象的主要原因。然而，除非采取特别的措施实现相位匹配，牵涉到新频产生的非线性过程在光纤中是不易发生的。因而，光纤中的大部分非线性效应起源于非线性折射率。而折射率与光强有关的现象是由引起的，即光纤的折射率可表示成
(2-13)
是与有关的非折射率系数
(2-14)
折射率对光强的依赖关系导致了大量有趣的非线性效应：其中研究的最广泛的是自相位调制（SPM）和交叉相位调制(XPM).SPM指的是光场在光纤内传输时本身引起的相移，XPM指的是不同波长传输方向或偏振态的脉冲共同传输时，一种光场的非线性相移。XPM的一个重要特性是，对相同强度的光场，XPM对非线性相移是SPM的两倍。在其它方面，XPM与共同传输光脉冲的不对称频谱展宽有关。
由三阶电极化率觉得的非线性效应，在电磁场和电解质之间无能量交换这个意义上来说是弹性的。二阶非线性效应其因于光场把部分能量传递给介质的受激非弹性散射。光纤众有两个重要的份非线性效应属于受激非弹性散射，他们都和石英的震动激发态有关，众所周知的受激拉曼散射（SRS）和受激布里渊散射（SBS），二者的差别是：在SRS中参与的是光学声子，而在SBS中参与的是声学声子。
2.2 麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程描述了电介质对入射电场的响应。电介质的这种响应是产生光纤色散和非线性的根源。解电介质中麦克斯韦方程的目的和意义在于深刻理解激光脉冲在熔石英光纤中传输演变的物理过程。本章着重讨论能够改变激光脉冲强度的光纤线性和非线性特性。熔石英中的材料吸收、色散和非线性效应是光纤中影响光传输的主要因素。非线性系统中全矢量麦克斯韦波动方程的解析解不存在，数值解也很难得到，因此必须对麦克斯韦方程作一些近似，建立有效的数值模型。本章推导了能够解释吸收、色散和非线性的波动方程的标量近似形式，即非线性薛定谔方程，并介绍了其数值解法—分步傅立叶法。通过求解非线性薛定谔方程，可以模拟脉冲在光纤传输过程中色散和非线性的作用。
同所有的电磁现象一样，光纤中光脉冲的传输也服从麦克斯韦方程组，在国际单位制（或SI）中，该方程组可写成
(2-15)
(2-16)
(2-17)
(2-18)
式中，E，H分别为电场强度矢量和磁场强度矢量；D，B分别为电位移矢量和磁感应强度矢量；，电流密度矢量 J和电荷密度表示电磁场的源，在光纤这样无自由电荷的介质中，显然J=0，=0。
介质内传输的电磁场强度E和H增大时，电位移矢量D和磁感应强度B也
随之增大，它们的关系通过物质方程联系起来
(2-19)
(2-20)
式中为真空中的介电常数；为真空中的磁导率；P、M分别为感应电极化强度和磁极化强度，在光纤这样的无磁性介质中M=0。
经推导得麦克斯韦波动方程
(2-21)
波动方程(2-21)对于求解电介质中的电场E(r，t)是不方便的。通常写成能够解释吸收、色散和非线性的近似方程，即非线性薛定谔方程(NLSE)。
如果只考虑与有关的三阶非线性效应，则感应电极化强度由两部分组成
(2-22)
和分别为电极化强度的线性部分和非线性部分，与场强的普适关系为
(2-23)
(2-24)
在电偶极子近似下，这些关系式是有效的，上述这类介质们比较复杂，需要对它们作一些简化近似。最主要的简化是把非极性极化处理成总感应极化强度的微扰，石英光纤中的非线性效应较弱，因而这时合理的。由(2-15)式光传输的波方程可写为
(2-25)
进一步推导可以得到描述单模光纤内脉冲演化的非线性方程
