院大学物理作业题答案及详解1-22.doc

大连理工大学软件学院大学物理作业及答案
作业1
1．关于电场强度定义式，下列说法中哪个是正确的？[ ]
A．场强的大小与试探电荷的大小成反比。
B．对场中某点，试探电荷受力与的比值不因而变。
C．试探电荷受力的方向就是场强的方向。
D．若场中某点不放试探电荷，则，从而。
答案： 【B】
[解]定义。场强的大小只与产生电场的电荷以及场点有关，与试验电荷无关，A错；如果试验电荷是负电荷，则试验电荷受的库仑力的方向与电场强度方向相反，C错；电荷产生的电场强度是一种客观存在的物质，不因试验电荷的有无而改变，D错；试验电荷所受的库仑力与试验电荷的比值就是电场强度，与试验电荷无关，B正确。
2．一个质子，在电场力作用下从点经点运动到点，其运动轨迹如图所示，已知质点运动的速率是递增的，下面关于点场强方向的四个图示哪个正确？[ ]

答案： 【D】
[解]，质子带正电且沿曲线作加速运动，有向心加速度和切线加速度。
存在向心加速度，即有向心力，指向运动曲线弯屈的方向，因此质子受到的库仑力有指向曲线弯屈方向的分量，而库仑力与电场强度方向平行（相同或相反），因此A和B错；质子沿曲线ACB运动，而且是加速运动，所以质子受到的库仑力还有一个沿ACB方向的分量（在C点是沿右上方），而质子带正电荷，库仑力与电场强度方向相同，所以，C错，D正确。
3．带电量均为的两个点电荷分别位于轴上的和位置，如图所示，则
轴上各点电场强度的表示式为= ，场强最大值的位置在 。
答案：，
[解]
关于y轴对称：

沿y轴正向的场强最大处
处电场最强。
4．如图所示，在一无限长的均匀带点细棒旁垂直放置一均匀带电的细棒。且二棒共面，若二棒的电荷线密度均为，细棒长为，且端距长直细棒也为，那么细棒受到的电场力为 。

答案：，方向沿
[解] 坐标系建立如图：上长为的元电荷受力。
无限长带电直线场强， 方向：沿轴正向。
；方向沿轴正向。
5．用不导电的细塑料棒弯成半径为的圆弧，两端间空隙为，若正电荷均匀分布在棒上，求圆心处场强的大小和方向。
解：设棒上电荷线密度为，则：,
根据叠加原理，圆心处场强可以看成是半径为,电荷线密度为的均匀带电园环（带电量为）在圆心处产生的场强与放在空隙处长为，电荷线密度为的均匀带电棒（可以看成是点电荷）在圆心产生的场强的叠加。即：
;

(方向从圆心指向空隙处)。
6．如图所示，将一绝缘细棒弯成半径为的半圆形，其上半段均匀带有电荷，下半段均匀带有电量，求半圆中心处的电场强度。

解：按题给坐标，设线密度为，有： 。上下段分割，任意在圆心产生 对称性：，

方向沿y轴负方向。
7．线电荷密度为的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状，若圆弧半径为，试求点的场强。

答案：按题给坐标，点的场强可以看作是两个半无限长直导线、半圆在点产生场强的叠加。即：
由对称性，和在方向的矢量和为零；在方向矢量和是单根的2倍。
上半无限长导线取电荷元，它在点的场强沿方向的分量：

，
由对称性，在方向的分量为零。
在圆弧上取电荷元，它在点的场强的方向分量，

，

8．一个金属球带上正电荷后，质量有所增大？减小？不变？
答案：理论上说金属带正电后因失去电子，质量有所减少，但测量很困难。
9．以点电荷为中心，半径为的球面上，场强的大小一定处处相等吗？
答案：如果点电荷是静止孤立的且周围介质均匀分布，则半径为的球面上，场强大小一定处处相等，在其它情形，不一定处处相等。比如，点电荷周围还有其它的带电体，则球面上的场强应是各场强的叠加，可能不处处相等。
作业2
1．如图所示，把点电荷从高斯面外移到处，为上一点，则[ ]
穿过的电通量发生改变，处变
不变，变。 变，不变。不变，不变。
答案：【B】
[解]闭合面外的电荷对穿过闭合面的电通量无贡献，或者说，闭合面外的电荷产生的电场，穿过闭合面的电通量的代数和为零；移动点电荷，会使电荷重新分布，或者说改变电荷的分布，因此改变了点的场强。
2．半径为的均匀带电球面上，电荷面密度为，在球面上取小面元，则上的电荷受到的电场力为[ ]。
0
答案：【B】
解：应用高斯定理和叠加原理求解。如图所示。
面元上的电荷受到的库仑力是其他电荷在面元处产生的总电场强度与面元上的电荷量的乘积：
。
面元处电场强度是面元电荷在此产生的电场强度与其他电荷在面元处产生的总电场强度的矢量和，。
首先，由高斯定理求得全部球面分布电荷在面元处产生的总电场强度

