第5章 受弯构件.doc

第5章 受弯构件
例题5.1 一简支梁，梁跨7m，焊接组合工字形对称截面150×450×18×12（mm）（见图5-7），梁上作用有均布恒载（标准值，未含梁自重）17.1kN/m，均布活载6.8kN /m，距梁端2.5m 处，尚有集中恒荷载标准值60kN，支承长度200mm，荷载作用面距钢梁顶面为120mm。钢材抗拉强度设计值为215N/mm2，抗剪强度设计值为125N /mm2，荷载分项系数对恒载取1.2，对活载取1.4。试验算钢梁截面是否满足强度要求（不考虑疲劳）。

图5-7 例题5.1图
解：首先计算梁的截面特性，然后计算出梁在荷载作用下的弯矩和剪力，最后分别验算梁的抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力强度等。
（1）截面特性

计算点1处的面积矩：
计算点2处的面积矩：
（2）荷载与内力
钢梁的自重：
均布荷载设计值：
集中荷载：
由此得到的弯矩和剪力分布如图5-7所示，

（3）验算截面强度
1）抗弯强度
满足要求。
2）抗剪强度： 支座处剪应力最大
满足要求。
3）局部承压强度
支座处虽有较大的支座反力，但因设置了加劲肋，可不计算局部承压应力。
集中荷载作用处B截面的局部承压应力为：

满足要求。
4）折算应力
集中荷载作用点B的左侧截面存在很大的弯矩、剪力和局部承压应力，应验算此处的折算应力，计算点取在腹板与翼缘的交界处，1点所示位置
正应力：
剪应力：
局部压应力：
折算应力：
满足要求。

例题5.2 一简支钢梁，跨度6m，跨度中间无侧向支承。上翼缘承受满跨的均布荷载：永久荷载标准值75kN/m（包括梁自重），可变荷载标准值170kN/m。钢材为Q345钢，屈服强度为345N/mm2，钢梁截面尺寸如图5-20所示。试验算此梁的整体稳定性。
解：由于钢梁上翼缘没有支承，且，所以需要计算梁的整体稳定性。
（1）截面特性

形心轴位置（对上翼缘中心线取面积矩）：

图5-20 例题5.2图

（2）弯矩设计值

（3）稳定系数
按公式（5-42）计算：

查附表8可得：
截面不对称影响系数：
代入公式（5-42）可得：

需换算成：
（4）验算整体稳定
，满足要求。
强度验算略。

例题5.3 钢梁的受力如图 5-32（a）所示（设计值），梁截面尺寸和加劲肋布置如图 5-32（d）和（e）所示，在离支座1.5m 处梁翼缘的宽度改变一次（280mm变为140mm），钢材为 Q235钢。试进行梁腹板稳定性计算和加劲肋的设计。

（a） （d）

（b） （e）

（c） （f）
图 5-32 例题5.3图
解：
（1）梁的内力和截面特性的计算
经计算，梁所受的弯矩M和剪力V如图5-32（b）和（c）所示。
支座附近截面的惯性矩：
跨中附近截面的惯性矩：
（2）加劲肋的布置
需设横向加劲肋
不需设纵向加劲肋
因为1/3跨处有集中荷载，所以该处应设置支承加劲肋，又横向加劲肋的最大间距为，故最后取横向加劲肋的间距为1500mm，布置如图5-32（e）所示。
（3）区格①的局部稳定验算
1）区格所受应力
区格两边的弯矩：

区格所受正应力：

区格两边的剪力：

区格所受剪应力：

2）区格的临界应力

因为，所以

3）局部稳定计算
验算条件为：
即 ，满足要求。
（4）其它区格的局部稳定验算与区格①的类似，详细过程略。
（5）横向加劲肋的截面尺寸和连接焊缝
，采用
，采用
这里选用，主要是使加劲肋外边缘不超过翼缘板的边缘，见图5-32（d）。
加劲肋与腹板的角焊缝连接，按构造要求确定：
，采用。
（6）支座处支承加劲肋的设计
采用突缘式支承加劲肋，如图5-32（e）所示。
1）按端面承压强度试选加劲肋厚度
已知，支座反力为：
（与翼缘板等宽），则需要：
考虑到支座支承加劲肋是主要传力构件，为保证其使梁在支座处有较强的刚度，取加劲肋厚度与梁翼缘板厚度大致相同，采用。加劲肋端面刨平顶紧，突缘伸出板梁下翼缘底面的长度为20mm，小于构造要求。
2）按轴心受压构件验算加劲肋在腹板平面外的稳定
支承加劲肋的截面积，见图5-32（f），