(2-26)
这就是所谓广义的非线性薛定谔方程(GNLSE)[11]。其中，A是脉冲包迹，z是距离，是角频率，是衰减系数，表示各阶色散
(2-27)
为非线性系数，定义为
(2-28)
光纤的有效纤芯面积可以根据光场的横向分布函数F(x，y) 计算
(2-29)
其中，是脉冲中心角频率，c是光速，是非线性折射率系数，对于石英一般取=3.2，Broderick等人利用线偏振光测量得到非线性折射率系数为=3.0，与块石英的非线性折射率系数十分接近。
若只考虑二阶色散，则方程可简化非线性薛定谔方程，即为
(2-30)
假设A是归一化的，代表光功率。如果用单位表示，则的单位是，参量称为有效纤芯截面[12]。
2.3 求解非线性薛定谔方程的分步傅里叶方法
以求解方程(2-26)式为例，分步傅立叶(Split-step fourier method)方法[13]可写成下形式
(2-31)
其中，是差分算符，它表示线性介质的色散和吸收；是非线性算符，它决定了脉冲传输过程中光纤的非线性效应。这些算符为
(2-32)
(2-33)
从(2-32)和(2-33)式可以看出、、都是的函数。一般来说，沿光纤的长度方向，色散和非线性是同时作用的，分步傅立叶方法通过假定在传输过程中，光场每通过一小段距离h色散和非线性效应可分别作用而得到近似的结果，步长h越小，得到的结果就越精确。第一步仅有非线性作用，第二步仅有色散作用，其数学表达式为
(2-34)
一般分步傅立叶方法能够精确到分步步长h的二阶项。如果让非线性效应包含在
小区间的中间而不是边界，即由下式代替(2-34)
(2-35)
那么上述方程中指数算符的含有了对称形式，该方法称为对称分步傅立叶方法。
对称形式的最重要的优点是主要误差项来自方程中的双对易子，且它是步长h的
三阶项，可以改善计算精度。本文中采用的正是这种方法。
分步傅立叶方法的执行相对来说是相当简捷的，如图2-5所示，光纤长度被分成大量的区间，而这些小区间并不需要等距。光脉冲从一个区间到另一个区间传输。更准确的说，光场在最初的传输过程中只与色散有关；在z+h/2处，光场应乘以一非线性项，以代表整个区间h内的非线性效应；最后，光场在剩下的h/2区间传输，只与色散有关。实际上，假定非线性效应只集中在每个区间的中间（图2-5中的虚线）。
分步傅立叶方法已广泛应用于各种光学问题，包括:大气中的光传输，折射率梯度光纤，半导体激光器，非稳腔及波导祸合器等。当它应用到连续波在非线性介质中传输情形时，这里衍射代替了色散，常被称为光束传输方法。在光纤中脉冲传输的特殊条件下，分步傅立叶方法最早是在1973年开始应用的由于它比大多数有限差分法见效快，已得到广泛应用。这种方法相对于大多数有限差分法有较快的速度，部分原因是采用了有限傅立叶变换（FFT)算法。在推导非线性薛定谔方程时，一个基本的近似是忽略了对传输距离z的二阶导数，即所谓的慢变振幅近似，在光束传输情形中，就是人们熟知的旁轴近似。对光纤中脉冲传输用到的非线性薛定谔方程有几条固有的限制，慢变振幅近似上面已经提到，另一个则是忽略了所有的反向波传输。如果光纤内装有折射率光栅，由于布拉格衍射，一部分脉冲能量将被反射回去，这样的问题就需要同时考虑前向和反向波的传输。其它的限制主要与忽略了电磁场的矢量特性有关，所以偏振效应基本上完全忽略。如果光纤中存在双折射，要包括双折射效应则需要考虑电场和磁场矢量的所有分量。
只考虑色散
只考虑非线性