其次，面元上的电荷量对于面元来说，相当于无限大带电平面，因此，面元上的电荷量在面元处产生的电场强度为

由叠加原理，其他电荷在面元处产生的总电场强度为

面元上的电荷量受到的库仑力为

注：本题可以用叠加原理直接进行计算，太麻烦。
3．如图所示，一个带电量为的点电荷位于立方体的角上，则通过侧面的电场强度通量等于[ ]。

答案：【C】
[解] ：如果以为中心，再补充上7个相同大小的立方体，则组成一个边长为小立方体边长2倍大立方体，点电荷位于大立方体的中心。
由高斯定理，穿过大立方体表面的电通量为，大立方体的6个正方形表面相对于点电荷是对称的，所以，穿过大立方体一个侧面的电通量是总电通量的，即穿过大立方体一个侧面（可以考虑所在的侧面）的电通量为。
大立方体一个侧面，是由4个小立方体一个侧面组成的，而这4个小立方体侧面对于点电荷也是对称的，所以，穿过小立方体一个侧面的电通量是穿过大立方体一个侧面的电通量的，即穿过小立方体一个侧面的电通量为。
4．一半径为长为的均匀带电圆柱面，其单位长度带电量为，在带电圆柱的中垂面上有一点，它到轴线距离为，则点的电场强度的大小= ，当时，
，当时， 。
解：当时，在柱体中垂面附近，带电柱体可以被看作无限长。以带电柱体的轴为对称轴，过点作一个高为（）的柱面为高斯面，如图所示。则由对称性，柱面高斯面的上下底面处电场强度处处与高斯面的法线垂直，电通量为零；柱面高斯面的侧面上，电场强度近似处处相等，并与高斯面的法线方向平行。则穿过高斯面的总电通量为

而高斯面包围的电荷量为

由高斯定理，得到
，
如果，则带电柱面体可以被看作点电荷，则

注：本题可以使用电场强度叠加原理求解。即将柱面电荷分布微分成线电荷分布。
5．半径为的不均匀带电球体，电荷体密度分布为，式中为离球心的距离，为常数，则球体上的总电量 。
[解] 取半径为、厚度为的球壳。认为球壳内电荷分布是均匀的

6．如图所示，一质量的小球，带电量，悬于一丝线下端，丝线与一块很大的带电平面成角。若带电平面上电荷分布均匀，很小，不影响带电平面上的电荷分布，求带电平面上的电荷面密度。
解：方法一：
受力分析：小球在重力（垂直方向），绳中张力（与带电平面成30度角）及静电（水平方向）的共同作用下而处于受力平衡状态。其中为无限大均匀带电平面（电荷面密度为）产生的均匀电场，，方向应水平向左

（c/m2）
方法二：利用高斯定理
选择一个柱面为高斯面，柱面的轴垂直于带电平面，柱面包括带电小球并穿过带点平面。由于小球的带电量相对平面的带电量很小则小球的电量q在高斯面中忽略不计。
7．大小两个同心球面，半径分别为，小球上带有电荷，大球上带有电荷。试分别求出时，离球心为处的电场强度。
解：由于电荷、电场分布具有球对称性，可利用高斯定理求场强。
取高斯面如图所示。
（<），
(〈)

(>>)

(>)
8．两个无限长同轴圆柱面，半径分别为和 ，带有等值异号电荷，每单位长度的电量为（即电荷线密度）。试分别求出时，离轴线为处的电荷密度。
解：由于电荷、电场分布具有轴对称性，可利用高斯定理求场强，取长为的同轴柱面加上、下底面为高斯面。当高斯柱面的半径满足：
<时：，
，