，查附表7（适用于Q235钢，c类截面），得轴心受压稳定系数
，满足要求。
3）加劲肋与腹板的角焊缝连接计算

则需要：
构造要求：，采用。

例题5.4 某焊接工字形截面简支梁，跨度为12m，承受均布荷载235kN/m（包括梁的自重），如图5-37（a）所示，钢材为Q235钢。截面尺寸如图5-37（c）所示。跨中有侧向支承保证梁的整体稳定，但梁的上翼缘扭转变形不受约束。试验算考虑屈曲后强度的腹板承载力要求，并设置加劲肋。
解：
（1）梁内力和截面特性的计算
梁的弯矩和剪力分布如图5-37（b）所示。
截面特性：
（2）假设不设中间横向加劲肋，验算腹板抗剪承载力是否满足要求
梁端截面
剪切通用高厚比（）：
则抗剪承载力为：
所以，应该设置中间横向加劲肋。取加劲肋间距为2000mm，如图5-37（a）所示。
（3）设加劲肋后的截面抗剪和抗弯承载力验算
1）梁翼缘能承受的弯矩：
2）区格的抗剪承载力和屈曲临界应力
剪切通用高厚比（）：
屈曲临界应力：
抗剪承载力： ，满足要求。

（a） （c）

（b） （d）
图5-37 例题5.4图
3）梁截面的抗弯承载力
受压翼缘扭转未受到约束的受弯腹板通用高厚比：
则腹板受压区有效高度系数：
梁的截面模量考虑腹板有效高度的折减系数：

抗弯承载力：

，满足要求。
4）弯矩与剪力共同作用下的验算
相关方程为：
按规定，当截面上时，取，因而相关方程变为；当截面上时，取，因而相关方程变为。
从图5-37（b）的内力图中可以看出，在跨中6m范围内，各截面的剪力均小于，而弯矩均小于，因而满足相关方程；在支座3m范围内，各截面的弯矩均小于，而剪力均小于，因而满足相关方程。
（4）中间横向加劲肋的设计
1）加劲肋的截面选取
，采用
，采用
2）验算加劲肋平面外的稳定性
加劲肋的轴压力：
按规定，加劲肋的面积应加上每侧一定范围的腹板面积，如图5-37（d）所示，则：

惯性矩：
回转半径与长细比：
按b类截面，查附表7可得整体稳定系数，则：
，满足要求。
3）加劲肋与腹板的连接角焊缝
因不大，焊缝尺寸按构造要求确定， ，采用。
（5）支座处支承加劲肋的设计
支承加劲肋采用图5-36所示的构造形式，封头肋板与支承加劲肋的间距为。
由张力场引起的水平力：

所需封头肋板的截面积为：
，采用截面为
支承加劲肋的设计按轴心压杆计算，见例题5.3。

例题5.5 假设一简支次梁，跨度为6m，承受均部荷载，恒载标准值9kN/m，活载标准值13.5 kN/m，钢材为Q235钢。试设计此型钢梁。（1）假定梁上铺有平台板，可保证梁的整体稳定性。（2）不能保证梁的整体稳定性。
解：
内力：跨中最大弯矩：
支座处最大剪力：
1. 梁的整体稳定有保证，截面由梁的抗弯强度控制
（1）所需净截面模量

查附表3，选用热轧普通工字形钢Ⅰ32a，单位长度的质量为52.7kg/m，梁的自重为52.7×9.8＝517N/m，，，，。
（2）截面验算
梁自重产生的弯矩：
跨中总弯矩：
支座处总剪力：
1）强度验算
弯曲正应力：，满足要求。
剪应力：，满足要求。可见，型钢梁由于其腹板较厚，剪应力一般不起控制作用。因此，只有在截面有较大削弱时，才必须验算剪应力。
2）刚度验算

，满足要求。
2. 不能保证梁的整体稳定，由整体稳定控制
（1）所需截面模量
根据规范，对于热轧普通工字形钢简支梁，其整体稳定系数可直接由附表9查得。现假定工字钢型号在Ⅰ22～Ⅰ40之间，均布荷载作用在上翼缘，梁的自由长度，查得，所需毛截面模量：