图2-5 用于数值模拟的分步傅里叶方法示意图

2.3.1 光谱/时间窗口的选取
在光谱/时间窗口[14]的选取上，必须选择合适的尺度以求获得足够的精度并保证较快的计算速度。为了方便计算，FFT要求电场的取样点，并要求具有足够的时间分辨率，以避免混淆和重叠误差。这个足够的取样精度由Nyquist取样法则给出，即要求最小取样频率是有效振幅正弦成分的最高频率的两倍。例如，对于一个高斯脉冲E(t)而言，假设其半高宽为100fs(谱宽4.41THz)，那么估计的最高有效频率成分为或者17.64THZ，根据Nyquist取样法则的取样频率就必须到达。典型的取样频率是取4倍的Nyquist取样频率，也就是或者。如果时域精度次大于Nyquist取样频率，那么在频域就会出现频率成分混淆现象，超出窗口的频率成分会叠加在窗口内的频率成分上，形成不正确的光谱。时间窗口的宽度需要宽到脉冲传输到光纤输出之后的展宽宽度，当然光谱窗口也是如此。在有些问题中，一部分脉冲能量可能散开得很快，很难避免它打到窗口的边界上，这就可能导致数值不稳定，因为到达窗口一边的能量会从窗口的另一边自动进入(FFT算法的使用隐含着周期性边界条件)。通常使用一种“吸收窗口”，人为地吸收掉辐射到窗口边界上的能量，尽管这种方法并不保持脉冲能量。一般来说，只要小心使用，分步傅立叶方法是一个很好的工具。
2.3.2 选择步长
虽然用分步傅立叶法运算相对较简捷，但需要小心选择:和了的步长[15]，以保证精度要求。一般需要通过计算守恒值，如脉冲能量(无吸收情况)，来监视其精度。最佳步长的选择依赖于问题的复杂程度，虽然有几条指导原则，但有时仍需要通过减小步长来保证数值模拟的精度。在步长的选择上，唯一的参考应该就是色散长度和非线性长度了。对于给定的光纤，首先需要计算出色散长度和非线性长度，只有步长同时小于这两个长度，分步傅立叶法的计算结果才有意义。

3 双曲正割脉冲在级联光纤中超连续谱特性研究
3.1 具有正常色散的高非线性光纤
光纤中产生的非线性效应可应用于光波长变换、光脉冲整形、光信号处理、 宽带光源及光脉冲压缩等方面，高非线性光纤(HNLF)是提高光纤非线性作用的关键介质，在这些应用中，只需要较小的泵浦光功率和较短的HNLF就可以达到高效的非线性作用效果。受实际使用环境的影响，HNLF的紧凑封装是必要的， 与非硅基HNLF相比，硅基HNLF的非线性系数较小，因而在相同的情况下所需硅基HNLF较长。随着薄包层HNLF的出现，使用这种光纤的HNLF模块尺寸可以大幅度的减小，而且缩小尺寸的硅基HNLF模块已被优化产生出高效和低噪声的超连续谱（SC）。
采用高非线性光纤产生超连续谱（SC）已吸引了众多的注意，将脉宽为皮秒或亚皮秒、重频在几千赫兹至几吉赫兹、光峰值功率几千瓦、光平均功率数十毫瓦、波长在HNLF零色散附近的泵浦光注入HNLF，则在光纤中产生频谱连续的脉冲光谱。在正常和反常色散区均观察到了SC，频谱在反常色散光纤中的脉冲分裂及不同的并发非线性效应一般会产生细微结构和模间干涉(MI)的噪声频谱；在正常色散光纤中获得的频谱得到了展宽，有较少的频谱细微结构和噪声， SC频谱光滑，具有非常好的信噪比[16]。
正常色散光纤[17]是目前运用光谱展宽的主要光纤之一。对具有不同色散特性光纤产生超连续谱进行了详细的理论计算和分析，结果表明，在反常色散和零色散区，不能产生平坦、宽带的超连续谱，而在正常色散区，可以产生更宽、更平坦的超连续谱。利用脉冲在光纤正常色散区，处于这种工作状态的光纤简称为正常色散光纤。具有正常色散的高非线性光纤是本文所用的主要光纤。
3.2 关于级联方式的频谱展宽特性
我们首先使用的是一段实际的高非线性正常色散光纤HNLF(考虑三阶群速度色散系数的情况下)。在输入双曲正割脉冲一定(P=9W，T0=0.68 ps)的情况下通过长100米的光纤，用Matlab仿真所得出结果如图3-1所示；当增加光纤长度至150米时，用Matlab仿真所得结果如图3-2所示：
对比两图可看出：光纤长度增加了50米，但功率谱密度却几乎没有任何的展宽。这对于价格昂贵的HNLF很不划算。
脉冲在HNLF中的放大过程中,在光纤中传输的距离达到一定的数值的情况下,其展宽程度变得逐渐不明显。由此可见,光谱展宽输人脉冲峰值功率条件一定时,使用的HNLF光纤长度越长,光谱展宽越宽,但随着光纤长度的增一长其展宽程度会显著减小,继续增加光纤长度,脉宽展宽的幅度将更小。这是由于脉冲在正常色散值的HNLF中传输时,脉冲很快展宽,峰值功率随之的下降导致主导光谱展宽的SPM效应迅速减弱。单独采用HNLF来产生SC谱,输人脉冲条件一定时,有效展谱长度存在着一个极限值[18]。