>>时：，
，

>时： ，
9．半径为、电荷体密度为的均匀带电球体内部，有一个不带电的球形空腔，空腔半径为，其中心到球心的距离为，如图所示，求的延长线上距球心为处的电场强度。
解：利用场强叠加原理，所求场强可看成半径，电荷密度的均匀带电球体与半径，电荷密度的均匀带电球体（球心位于处）产生场强的叠加，
。
这两球各自产生的场强具有球对称性，利用高斯定理，有

，

10．如果点电荷只受电场力作用而运动，其轨迹是否就是电场线？
答案：不一定。
例如，在均匀电场中，如果正电荷以垂直于电场方向的初速度进入电场，带电粒子的运动轨迹是抛物线，与电场线不一致；当带电粒子初速度沿着电场强度的方向进入电场时，带电粒子的运动轨迹为直线，而且沿着电场强度方向，运动轨迹与电场线方向一致。
11．如果高斯面上处处为零，能否肯定高斯面内一定没有净电荷？
答案：能肯定。
，S面上E=0，给出电通量为0，因此，即高斯面内的电荷代数和为零，也就是说，高斯面内正负电荷等量。
如果高斯面内的正负电荷分开，这也称为高斯面内存在净电荷，则由于正负电荷分布的不均匀性，必将导致高斯面上电场强度不为零。
12．如果高斯面内没有净电荷，能否断定高斯面上一定处处为零？
答案：不能断定。
例如，点电荷的电场处处非0，任取不包含点电荷的闭合曲面，则高斯面内没有净电荷，但高斯面上电场强度不能处处为零。
13．表明静电场具有什么性质？
答案：静电场是有源场。电场线由正电荷出发，终止于负电荷。

作业3
1．电场中某区域内电场线如图所示，将一点电荷从移到点则必有[ ]。
电场力的功
电势能
电势
电势
答案：【C】
解：由于静电场的无旋性，电场强度的线积分与路径无关，由点到点的线积分（即点与点之间的电势差），可以取任意路径。
现取积分路径为：由点到点，处处与电场线（电场强度方向）垂直；由点到点，处处沿着电场线。则
，

因此，点与点的电势差为

所以，C正确，D错误。
由点到点，电场力所作的功为（设移动电荷量为）

尽管，但不知的正负，无法判断的正负。当，即移动正电荷时，电场力作功为正，；如果移动的是负电荷，电场力作功为负，。
电势能是静电场中的带电粒子与电场共同拥有的能量。定义为，点电荷在静电场中点时，系统拥有的电势能为：从点移动电荷到电势零点的过程中，电场力所作的功，，静电势能等于电荷量与电荷所在点电势的乘积。电场力所作的功等于静电势能的减少，静电场中点与点系统的电势能之差，等于移动点电荷由点到点的过程中电场力所作的功

尽管，但电势能之差还与电荷有关，不能判断的正负。
2．图中，、是真空中的两块相互平行的无限大均匀带电平面，电荷面密度分别为和，若将板选作电势零点，则图中点的电势是[ ]。

答案：【C】
解：板间电场为。
解：建立直角坐标系，如图。
无限大带电平板、在两板间的电场强度分别为
，
两板间电场强度为

电场强度线积分的积分路径为：由板间中点指向坐标原点（板），则

因为，所以

3．如图所示，两个同心球面。内球面半径为，均匀带电荷；外球面半径为，是一个非常薄的导体壳，原先不带电，但与地相连接。设地为电势零点，求在两球面之间、距离球心为处的的点的电场强度及电势。

解：取过点、半径的同心球面为高斯面， ，得到 ，电场强度为。
电势

4．一偶极矩为的电偶极子放在场强为的均匀外电场中，与的夹角为。求此电偶极子绕垂直于平面的轴沿增加的方向转过的过程中，电场力做的功。
解：设偶极子正电荷初始位置为，负电荷初始位置为。转动后正电荷在处，负电荷在处。如图，所作的功相当于，把正电荷从点移到点电场力做功与把负电荷从点移到点电场力做功之和。

由于，
故有 。（注意电偶极子的方向是由负电荷指向正电荷）

5．均匀带电球面，半径为，电荷面密度为。试求离球心为处一点的电势。
设点在球内。点在球面上。（3）点在球面外。
解：由于球对称性，由高斯定理求得场强分布
< ；
>
选取无限远处为电势零点，则