选用Ⅰ40a，单位长度的质量为67.6kg/m，梁的自重为52.7×9.8＝663N/m，，，，。
（2）截面验算
1）整体稳定验算

，满足要求。
2）强度和刚度验算略。

例题5.6设计一支承压型钢板屋面的檩条，屋面坡度为1/10，雪荷载为0.25kN/m2，无积灰荷载。檩条跨度12m，水平间距为5m（坡向间距为5.025m）。采用H型钢，见图5-38（a），材料Q235－A。
解：
（1）荷载与内力
压型钢板屋面自重约为0.15 kN/m2（坡向）。假设檩条自重为0.5 kN/m。屋面均布活荷载取0.5 kN/m2，大于雪荷载，故不考虑雪荷载。
檩条线荷载标准值为：
设计值为：
分解得：

弯矩设计值为：
（2）选取截面
采用紧固件使压型钢板与檩条受压翼缘连牢，可不计算檩条的整体稳定性。近似取，由抗弯强度要求的截面模量为（式5-120）：

选用，其，，，，。自重为，加上连接压型钢板零件重量，假设自重与相等。
（3）截面验算
1）强度验算（跨中无孔眼削弱，，）：
，满足要求。
2）刚度验算
只验算垂直于屋面方向的挠度
荷载标准值：
，满足要求。
3）长细比验算
作为屋架上弦的水平支撑，应验算其长细比：
，满足要求。
屋面坡向由于有压型钢板相连，可不验算长细比。

例题5.7设计一焊接工字形钢简支主梁，跨度为9m，承受次梁传递的集中荷载标准值为Pk＝219.98kN，设计值为P＝278.4kN，如图5-40（a）所示。次梁与主梁是侧面连接，不是叠接，见5.8.2节，因而不需验算腹板计算高度上边缘的局部承压强度。建筑要求主梁高度不得大于100cm，钢材为Q235钢，并且有侧向支承，不用考虑梁的整体失稳。
解：（1）荷载与内力
梁中最大弯矩：
（2）初选截面
1）按抗弯强度计算所需截面模量

（a） （b）
图5-40 例题5.7图
2）梁的高度和腹板截面尺寸
最大高度：
最小高度（[v]＝l/400）：
得
经济高度：
采用腹板高度，考虑翼缘板厚度后梁高h满足要求。
腹板厚度：，采用。
则腹板截面尺寸为：。
3）翼缘板的截面尺寸
翼缘板截面积：
试选翼缘板宽度为280mm，则所需厚度为：，采用
则梁的外伸宽度，则，满足局部稳定要求。
所以翼缘板截面采用，梁截面如图5-40（b）所示。
（3）截面验算
1）截面特性和内力

梁的自重设计值：
最大弯矩标准值：
最大弯矩设计值：
最大剪力设计值：
2）强度验算
抗弯强度：，满足要求。
抗剪强度：，满足要求。
折算应力：截面C的弯矩和剪力都比较大，所以验算此截面的折算应力
该截面的弯矩与剪力分别为：

腹板与翼缘相交处的应力：

则：
，满足要求。
3）刚度验算
，满足要求。
4）稳定验算
由题意可知，整体稳定可不验算；局部稳定可由设置加劲肋来保证，加劲肋设计方法见例题5.4，此处略。

例题5.8试改变例题5.7中焊接工字形组合梁两端的翼缘板宽度。

（a） （b）

（c）
图5-44 翼缘截面的改变
解：
（1）试在离支座l/6处改变翼缘板的宽度
在处梁截面弯矩设计值为：

需要翼缘面积：

改变后的翼缘板宽度为：

此值太小，说明在离支座l/6处改变的翼缘板宽度过小，不实用，应重新选择翼缘板宽度改变的位置。
（2）取改变后的翼缘板宽度，则改变后的截面如图5-44（b）所示。
截面特性：
改变后截面所能抵抗的弯矩：

使
解得理论改变点：
为减小应力集中，采用斜角连接，如图5-44（c）所示，实际改变点为：

（3）强度和刚度验算
在理论改变点处，弯曲应力突然加大，因此需验算该截面腹板边缘处的折算应力
弯曲正应力：
剪应力：
折算应力：
满足要求。
（4）翼缘截面改变后节省的钢材估算
等截面焊接工字形组合梁的钢材体积为：