图3-1 脉冲通过100m高非线性光纤输出结果

图3-2 脉冲通过150m高非线性光纤输出结果与之前的对比
改进方案中加人一段一定长度的标准单模光纤[19] (SMF)进行惆啾[20]补偿压缩,以再次提高脉冲的峰值功率,然后再次进人第二段HNLF实现脉冲光谱的进一步展宽。
在此方案中，用三段构成用作光纤光谱展宽。第一段用100米的高非线性光纤，第二段用标准单模光纤，最后一段还是高非线性光纤，长度50米。其结构示意图如下：

HNLF100m SMF HNLF50m

图3-3 级联方式超连续谱结构示意图

标准单模光纤(SMF)是一种比较廉价的光纤。其具体参数如下：
二阶色散系数= -21PS2/km
非线性系数γ=1.34/(km·w)
损耗系数α=0.22dB/km
3.2.1 实际情况下的频谱展宽特性
在此种情况下，三段光纤的三阶色散系数皆需要考虑。按照上述思想步骤在MATLAB中通过改变第二段SMF光纤长度进行反复仿真，最后脉冲依次通过三段光纤输出结果如图3-4所示：
由图可见：脉冲通过SMF光纤后峰值功率达到很大，脉宽很窄，从而有利于脉冲频谱进一度展宽[21]。经过反复仿真还得出通过改变SMF光纤长度可以控制进入最后一段光纤的脉冲宽度和平坦程度，且当SMF光纤长度为70m时脉冲频谱得到了最大程度上的展宽和平坦。单边光谱延伸至1575.4595-1575.46nm。

图3-4 改进方案在实际情况下的输出结果
红线——表示脉冲经过第一段HNLF光纤的输出结果
黑线——表示脉冲经过第二段SMF光纤的输出结果
蓝线——表示脉冲经过第三段HNLF光纤的输出结果

3.2.2 理想情况下的频谱展宽特性
在此种情况下，三段光纤的三阶色散系数皆不需考虑。按照上述思想步骤在MATLAB中通过改变第二段SMF光纤长度进行反复仿真，最后脉冲依次通过三段光纤输出结果如图3-5所示：
由图可见：脉冲通过SMF光纤后峰值功率达到很大，脉宽很窄，从而有利于脉冲频谱进一度展宽。经过反复仿真还得出通过改变SMF光纤长度可以控制进入最后一段光纤的脉冲宽度和平坦程度，且当SMF光纤长度为71m时脉冲频谱得到了最大程度上的展宽和平坦。单边光谱延伸至1575.494-1575.496nm。

图3-5 改进方案在理想情况下的输出结果
红线——表示脉冲经过第一段HNLF光纤的输出结果
黑线——表示脉冲经过第二段SMF光纤的输出结果
蓝线——表示脉冲经过第三段HNLF光纤的输出结果

3.2.3 三阶群速度色散的影响
综上所述，在考虑光纤三阶群速度色散作用后，SC谱没有显著变化这是由于相对于二阶群速度色散,三阶群速度色散值较小,且变化量也不是很大。因此 ,三阶群速度色散的作用不显著。但也有两处变化：(1)频谱最优化时的SMF光纤长度有所不同；(2)不考虑三阶群速度色散作用后，SC的频谱宽度变宽。因此，从光纤制作工艺上来说，尽量减小三阶色散系数，从而得到最宽的频谱。
3.3 脉冲形状的影响
当传输脉冲形状为高斯型时，在本实验下通过MATLAB仿真发现：频谱最优化时SMF光纤的长度会发生变化，而且频谱的最大宽度也有所不同。限于本文的主题，此种情况不多考虑。
4 总结
本文首先介绍了课题的背景，研究方法及目的和意义，然后介绍了脉冲在光纤中传输的基本特性，包括损耗、色散效应、非线性效应等，接着推导了研究脉冲传输的理论模型——非线性薛定谔方程；再接着介绍了用于求解非线性薛定谔方程的分步傅立叶算法的思想及方法；最后采用分步傅立叶算法，并利用Matlab软件仿真双曲正割脉冲在一段级联光纤中传输，找到了其传输特性，并探讨了三阶色散系数对级联方式高非线性光纤频谱展宽特性的影响。