>

注意：零势面是无穷远。
6．电荷均匀分布在半径为的球体内，试求离球心处的电势。
解：电荷体密度

由于电场分布具有球对称性，
利用高斯定理可得
?
<

>

7．（不用看！）一圆盘，半径，均匀带电，面密度
求轴线上任一点的电势（该点与盘心的距离为）。
由场强与电势梯度的关系，求该点电场强度。
计算的电势和场强。
解：（1）把圆盘无限分割成许多圆环，其中任一圆环半径为，宽为，该圆环上的电荷量为

此圆环可以被看作无限细带电圆环，在点产生的电势为

由电势叠加原理，有

（2）由对称性知，电场沿方向，

（3）。，
8．半径为的圆弧，所对圆心角，如图所示，圆弧均匀带正电，电荷线密度为。试求圆弧中心处的电场强度和电势。
解：无限分割带电圆弧为许多电荷元，其中任一电荷元可看成点电荷，它在点产生的场强为，电势为，
以轴为对称轴，选另一电荷元与对称，，则有 ，
由于对称性 ，
点总的场强和电势为所有点电荷在该点产生的场强和电势的叠加。

9．表明静电场具有什么性质？
答：静电场是无旋场。静电场中，任意两点之间电场强度的线积分与路径无关。静电场中，任意闭合回路电场强度的线积分为零。可以引入电势的概念。
10．电势为零的空间场强一定为零吗？
答：不一定。电势的零点是人为规定的，有意义的是电势差。电势差是电场强度的线积分，线积分为零，不等于电场强度为零。
反例：如果取无限远处电势为零，则两个等量异号电荷的中垂面上各点电势为0，电场不为0（除电荷连线中点）。
再如，均匀电场中，连线垂直于电场强度方向的两点和，电势差为零，但电场强度不为零。
11．电场强度为零的空间电势一定为零吗？
答：不一定。电势的零点是人为规定的。
如，均匀带电球面内部各点场强为0，电势不为0。
但是，电场强度为零，线积分一定为零，空间各点电势相等，电势差为零。例如，处于静电平衡的导体内，电场强度为零，导体是等势体。
作业4
1．如图所示，两个同心金属球壳，它们离地球很远，内球壳用细导线穿过外球壳上的绝缘小孔与地连接，外球壳上带有正电荷，则内球壳上[ ]。
不带电荷
带正电
带负电荷
外表面带负电荷，内表面带等量正电荷

答案：【C】
解：如图，由高斯定理可知，内球壳内表面不带电。否则内球壳内的静电场不为零。
如果内球壳外表面不带电（已经知道内球壳内表面不带电），则两壳之间没有电场，外球壳内表面也不带电；由于外球壳带正电，外球壳外表面带正电；外球壳外存在静电场。电场强度由内球壳向外的线积分到无限远，不会为零。即内球壳电势不为零。这与内球壳接地（电势为零）矛盾。因此，内球壳外表面一定带电。
设内球壳外表面带电量为（这也就是内球壳带电量），外球壳带电为，则由高斯定理可知，外球壳内表面带电为，外球壳外表面带电为。这样，空间电场强度分布
，（两球壳之间：）
，（外球壳外：）
其他区域（，），电场强度为零。内球壳电势为

则
，
由于，，所以

即内球壳外表面带负电，因此内球壳负电。
2．真空中有一组带电导体，其中某一导体表面某处电荷面密度为，该处表面附近的场强大小为，则。那么，是[ ]。
该处无穷小面元上电荷产生的场 导体上全部电荷在该处产生的场
所有的导体表面的电荷在该处产生的场 以上说法都不对
答案：【C】
解：处于静电平衡的导体，导体表面附近的电场强度为，指的是：空间全部电荷分布，在该处产生的电场，而且垂直于该处导体表面。
注意：由高斯定理可以算得，无穷小面元上电荷在表面附近产生的电场为；无限大带电平面产生的电场强度也为，但不是空间全部电荷分布在该处产生的电场。
3．一不带电的导体球壳半径为，在球心处放一点电荷。测得球壳内外的电场。然后将此点电荷移至距球心处，重新测量电场。则电荷的移动对电场的影响为[ ]。
对球壳内外电场无影响 球壳内电场改变，球壳外电场不变
球壳内电场不变，球壳外电场改变 球壳内外电场均改变
答案：【B】
解：球壳内的电场由球壳内的电荷分布及球壳内表面的总电量决定，球壳外的电场由球壳外的电荷分布及球壳外表面的总电量决定。
由高斯定理可知，球壳内表面的电荷量与球壳内的电荷量等量异号。球壳内的电荷移动不会改变球壳内表面的电荷量。因此，球壳外表面的电荷量不会受到球壳内电荷移动的影响。由于静电屏蔽，球壳外表面的电荷分布不受球壳内电荷移动的影响。因此，球壳外的电场强度不受球壳内电荷移动的影响。
球壳外表面的电荷在球壳内和球壳里产生的电场强度为零，不受球壳内电荷移动的影响。
球壳内电荷移动，为保证球壳里的电场强度为零，球壳内表面的电荷要重新分布（净电荷量不变），这将导致球壳内的电场强度改变（电场线变化）。
4．半径分别为及的两个球形导体，用一根很长的细导线将它们连接起来（即两球相距很远），使两个导体带电，则两球表面电荷面密度的比值为[ ]。