翼缘截面改变后节省的钢材体积为：

节省钢材的百分比为：

例题5.9 求例题5.7中的焊接工字形组合梁的翼缘角焊缝。焊条为E43型，手工焊。
解：
假设梁上的集中荷载由横向加劲肋传递，梁的翼缘焊缝只承受翼缘与腹板间的纵向剪力。由于翼缘截面改变，角焊缝应按梁端和翼缘截面理论改变点两处分别计算。
梁端截面：

翼缘截面改变处：

按规范规定的最小值为：
，采用。

例题5.10 一简支吊车梁，跨度为12m，钢材为Q345，承受两台起重量为50/10t，级别为A6的桥式吊车，吊车跨度为31.5m，吊车最大轮压标准值及轮距如图5-59（a）所示，横行小车自重Q’为15.4t。吊车梁的截面尺寸已初步选出，如图5-59（b）所示，为了固定吊车轨，在梁上翼缘板上有两螺栓孔，为了连接下翼缘水平支承，在下翼缘板的右侧有一个螺栓孔，孔径均为d＝24mm（螺栓直径22mm）。试验算此梁截面是否满足要求。

（a） （b）
图5-59 吊车轮压与吊车梁的截面
解：
（1）内力计算
按规范规定计算吊车梁的强度和稳定时，应考虑两台并列吊车满载时的作用，但验算竖向刚度和制动梁的水平方向刚度以及验算疲劳时，只考虑一台吊车的荷载标准值作用。
1）两台吊车荷载作用下的内力
竖向轮压作用：
首先依荷载标准值计算。根据结构力学知识可知，在图5-60（a）、（b）所示的轮压位置可算得梁的最大弯矩和最大剪力。

（a） （b）
图5-60 内力计算（两台吊车）

横向水平力作用：
作用在一个吊车轮上的横向水平力标准值为：

其作用位置与竖向轮压相同，因此，横向水平力作用下产生的最大弯矩与支座水平反力可直接按荷载比例关系求得：

2）一台吊车荷载作用下的内力（图5-61）

（a） （b）
图5-61 内力计算（一台吊车）
竖向轮压作用：

横向水平力作用：
其作用位置与竖向轮压相同，因此

根据以上计算，汇总所需内力如表5-8所示。
吊车梁的内力汇总表 表5-8
吊车台数
荷载

两台
吊车
2864.2
1.1×1.4×2864.2＝4410.9
286.4
1.4×286.4＝401.0
1151.8
1.1×1.4×1151.8＝1773.8
自重
0.05×2864.2＝143.2
1.2×143.2＝171.8

0.05×1151.8＝57.6
1.2×57.6＝69.1
总和
3007.4
4582.7

1209.4
1842.9
一台
吊车
1798.1

179.8

767.2

（2）截面几何性质计算
1）吊车梁
毛截面惯性矩：
净截面面积：
净截面形心位置：
净截面惯性矩：
净截面模量：
半个毛截面对x轴的面积矩：
2）制动梁
净截面面积：
截面形心至吊车梁腹板中心之间的距离：
净截面惯性矩：

对轴的净截面模量（吊车梁上翼缘左侧外边缘）：
（3）截面验算
1）强度验算
上翼缘最大正应力：，满足要求。
腹板最大剪应力：，满足要求。
腹板局部压应力验算（吊车轨高取170mm）：
，满足要求。
2）整体稳定：因有制动梁，整体稳定可以保证，不需验算。
3）刚度验算
吊车梁的竖向挠度验算：
，满足要求。
制动梁的水平挠度验算：
，满足要求。
此处偏于安全，因为取用制动梁的净截面惯性矩进行演算满足要求。
4）疲劳验算
下翼缘用高强螺栓连接下弦水平支撑处的主体金属：

按疲劳计算的构件和连接分类，此处应为2类，由表5-6查得容许应力幅为，吊车梁欠载效应的等效系数由表5-7查得，所以：

5）局部稳定验算
因在抗弯强度验算时取，故梁受压翼缘自由外伸宽度与其厚度之比：
，满足要求。
由于，所以应计算配置横向加劲肋，取横向加劲肋间距为3000mm＝1.875h0。因钢轨用压板和防松螺栓紧扣于吊车梁上翼缘，可以认为该翼缘的扭转受到约束。
弯曲应力临界值的通用高厚比为：
得：
剪应力临界值的通用高厚比为：
得：
局部压应力临界值的通用高厚比为：
得：
验算跨中腹板区格：
区格的平均弯曲应力为209、剪应力为24、局部压应力为108，则：
，满足要求
验算梁端腹板区格
区格的平均弯曲应力为42、剪应力为47.7、局部压应力为108，则：
，满足要求