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[20] 李禄．光脉冲在光纤中传输特性的理论研究[D]．山西：山西大学理论物理研究所理论
[21] 费爱梅　杨天新　任晶　贾东方. 光纤参数对超连续频谱展宽影响的理论与实验研究[J] 天津大学精密仪器与光电子工程学院,光电信息技术科学教育部重点实验室,天津300072

附 录

脉冲在第一段HNLF光纤中传输程序：
clear all
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% 定义时间窗口和频率窗口
%=============================================
taum =20;
dtau = 2*taum/2^11;
tunit= 1e-12;
tau = (-taum:dtau:(taum-dtau))*tunit;
fs = 1/(dtau*tunit);
tl = length(tau)/2;
w = 2*pi*fs*(-tl:(tl-1))/length(tau); % w=角频率
wst = w(2)-w(1);
%=============================================
% 选择光纤物理参数
%=============================================
c = 3e5; %[km/sec] 光速
ram0 = 1.55e-9; %[km] 中心波长

gamm = 21.0*1e-3 ; %[1/(km*mW)]
alphaDB = 0.53 ; % [dB/km] 功率损耗
alpha = alphaDB/(10*log10(exp(1))); %[1/km] 线性功率损耗
%=============================================
% 色散参数
%=============================================
Dp =-12.7; % [ps/nm.km]
beta2 = -(ram0)^2*Dp/(2*pi*c); % [sec^2/km]
Ds =0.012; % [ps/nm^2.km]
beta3 =(ram0)^3*(2*Dp+ram0*Ds*1e12)/(2*pi*c)^2; % [sec^3/km]
%=============================================
% 定义输入信号，选择单脉冲信号波形
%=============================================
Po=input('峰值功率[mw]，Po=');
t0=input('脉宽[ps]，t0=')*1e-12;
[at,it,af]=sech_at(tau,Po,t0);
swi=af.*conj(af); % 输入光谱强度
swip=swi(1025); % 输入光谱峰值强度
%=============================================
% 模拟距离和模拟步长
%=============================================
z0=input('z0 = ');%[km] 光纤长度
n=input('n = ');

h = z0/1000;

zfinal = n*h %[km] 传输距离
M = n;
%======================================================
% 定义色散指数算子 (Exp.)
%======================================================
Dh = exp((h)*(-alpha/2+(i/2)*beta2*w.^2-(i/6)*beta3*w.^3));
%================================================%
% 在光纤中传播
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% 调用子程序, sym_ssf.m 采用对称分步傅里叶方法
[bt,bf] = sym_ssf2(M,h,gamm,Dh,at);
% 画出输出功率信号
iw=abs(bt).^2;
subplot(2,1,1),plot(tau,iw,'r');
xlabel('时间 [s]');
ylabel('峰值功率 [mW]')
hold on;grid on; % 时域光强
sw = abs(bf).^2;
swdb = 10*log10(sw/swip)+50;
subplot(2,1,2),
bochang=w/2/pi/1e11*0.8;
plot(bochang+1550,swdb,'r');hold on;grid on; % 频域光谱
axis([1500,1600,0,50]);
xlabel('光谱 [nm]');
ylabel('功率谱密度 [dB]');
% 计算脉冲宽度trms、光谱RMS宽度swrms和平坦度sfrms
%c3para

脉冲在第二段SMF光纤中传输程序：
beta2=-17*1.275e-024;
beta3=0.13e-36;
gamm=0.00134;
n=input('n = ');
zfinal =n*h; %[km] 传输距离
alpha=0.22/4.343;
h =1e-4;%[km] 步长
M = n;

Dh = exp((h)*(-alpha/2+(i/2)*beta2*w.^2-(i/6)*beta3*w.^3));

at=bt;
[bt,bf] = sym_ssf2(M,h,gamm,Dh,at);
iw=abs(bt).^2;
subplot(2,1,1),plot(tau,iw,'k'); % 时域光强
max(iw)
xlabel('时间 [s]');
ylabel('峰值功率 [mW]')
hold on;grid on;
sw = abs(bf).^2;
swdb = 10*log10(sw/swip)+50;
subplot(2,1,2),
bochang=w/2/pi/1e11*0.8;
plot(bochang+1550,swdb,'