答案：【B】
解：由于两球相距很远，近似分别看作孤立导体球。电荷分布相互不影响，都是均匀分布，独自产生电场，电场不叠加。或者说，在对方电场强度线积分的范围内，电场强度为零。这样可以近似分别求得各自的电势（以无限远处电势为零）
，
由于，两个导体球用导线连接，又是一个导体，由静电平衡条件，导体为等势体：

5．一面积为，间距为的平行板电容器，若在其中平行插入厚度为的导体板，则电容为 。
答案：
解1：设电荷面密度为，则电场在两极板之间、导体外处处为。
两极板电势差为
，
而，则

解2：可以看作两个平行板电容器的串联。
，

6．两个同心导体球壳，内球壳带电，外球壳原不带电，则现外球壳内表面电量 ，外球壳外表面电量 ，外球壳外点总场强 。
答案：,,
7．试计算两根带异号的平行导线单位长度的电容。假设导线的半径为，相隔距离为，导线为无限长，电荷均匀分布。
解：由题意和场强叠加原理, 两导线间，距导线为点的场强为

由高斯定理,
在两个导线之间（平面）的点，有
，
点的电场强度为

两个导线之间的电势为

故单位长度的电容为

8在一大块金属导体中挖去一半径为的球形空腔，球心处有一点电荷。空腔内一点到球心的距离为，腔外金属块内有 一点，到球心的距离为，如图4-2所示。求两点的电场强度。

解：由于电荷放在球心处，球形空腔内的电场强度具有球对称性，由高斯定理得到的电场强度,
点在导体内，=0
9．有两个无限大平行面带电导体板，如图4-3所示。
证明：相向的两面上，电荷面密度总是大小相等而符号相反；相背的两面上，电荷面密度总是大小相等而符号相同。
若左导体板带电，右导体板带电，求四个表面上的电荷面密度。
解：设4个面电荷分布为 、 、 、（暂设为正）
(1)做出如图所示的柱形高斯面，由于导体内部场强为零，侧面法线方向与场强方向垂直，故穿过高斯面的电通量为零，由高斯定理有，面内电荷数为零，即。
做出如图所示的对称的柱形高斯面，侧面法线方向与场强方向垂直；柱形两个底面上，电场强度大小相等，而且都与底面法线方向同向，由高斯定理有
，
做出如图所示的对称的柱形高斯面，由高斯定理有
，
两式联立，即可得到。
(2)

10．将一个中性的导体放在静电场中，导体上感应出来的正负电荷的电量是否一定相等，这时导体是否为等势体？若在电场中将此导体分为分别带正负电的两部分，两者的电势是否仍相等？
答：(1) 一定相等；是等势体. (2) 不一定.
解：（1）电荷守恒，中性导体感应出来的电荷的电量一定等值异号。只要导体达到静电平衡，导体一定是等势体。（2）分开后，变为两个导体，各自的电荷要重新分布，各自达到静电平衡，各自是等势体，但两个等势体的电势不一定相等。
11．孤立导体带电量，其表面附近的场强方向如何？当将另一带电体移近导体时，其表面附近的场强方向有什么变化？导体内部的场强有无变化？
答案：(1)方向为垂直导体面； (2)没有变化; (3)内部场强不变。
解：（1）静电平衡时，导体表面附近的电场强度与该处导体表面。在表面正电荷处，电场强度方向向外；在表面负电荷处，电场强度方向向里。（2）当将另一带电体移近导体时，电荷要重新分布，两个导体的电荷产生的电场叠加，保证导体表面附近的电场强度与该处导体表面。（3）静电平衡时，导体内部电场强度为零。
12．根据电容的定义，是否可以为系统不带电时电容为零？
答案：不能这么认为。电容是系统的固有属性，不会因系统带电与否而改变。