思考题
5.1 梁的强度计算包括哪几项内容？
5.2 截面塑性发展系数的意义是什么？与截面形状系数有何联系？
5.3 什么叫做翘曲正应力？它对梁的整体稳定有何影响？
5.4 梁的整体失稳与轴心压杆的失稳有何不同？
5.5 梁的强度破坏与失去整体稳定破坏有何不同？整体失稳与局部失稳又有何不同？采用高强度钢对提高梁的稳定性有无好处？
5.6 为了提高梁的整体稳定性，设计时可采用那些措施？其中哪种最为有效？
5.7 什么叫做板件的通用高厚比？这种表达方法有何优点？
5.8 腹板中布置的加劲肋有哪几种形式？主要是针对哪些失稳形式的？
5.9 工字形截面组合梁中的腹板张力场是如何产生的？张力场的作用可提高梁截面的何种承载力？

习 题
5.1 图5-66所示的简支梁，其截面为不对称工字形，材料为Q235钢，梁的中点和两端均有侧向支撑。集中荷载作用在跨中，其中永久荷载效应和可变荷载效应各占一半，作用在梁的顶面，沿跨度方向的支承长度为130mm。试验算该梁的强度和刚度是否满足要求。

图5-66 习题5.1
5.2 某简支梁，跨度为6m，截面为普通热轧工字钢Ⅰ50a。求下列情况下此梁的整体稳定系数各为多大：1.上翼缘承受满跨均布荷载，跨度中间无侧向支承点，Q235钢；2.同1，但钢材改为Q345钢； 3.集中荷载作用于跨度中点的下翼缘，跨度中点有一侧向支承点，Q345钢；4.集中荷载作用于跨度中点的下翼缘，跨中无侧向支承点，Q345钢。
5.3 计算习题5.1中的焊接工字形截面钢梁的整体稳定性是否满足要求。
5.4 某工字形截面梁，两端简支，构件长度为6m，截面由2－20×400和1－10×560焊接而成，Q235钢。当验算此构件在弯矩作用平面外的弯扭屈曲时，需用到纯弯曲时的梁整体稳定系数。试分别按基本公式（5-42）和近似公式（5-45）计算此构件的，比较本题中近似公式的精度。当钢材为Q345钢时，又该如何？
5.5 某简支梁跨度为6m，跨中无侧向支承点，钢梁截面如图5-67所示。承受均布荷载设计值为180kN/m，跨中还承受一集中荷载设计值为400kN，两种荷载均作用在梁的上翼缘板上，钢材为Q345钢，截面特性如下：

图5-67 习题5.5
试验算此梁的整体稳定性。
5.6 试设计一简支型钢梁，跨长为5.5m，在梁上翼缘承受均布静力荷载作用，恒载标准值为10.2kN/m（不包括梁自重），活载标准值为25kN/m，假定梁的受压翼缘有可靠侧向支撑，钢材为Q235钢，梁的容许挠度为l/250。
5.7 某普通钢屋架的单跨简支檩条，跨度为6m，跨中设拉条一道，檩条坡向间距为0.798m。垂直于屋面水平投影面的屋面材料自重标准值和屋面可变荷载标准值均为0.50kN/m2，无积灰荷载。屋面坡度i＝1/2.5。材料用Q235-A·F钢。设采用热轧普通槽钢檩条，要求选择该檩条截面。
5.8 图5-68为一工作平台主梁的受力简图，次梁传来的集中荷载标准值为Fk＝253kN，设计值为323kN。试设计此主梁，钢材为Q235-B。

图5-68 习题5.8
5.9 一简支吊车梁跨度为12m，钢材为Q235，焊条E50型。采用制动梁机构，制动板选用-860×8的厚花纹钢板，制动梁外翼缘选用2×L100×10角钢。初选吊车梁截面如图5-69所示。厂房内设有两台750/200kN重级工作制（A7级）桥式吊车，吊车跨度31.5m，吊车宽度及轮距如图所示，小车重量为235kN，吊车最大轮压标准值为324kN。轨道高150mm。试验算此吊车梁截面强度及疲劳强度是否满足要求。

图5-69 习题5.9
23