作业5
1．一平行板电容器中充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质。已知介质表面极化电荷面密度为，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为[ ]。

答案：【A】
解：极化电荷也是一种电荷分布，除不能自由移动和依赖于外电场而存在外，与自由电荷没有区别。在产生静电场方面，它们的性质是一样的。在电容器中，正是极化电荷的存在，产生的静电场与自由电荷产生的静电场方向相反，使得电容器中总的电场强度减弱，提高了电容器储存自由电荷的能力，电容器的电容增大。或者说，储存等量的自由电荷，添加电介质后，电场强度减弱，电容器两极的电势差减小，电容器的电容增大。
正负极化电荷产生的电场强度的大小都是，方向相同，所以，极化电荷产生的电场的电场强度为。
2．在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图5-1放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面[ ]。
高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强
高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强
由于电介质不对称分布，高斯定理不成立
即使电介质对称分布，高斯定理也不成立
答案：【B】
解：静电场的高斯定理，是静电场的基本规律。无论电场分布（电荷分布）如何，无论有无电介质，也无论电介质的分布如何，都成立。但是，只有在电场分布（电荷分布和电介质分布），在高斯面上（内）具有高度对称时，才能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。否则，只能计算出穿过高斯面的电通量。图示的高斯面上，电场强度分布不具有高度对称性，不能应用高斯定理计算高斯面上的电场强度。
3．半径为和的两个同轴金属圆筒，其间充满着相对介电常数为的均匀介质。设两圆筒上单位长度带电量分别为和，则介质中的电位移矢量的大小 ，电场强度的大小 。
答案：,
解：如图，取柱面高斯面。根据对称性，柱面（高斯面）的上下底上，电位移矢量与高斯面法线方向垂直；柱面（高斯面）的侧面上，电位移矢量处处大小相等，并与高斯面法线方向平行。由高斯定理，得到
，，
电场强度为

4．一带电量、半径为的金属球壳，壳内充满介电常数为的各向同性均匀电介质，壳外是真空，则此球壳的电势 。
答案：
解：由高斯定理，可以求得球壳外电场强度

取无限远处电势为零，则

5．两个点电荷在真空中相距为时的相互作用力等于在某一“无限大”均匀电介质中相距为时的相互作用力，则该电介质的相对介电常数 。
答案：
解：在真空中，两个点电荷之间的作用力（库仑力）为
点电荷在“无限大”电介质中产生的电场强度为
点电荷受到的库仑力为
依题

6．有一同轴电缆，内、外导体用介电系数分别为和的两层电介质隔开。垂直于轴线的某一截面如图5-2所示。求电缆单位长度的电容。
解：取高斯面为柱面。柱面的半径为、长度为，对称轴为同轴电缆的对称轴，柱面在同轴电缆的两极之间。由对称性，高斯面上的上下底面电位移矢量与高斯面法线方向垂直；侧面上，电位移矢量处处大小相等，并且与高斯面平行。由高斯定理,有
， ，
则同轴电缆的两极之间的电场强度为
，； ，
同轴电缆的两极之间的电势差为

单位长度的高斯面包围的自由电荷量为
则单位长度的同轴电缆的电容为：
7．在一平行板电容器的两极板上，带有等值异号电荷，两极间的距离为，充以的介质，介质中的电场强度为。
求：介质中的电位移矢量；平板上的自由电荷面密度；介质中的极化强度；
介质面上的极化电荷面密度；平板上自由电荷所产生的电场强度，介质面上极化电荷所产生的电场强度。
解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5) ，
或
8． 一导体球，带电量，半径为，球外有两种均匀电介质。第一种介质介电常数为、厚度为，第二种介质为空气充满其余整个空间。求球内、球外第一种介质中、第二种介质中的电场场强、电位移矢量和电势。
解：由高斯定理，得到电位移矢量的空间分布
，（）；，（）。
电场强度的空间分布：
，（）；，（）；，（）。
球壳内电势：（）

球外第一种介质中的电势：

球外第二种介质中的电势：

9．半径为的均匀带电金属球壳里充满了均匀、各向同性的电介质，球外是真空，此球壳的电势是否为？为什么？
答：球壳外电场分布，球壳电势为

作业6
1．真空中有一均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的电量都相等，则它们的静电能之间的关系是[ ]。
球体的静电能等于球面的静电能
球体的静电能大于球面的静电能
球体的静电能小于面的静电能
球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能
答案：【B】
解：设带电量为、半径为，球体的电荷体密度为。
由高斯定理，可以求得两种电荷分布的电场强度分布
，
对于球体电荷分布：
，（）；，（）。
对于球壳电荷分布：
，（）；，（）。
可见，球外：两种电荷分布下，电场强度相等；球内：球体电荷分布，有电场，球壳电荷分布无电场。
静电场能量密度
两球外面的场强相同，分布区域相同，故外面静电能相同；而球体(并不是导体)内部也有电荷分布，也是场分布，故也有静电能。所以球体电荷分布时，球内的静电场能量，大于球面电荷分布时，球内的静电场能量；球体电荷分布时，球外的静电场能量，等于球面电荷分布时，球外的静电场能量。
2．和两空气电容器串联起来接上电源充电，然后将电源断开，再把一电介质板插入中，如图6-1所示，则[ ]。
两端电势差减少，两端电势差增大
两端电势差减少，两端电势差不变
两端电势差增大，两端电势差减小
两端电势差增大，两端电势差不变
答案：【B】
解：电源接通时，给两个串联的电容器充电。充电量是相同的，是为。则两个电容器的电压分别为
，
电源断开后，插入电介质，两个电容器的电量不变，仍然都是。但的电容增大，因此两端的电压降低；而不变，因此，两端的电压不变。
3．一平行板电容器，板间相距，两板间电势差为，一个质量为，电荷为的电子，从负极板由静止开始向正极板运动，它所需的时间为[ ]。

答案：【D】
解：两极间的电场 ，电子受力
由
4．将半径为的金属球接上电源充电到，则电场能量 。
答案：
解：孤立导体球的电容为：，所以，充电到时，

5．、为两个电容值都等于的电容器，已知带电量为，带电量为，现将、关联在一起后，则系统的能量变化 。
答案：
解：未并联前，两电容器储存的总能量为：
当并联后，总电容为：，总电量不变：，
则并联后，总电压为：
并联后，储存的总能量为：
系统的能量变化为：
6．一平行板电容器电容为，将其两板与一电源两极相连，电源电动势为，则每一极板上带电量为 。若在不切断电源的情况下将两极板距离拉至原来的两倍，则电容器内电场能量改变为 。
答案：，
解：（1） 。电容器储存的静电场能量为
（2）当增大两极板的距离时，平行板电容器电容为。因为电源未切断，故电容两端电压不变，则电容器储存的静电场能量为

电容器储存的静电场能量的变化为：
7．两层相对介电常数分别为和的介质，充满圆柱形电容器之间，如图6-2示。内外圆筒（电容器的两极）单位长度带电量分别为和，求：两层介质中的场强和电位移矢量；此电容器单位长度的电容。
答案：同作业5中第6题的计算。
8．充满均匀电介质的平行板电容器，充电到板间电压时断开电源。若把电介质从两板间抽出，测得板间电压，求：电介质的相对介电系数；若有介质时的电容，抽出介质后的电容为多少？抽出电介质时外力所做的功。
解：(1)有电介质和无电介质时，电容器的电容间的关系：，切断电源，电容器带电量不变， ，
(2)
(3) ,
9．有一导体球与一同心导体球壳组成的带电系统，球的半径，球壳的内、外半径分别为，，其间充以空气介质，内球带电量时，求：带电系统所存储的静电能；用导线将球与球壳相连，系统的静电能为多少？
解：(1)由导体的静电平衡条件和电荷守恒定律、高斯定理，可分析得：导体球上所带电量在球面，电量为；球壳内表面带电量为，外表面带电量为 。
由高斯定理可得各个区域的电场分布：
，，
，
带电系统所储存的能量为：

(2) 当内球与球壳连在一起时，由于球与球壳是等势体，在球与球壳之间没有电场，；在两面上的电量中和，只有球壳外表面带电量，电场只分布在区域，可求得：

作业7
1.在一个长直圆柱形导体外面套一个与它共轴的导体长圆筒，两导体的电导率可以认为是无限大。在圆柱与圆筒之间充满电导率为的均匀导电物质，当在圆柱与圆筒上加上一定电压时，在长为的一段导体上总的径向电流为,如图7-1所示，则在柱与筒之间与轴线的距离为的点的电场强度为[ ]。
A. B.
C. D.
答案：【B】
解：如图，通过半径为、高为的圆柱侧面的总电流为，则该处的电流密度为

由电流密度与电场强度的关系（为电导率），得到

2.一电子以匀速率作圆周运动，圆轨道半径为,它相当于一个圆电流，如图7-2所示，其电流强度是[ ]。
A. B.
C. D.
答案：【A】
解：在电子运动轨道上固定一个横截线，电子一个周期通过一次该横截线，即在一个运动周期时间内，通过横截线的电量为，因此，电流为

3.单位正电荷从电源的负极通过电源内部移到正极时非静电力所作的功定义为该电源的电动势，其数学表达式为 。
答案：
4.有一根电阻率为、截面直径为、长度为的导线。若将电压加在该导线的两端，则单位时间内流过导线横截面的自由电子数为 ；若导线中自由电子数密度为，则电子平均飘移速率为 。
答案：，
解：（1）设单位时间内流过导线横截面的自由电子数为，则单位时间内流过导线横截面的电量为，这就是电流，。按电流与电压的关系

则
（2）电子漂移距离所用时间，即在内，电子全部通过以为高、以为底的柱形底面，即在内柱形内的电子全部通过底面，其他电子都没有通过。因此，在内通过底面的电量为

因此，电流为

即得到
，
5.如图7-3所示的导体中，均匀地流着的电流，已知横截面，， 的法线与轴线夹角为，试求：（1）三个面与轴线交点处的电流密度。（2）三个面上单位面积上的电流密度通量。
解： (1)

(2)6.圆柱形电容器，长为，内、外两极板的半径为，，在两极板间充满非理想电介质，其电阻率为，设在两极间加电压。求：（1）介质的漏电阻；（2）漏电总电流；（3）漏电流密度；（4）介质内各点的场强。
解：(1) 这里的球壳层的横截面可认为相同，
球壳层的漏电阻：
(2)
(3)
(4)

作业8
1.如图8-1所示，载流的圆形线圈（半径）与正方形线圈（边长）通有相同电流，若两个线圈中心， 处的磁感应强度大小相同，则半径与边长之比为[ ]。
A. B.
C. D.
答案：【B】
解： 圆电流在其轴线上产生的磁场的磁感应强度为
，方向沿着轴线
在圆心处（），。
通电正方形线圈，可以看成4段载流直导线，由毕萨定律知道，每段载流直导线在正方形中心产生的磁场的磁感应强度大小相等，方向相同，由叠加原理。

2. .如图8-2所示,四条平行的无限长直导线，垂直通过边长为正方形顶点，每条导线中的电流都是，这四条导线在正方形中心点产生的磁感应强度为[ ]。
A. B.
C. D.
答案：【A】
解：建立直角坐标系，则4根无限长载流直导线在正方形中心产生的磁感应强度为
，
，

3.一根无限长直导线弯成图8-3所示的形状，中部是半径为、对圆心张角为的圆弧，当通以电流时，处磁感应强度的大小 ，方向为 。
答案：，
方向垂直纸面向里
解：将整个载流导线分为三段：直线 、圆弧、直线。
由毕萨定律可以判断出，三段载流导线在圆心处产生的电磁感应强度方向均沿着垂直纸面向里，因此，总的电磁感应强度方向沿着垂直纸面向里。
两段载流直线在圆心处产生的电磁感应强度

三分之一圆弧在圆心处产生的电磁感应强度

在圆心处产生的总电磁感应强度

方向垂直纸面向里。
4. 如图8-4所示,两个同心半圆弧组成一闭合线圈，通有电流，设线圈平面法向垂直纸面向里。则圆心点的磁感应强度 ， 线圈的磁矩 。
答案：,
解：由毕萨定律可知，两个半圆连线上的电流圆心处产生的电磁感应强度为零在半径为的半圆弧在圆心处产生的电磁感应强度垂直于纸面向外（与反向）

半径为的半圆弧在圆心处产生的电磁感应强度垂直于纸面向里（与同向）

再由毕萨定律可知，两个半圆连线上的电流圆心处产生的电磁感应强度为零

圆心处总的电磁感应强度

线圈的磁矩

5．在坐标原点有一电流元。试求该电流元在下列各点处产生的磁感应强度？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
解：该电流元产生的电磁感应强度表示为

①，
②，
③，
④，
⑤，
6.从经典观点来看，氢原子可看作是一个电子绕